ЛА Билеты расписанные

Билет 40 Представление полуторалинейной формы в унитарном пространстве.

Билет 41 Понятие сопряжённого оператора и его свойства. Матрица сопряжённого оператора

Определение

Оператор A*, действующий в унитарном пространстве V называется сопряженным к оператору

( #), если для , выполняется равенство ( , ) = ( , )

Утверждение

Для " оператора ( #)

1)существует единственный оператор

2)оператор ( #)

Доказательство

Обозначим ( ; ) = ( , )

Очевидно, ( ; ) – полуторалинейная форма в #. Тогда по теореме Мальгранжа (см. прошлый вопрос) существует единственный оператор ( #): ( ; ) = ( , ) или ( , ) = ( , )#

Свойства сопряженных операторов в #

1)I*=I 2)( ) = ̅

3)( + ) = + 4)( ) = 5) ( ) =

6)если ( #) обратим, то ( *!) = ( )*!

Доказательство

Свойства 1)-3) – очевидны Свойство 4): ( , ) = ( , ) = (,,,,,,,,) = ‘,,,,,,,,,,,, ( ) ’ = (( ) , ), то есть ( , ) =

(( ) , ) для , # То = ( ) для # Следовательно, ( ) =

Свойство 5): ( , ( ) ) = ‘( ) , ’ = ( , ) = ( , )для , # Отсюда получим ( ) =

Свойство 6):Пусть для ( #) *!

Тогда × *! = *! = . Откуда ( *!) = ( *! ) = Из доказанных выше свойств имеем ( *!) = ( *!) = Следовательно, ( )*! = ( *!) #

Матрица сопряженного оператора

Утверждение

Пусть [ ] – ОНБ в #, а f = ” &'• и f = ” &'•, = ,,1,,, Матрицы линейных операторов A и A* соответственно в базисе [ ]

Тогда матрицы f и f* связаны между собой соотношением f = ,,,f,

то есть = ,,,, для " = 1,,,,,

&' ƒ'

Доказательство

Из определения матрицы оператора имеем

##

отношению к матрице A

Билет 42 Понятие нормального оператора и его свойства.

Определение

Оператор ( ") называется 1)нормальным, если = 2)самосопряженным, если =

3)унитарным (ортогональным), если = =

Определение

Квадратная матрица A с комплексными (вещественными) элементами, удовлетворяющая соотношениям

= ; = и = =

Называются соответственно нормальными, эрмитовыми (симметричными),унитарными (ортогональными)

Замечание

Из определения следует, что оператор A нормален, самосопряжен, унитарен тогда и только тогда, когда нормален, самосопряжен, унитарен оператор

Свойства нормальных операторов Теорема

Пусть ( ")- нормальный оператор, тогда 1)( , ) = ( , )для , 2)для выполняется ‖ ‖ = ‖ ‖

3) Оператор A имеет собственный вектор $, отвечающий собственному значению $тогда и только тогда, когда имеет тот же собственный вектор $, отвечающий собственному значению 666$ 4)Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

5)Если = и – собственный вектор оператора A, то = ( ) %, где ( ) −линейная оболочка вектора e, а % = &( ). Корме того ( ) и % – инвариантные подпространства операторов A и A*

Доказательство

1)( , ) = ( , ) = ( , ) = (6666666666, ) = (66666666666, ) = ( , )

2)Следует из 1) при =

3)Так как ( ) = ̅, то как нетрудно убедиться, что A нормален когда нормален − . Из свойства 2) следует, что ‖( − ) ‖ = [# − ̅$ [ для " . Из этого равенства следует свойство 3)

4)Пусть % и '( % ≠ ') − собственные значения оператора A, a % и ' отвечающие им собственные векторы. Тогда %( %, ') = ( % %, ') = ( %, ') = ( %, ') = # %, ̅' '$ = '( %, ')

Тогда ( % − ')( %, ') = 0 так как % ≠ ', то ( %, ') = 0 % '

5) Пусть e- собственный вектор, отвечающий собственному значению . Рассмотрим ( ) −линейную оболочку вектора e. Из теоремы о разложении пространства V в прямую сумму следует, что = ( )

&( ) = ( ) %

Из свойства 3) следует, что ( ) инвариантное подпространство операторов A и A*. Покажем, что % также

инвариантное подпространство операторов A и A*

Пусть %. Очевидно, % ( , ) = 0. Тогда ( , ) = ( , ) = # , ̅$ = ( , ) = 0 %, то есть % − инвариантное подпространство для оператора A.

Аналогично для A*

( , ) = ( , ( ) ) = ( , ) = ( , ) = ̅( , ) = 0 Следовательно, % и поэтому % − инвариантное подпространство для оператора A* #

Билет 43 Понятие унитарного (ортогонального) оператора и его свойства.

Теорема

Пусть ( ") – унитарный (ортогональный) оператор, тогда следующие свойства эквивалентны

1)= = , то есть = (%

2)для , ": ( , ) = ( , )

3)для ": ‖ ‖ = ‖ ‖

4)Оператор U ОНБ переводит снова в ОНБ.

5)Строки (столбцы) матрицы унитарного оператора U в ОНБ [ ] пространства " образуют ортонормированный базис в пространстве "

6)Если [ ]- произвольный ОНБ пространства ", то матрица оператора U в базисе [ ] унитарна

(ортогональна)

Доказательство

Докажем только эквивалентность только первых четырех свойств по приведенной схеме. Из 1 2 Для , ", ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ), то есть ( , ) = ( , )

Замечание

" из этих свойств 1)-4) можно было взять за определение унитарного оператора.

Замечание

Матрица унитарного оператора U в неортонормированном базисе может быть не унитарной.

Билет 44 Свойства унитарных (ортогональных) матриц.

Утверждение

1)Оператор U унитарен (ортогонален) когда унитарен (ортогонален) (%

2)Если % и ' − унитарные операторы (ортогональные), то % ' также унитарный (ортогональный) оператор.

3)Матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ унитарна (ортогональна)

Доказательство

1)Пусть U-унитарен. Тогда ( , ) = ( (% , (% ) = ( (% , (% ) (% − унитарен

Обратно

Пусть (% − унитарен, тогда ( , ) = ( (% , (% ) = ( , ) − унитарен 2)Пусть % и ' − унитарные операторы. Тогда ( % ' , % ' ) = ( ' , ' ) = ( , ) % ' −

Унитарная (ортогональная) матрица обладает свойствами:

1)Все столбцы (строки) унитарной (ортогональной) матрицы нормированы и попарно ортогональны, то есть

∑" 6666 = (∑" 6666 = )

*+% *) *. )- *+% )* .* )-

2)Определитель унитарной (ортогональной) матрицы по модулю равен 1 3)Произведение унитарных (ортогональных) матриц есть унитарная (ортогональная) матрица. 4)Единичная матрица E – ортогональна

5)Для унитарных (ортогональных) матриц (% всегда существует и (% = ̅′( 1) 6)Для унитарной матрицы A обратная матрица (% также унитарная (ортогональная)

Билет 45 Основная спектральная теорема нормальных операторов.

Теорема

1)Оператор ( ") является нормальным тогда и только тогда, когда для него существует ОНБ из собственных векторов.

2)Матрица = … )-† порядка n x n нормальна тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица = 0 ↓% ↓' … ↓"1, столбцами которой являются собственные векторы матрицы : *, = 1,66666 приводящая матрицу A к диагональному виду, то есть

Доказательство

1) Пусть - нормальный оператор. Он имеет по крайней мере один собственный вектор %. Пусть ‖ %‖ = 1 и% отвечает собственному значению % оператора A. Тогда " = ( %) %,

где % = &( %) − ( − 1) −мерное подпространство инвариантное для оператора A. Рассматривая оператор A в % можно также % представить в виде

% = ( ') ', где ( ') − линейная оболочка ': ' = ' ', ‖ '‖ = 1, а

' = &( ') = ( − 2)- мерное подпространство инвариантное для оператора A.

Продолжая этот процесс, получим " = ( %) ( ') … ( "), где %, ', … " – ортогональная система собственных векторов, отвечающих собственным значениям %, ', … ". Векторы %, ', … " очевидно, образуют ОНБ в пространстве "

Обратно

Предположим, что существует ОНБ [ ] = [ %, ', … "] из собственных векторов оператора A. Тогда в этом базисе матрица 2 оператора A – диагональная. Но в этом же базисе оператору соответствует сопряженная матрица 2, которая очевидно диагональная. Диагональные матрицы всегда перестановочны, то есть

2 × 2 = 2 × 2

Пусть существует унитарная матрица : = . Тогда =

Покажем, что - нормальная. Очевидно = Вычислим × = ( )( ) = Тогда так как = , то = , то есть – нормальная #

Билет 46 Связь между нормальными, самосопряжёнными и унитарными операторами.

1 = ‖ ‖ = ‖ ‖ = ‖ ‖ = | |‖ ‖ = | | × 1 = | |

Обратно

Пусть все собственные значения по модулю равны 1. Согласно основной спектральной теореме нормальных

операторов существует ОНБ из собственных векторов оператора : * = * *, = 666661,

Тогда для любого = ∑"*+% * * 666666* * = ∑"*+%| *|'| *|' = (так как по условию| *| = 1) = ∑"*+%| *|' = ‖ ‖'

Следовательно, оператор A унитарен #

Доказательство

Следует из теоремы о связи самосопряженных и нормальных операторов и основной спектральной теоремы нормальных операторов. #

Билет 48 Основная спектральная теорема унитарных операторов.

Следует из теоремы о связи унитарных и нормальных операторов и основной спектральной теоремы нормальных операторов. #

Билет 49 Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду унитарным

преобразованием.

Теорема

Любая эрмитовая квадратичная форма ( , ) с матрицей при помощи некоторого унитарного преобразования переменных ↓ = ↓, где - унитарная матрица, может быть приведена к каноническому виду.

*+%

Тогда

""

( , ) = ( , ) = , *l666666* * = , l*| *|'