Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛА Билеты расписанные

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.07.2024

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Билет 7.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства их решений. Критерий наличия ненулевых решений. Фундаментальные системы решений. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

§Однородные системы

"! ! + "" " + … + "# # = 0

(19)

Однородная система имеет вид

…

!! ! + !" " + … + !# # = 0

или в матричном виде

$! ! + $" " + … + $# # = 0

Замечание

↓

)

всегда совместна, т.к. $ тривиальное решение (0,0,…0), а "

Однородная система0 9

ненулевое решение системы

↓

называется нетривиальным.

(19)

" также будет

)

↓ и

↓

то для "

Утверждение Если у

системы

имеются два решения

(19)

(1 )

↓ = ↓ + ↓

! =

0 и " =

решением системы

Доказательство

↓

в силу условия, тогда

0 0

Замечание Это

↓

↓ l = ↓ +

↓

= ↓

↓ = ↓#

Теорема

утверждение справедливо для " конечного числа решений

∞

(19)

имеет нетривиальное решение, то она имеет

нетривиальных, . .

Замечание Если система

↓

решений.

↓

Если 1) RangA=n то система

имеет только тривиальное решение

2)Если RangA=r<n, то

система

имеет (n-r) – линейно-независимых решений

(19)

)

, где

(19)

-произвольные числа

(!), ("), . . , (#*7)Причем

↓

(!)↓

(")

общее решение системы

имеет вид

+ + с#*7

(#*7)

с!, с", … , с#*7

= с!

+ с"

↓

(19)

Доказательство↓

Методом Гаусса система

приводится к виду

↓

) 7+!

! + !"(") " + + !7(") 7

= −( !(7(7+!)

+ + !#(7) #) (

)

(")

(7)

" + "6

6 + + "7

= −( "(7+!) 7+!

+ + "#

(7)

…

(7)

7+!

= −( 7(7+!)

+ + 7#

)

1)Если r=n, то у системы ( °7) только тривиальное решение, а следовательно, и у эквивалентной ей системы (19) также только тривиальное решение.

2)Если r<n то в системе ( °7)свободные переменные 7+!, 7+", … , # будем придавать

специальные значения, а именно 7+& = 1, 7+! = 7+" = = 7+&*! = 7+&+! = = # = 0, j=,1,,,,,,,,,,,( − )

1) при j=1 находим

	!(!)					!(")					!(#*7)
(!)	"(!)			(")		"(")			(#*7)		"(#*7)
	.					7	.			.
↓	7	(!)	,	↓			(")	,	↓		7(#*7)
	=				=					=
	1				0						0
	0				1					.
		.					.				.
	0				0						1

получили (n-r) решений

Они линейно независимы, т.к.

!!(!)

… !!(#*7)

n- строк

…

(!)

…

(#*7)

(!)

(")

(#*7)

↓

…

yzzzzz{zzzzz|

(#*7)

(!)

(")

…

(#*7) линейно независимы по теореме о

Очевидно, что Rang B=n-r Þ все столбцы

базисном миноре.

Докажем, что общее решение системы

имеет вид

↓

)

↓

( )

#*7

(')

формула общего

↓

= ∑

↓

решения однородной систем

'-! '

(!)

(")

(#*7)

Действительно

1)для

с , с , … , с

(!)

имеем,

что

+ с

+ + с

будет

решением

в силу

↓

(")

, … , ↓

(#*7)с

↓

(19)

! является"

решением#*7системы

. Тогда " их9)линейная

утверждения,! " т.к. #*7

комбинация также

будет решением.

2) что " решение

однородной системы может быть получено из (*) соответствующим подбором

чисел

!, … , #*7

Для этого

рассмотрим

↓

#*7

(')

↓

− Q

! = 7+!, " = 7+", … , #*7 =

системы. Т.к.

", то возьмём

Тогда

также решение однородной

↓

'-!

↓

Тогда у

↓

= = #

= 0

Т.к.

- решение однородной системы и все свободные переменные

7+!

7+"

, то

= =

= 0

↓

∑

#*7

(')

↓

- общее решение однородной системы.

'-! '

Определение↓

↓

(!)

↓

…

↓

(#*7) однородной системы

Так построенная система линейно независимых решений

(")

называется нормальной фундаментальной системой

решений или ФСР.

Определение

" ( − ) линейно независимых решений системы (19) называются ФСР однородной системы.

Билет 8.

Общее решение совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Неоднородные системы ↓ = ↓ (1).

Теорема

Общее решение неоднородной совместной системы имеет вид:

(ОН)

(ОО)

(ЧН) (2)

↓

(ОО)↓

↓

, где

- общее решение однородной системы

(ЧН)↓- частное решение неоднородной системы

- общее решение неоднородной системы

↓(ОН)

↓

Доказательство

Очевидно, что (ОН)

удовлетворяет уравнению (1)

(ОН)

(ОО)↓

(ЧН)

(ОО)

(ЧН)

↓

= ‚↓

↓

ƒ = ↓

+ ↓

↓ +

↓

= ↓

- произвольное

Обратно " решение системы (1) представимо в виде (2). Действительно, пусть

↓

решение системы (1), а

(ЧН)- частное решение системы (1).

Тогда − (ЧН)

↓

‚ −

(ЧН)↓

является решением однородной системы. Действительно,

ƒ = −

= −

= 0

Т.е.↓

↓

Þ↓

(ЧН)

(ЧН)↓

(ЧН)

(ОО)

↓ −

↓

= ↓

(ОО)↓ ↓

(А) #

+ ↓

Следствие

(#*7) - ФСР, то (ОН)

(ЧН)

#*7

(')

Если у однородной системы (!), (")

+ ∑

↓ ↓

… ↓

↓

= ↓

'-!

где '

↓

произвольные числа.

Замечание

Чтобы получить (ЧН) системы (1) можно свести ее методом Гаусса к системе

(")

↓

(")

(7)

! + !" "

+ + !7

= −( !(7+!) 7+! + + !#

" + "6(") 6 + + "7(") 7

= −( "(7(7+!)

) 7+! + + "#(7) #)

(7)

7+!

(7)

…

)

= −( 7(7+!)

+ + 7#

7+! = 7+" = … = # = 0

и положить свободные переменные

Билет 9.

Определение линейного пространства действительного и комплексного. Единственность нулевого и противоположного элементов и их представления. Примеры линейных пространств.

Определение

Пусть V - есть произвольное непустое множество элементов. Тогда говорят, что в этом множестве определена операция сложения " 2-х элементов, если " упорядоченной паре элементов и ставится в соответствие по определённому правилу третий элемент ((yz{z|+ ) - обозначение),

который также принадлежит этому множеству V (иначе, множество V замкнуто относительно операции сложения).

Определение

В множестве V определена операция умножения на числа lÎ (lÎ ) если " Î и " lÎ (lÎ ) ставится в соответствие элемент l и который также Î (т.е. V замкнуто относительно операции умножения на число).

Определение

Непустое множество V элементов произвольной природы называется линейным пространством, если в нём определены операция сложения " 2-х элементов и операция умножения на число (и эти

операции не выводят из мн-ва V), причём эти операции удовлетворяют аксиомам: для " , , Î и

" l, µÎ ( )

1)+ = +

2)( + ) + = + ( + )

3)$ : + = для " Î

4)для " Î $ ?: + ? =

5)× 1 =

6)l(µ ) = (lµ)

7)(l + µ) = l + µ

8)l( + ) = l + l

Утверждение

В " линейном пространстве V

1)$ !

2)$ ! ? для " Î : + ? =

3)= 0 × для "

4)? = (−1) для " Î

Доказательство

1) Пусть $ !и ". Тогда ! = ! + " = " + ! = "

2)Пусть для " Î $ два противоположных ?: + ? = и ": + " =

Тогда ? = ? + = ? + ‘ + "’ = ( ? + ) + " = + " = "

3)Пусть - произвольный элемент, а ? - противоположный к нему. Тогда + ? = .

Тогда 0 × = 0 × + ( + ?) = (0 × + ) + ? = (0 × + 1 × ) + ? = (0 + 1) + ? = + ? =

4) Если - произвольный элемент из V, то + (−1) = 1 × + (−1) = (1 − 1) = 0 × = Þ

(−1) = ? #

Замечание

Разностью 2-х элементов и называется элемент такой, что + = Þ = + (−1) Обозначение = −

Упражнение

Доказать, что для " l: 1) l × =

2)из равенства l = , l ≠ 0 Þ =

3)из равенства l = , ≠ Þ l = 0 Операция умножения на числа

l = (l !, l " … , l #)

= (0,0, … , 0)

"= ( !, " … , #)

? = (− !, − " … , − #)

И легко проверить все аксиомы.

Примеры линейных пространств

Пр.1

- линейные пространства

Пр.2

= ( !, "

, … , #)

упорядоченная совокупность

чисел

!#, "

, 6

= ( !, ", … , #)

ТО

+ = ( ! + !, " + ", … , # + #)

Пр.3

$×#

- множество всех матриц порядка

= ”

,,,,,,

,,,,,

• = 1 ,

= 1 = ” •

+ = = ” %&•

,,,,,,

,,,,,

+ , = 1 , = 1

= ”

%&•

" =Î—

$×# = (− ) = ”− %&•

[ , ]

все аксиомы легко проверяются

Пр.5 [ , ]

- множество всех непрерывных функций, заданных на

Пр.4

Пр.6

на

[ , ]множество всех многочленов степени

Множество

↓l = k↓l

Пр.7

множество всех решений

≤

[−1, 1]

#( )

Пр.8 Произведение линейных пространств. Пусть даны два линейных пространства и .

Рассмотрим множество × , элементами которого являются упорядоченные пары ( , ), где

Î , Î

Операции сложения элементов из × определим по формулам

= ( , )

, то

£ + , + ¤

! !

" "

!Î

" !Î

Т.е. операция сложения

yz{z| yz{z|

)

( , ) = (¥ ,

Операция умножения l

! + "

Î B Î C

$ ‘ 0, D’Î ×

$ (− , − ) - противоположный к ( , ) и все аксиомы легко проверяются.

Примеры множеств, которые не являются линейными пространствами

1)Множество всех многочленов степени ≥

2)Рассмотрим множество #' = ( !, ", … , #)

+ = ( ! + !, " + ", … , # + #) l = (l !, ", … , #)

+ = (2 !, 2 ", … ,2 #) 2 = (2 !, ", … , #)

(l + µ) = l + µ - аксиома не выполняется

Билет 10 Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий

линейной зависимости. Достаточные условия линейной зависимости.

Определение

Пусть !, " … ' - любые числа, тогда элементы !, ", … , ' линейного пространства называются линейно независимыми, если из равенства ! ! + " " + ' ' = ( ) следует, что ! = " =

' = 0.

Элементы !, ", … , ' называются линейно зависимыми, если найдутся !, " … ' не все равные

нулю (| !| + | "| + + | '| ≠ 0), такие, что справедливо равенство ! ! + " " + ' ' = .

Определение

Элемент пространства есть линейная комбинация элементов !, ", … , ' , если существуют

числа !, ", … , ', такие, что = ! ! + " " + + ' '.

Справедлив следующий критерий линейной зависимости элементов линейного пространства.

Теорема

Элементы !, ", … , ' линейного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда из!, ", … , ' один из элементов является комбинацией остальных.

Доказательство

Необходимость. Пусть элементы !, ", … , ' линейно зависимы. Следовательно, в равенстве ( ) не все коэффициенты , равны нулю. Предположим для определенности, что ! ≠ 0. Тогда из

равенства

( )

получим, что

! = k− E"l " + k− E"l 6 + + k− E"l '

. Из этого равенства следует

необходимость утверждения, сформулированного в теореме.

Достаточность.

Пусть один из элементов (для определенности

) – линейная комбинация

Так как среди

! = " " + 6

6 … + ' '

или

(−1) ! + " " + 6 6

… + ' ' =

остальных, то есть

(−1), ", … , '

элементы

чисел

по крайней мере одно отлично от нуля, то согласно определению

!, ", … , # линейно зависимы.

Отметим еще некоторые достаточные условия линейной зависимости и линейной независимости элементов.

1)Если среди элементов !, ", … , ' имеется нулевой, то элементы !, ", … , ' линейно зависимы.

2)Если в системе элементов !, ", … , ' некоторая подсистема элементов линейно зависима, то и вся система !, ", … , ' линейно зависима.

3)Если вся система элементов линейно независима, то и любая подсистема элементов линейно независима.

Доказательство

1)Без ограничения общности можно считать, что ! = . Тогда равенство ( ) справедливо при

! = 1, " = = ' = 0.

2)Пусть для определенности элементы !, ", … , F ( < ) линейно зависимы, то есть справедливы равенства: ! ! + " " + ' ' = (| !| + | "| + + | '| ≠ 0). Тогда с теми же числами !, ", … , F и F+!, F+", … , ' = 0, очевидно, справедливо равенство ( ).

3)Предполагая линейную зависимость подсистемы элементов, согласно предыдущему свойству

получаем, что и вся система элементов линейно зависима, что противоречит условию 3.

Утверждение

Если система элементов !, ", … , # линейного пространства линейно зависима, а система!, ", … , #*! линейно независима, то элемент # равен линейной комбинации элементов

!, ", … , #*!.

Доказательство

Так как элементы !, ", … , # линейно зависимы, то существуют числа !, ", … , # не все равные

нулю, такие, что ! ! + " " + + #*! #*! + # # = . Очевидно, # ≠ 0, так как в противном случае элементы !, ", … , #*! были бы линейно зависимы.

Следовательно, # = ! ! + " " + + #*! #*!, где ' = − E! , = 1,2, … , − 1.

Билет 11 Два определения базиса пространства и их эквивалентность. Размерность

пространства. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Теорема о связи базиса и размерности линейного пространства.

Определение

Линейное пространство называется −мерным, если в нем ЛНЗ элементов, а ( + 1) элементов ЛЗ. При этом называется размерностью пространства и обозначается dim = .

Определение

Линейное пространство называется ∞-номерным, если для ЛНЗ элементов

Пример пространства dim = ∞

[ ; ], так как для ЛНЗ функций 1, , ", … , G*!

Определение 1

Упорядоченная совокупность элементов !, ", … , # называется базисом пространства , если

1)!, ", … , #- ЛНЗ

2)для числа !, " … #: = ! ! + " " + + # # ( )

Равенство ( ) называется разложением элемента по базису !, ", … , #, а числа!, " … #называются координатами элемента относительно базиса !, ", … , #.

Лемма

Разложение элемента по базису !, ", … , # единственно.

Доказательство

Пусть другое разложение отличное от (*), то есть = ′! ! + ′" " + + ′# #. Тогда, вычитая

это из (*), получим ( ! − ′!) ! + ( " − ′") " + + ( # − ′#) # = . Так как !, ", … , # базисные, то они ЛНЗ ! = ′!; " = ′"; … ; # = ′#

Определение 2

Упорядоченная совокупность элементов !, ", … , # называется базисом пространства , если

1)для разложение по базису

2)это разложение единственно

Утверждение

Определение 1 и определение 2 базиса эквивалентны. Доказательство Из определения 1 определение 2 – очевидно в силу леммы

Из определения 2 определение 1 для = ! ! + " " + + # # и разложение единственно.

Нужно доказать, что если !, ", … , # – ЛНЗ.

! ! + " " + + # # = ( ). Можно считать, что равенство ( ) есть разложение по базису!, ", … , #. Очевидно, что ( ) выполняется при ! = " = = # = 0. В силу единственности

разложения по базису, другого быть не может, а это означает, что !, ", … , # – ЛНЗ выполняется определение 1.

Теорема

а) Если dim = , то ЛНЗ элементов пространства образуют базис в пространстве . б) Если в линейном пространстве имеется базис, состоящий из элементов, то dim = .

Доказательство

элементов

а) Пусть

dim, а =

ЛНЗ элементов. Пусть это будут

. Тогда по определению размерности

!, ", … , #

( + 1)

!, ", … , .#, #+!

ЛНЗ элементов и

. = ! ! + " " + + # #

будут ЛЗ. Тогда в силу основного (важного)

утверждения

Тогда

!, ", … , #

= ! ! +

" " + + # #

Тогда по определению 1:

!, ", … , #

- базис в пространстве

б) Пусть

– базис в пространстве

, то есть

элементов, которые ЛНЗ. Остается

доказать, !, ", … , #

( + 1)

элементов

!, ", … , #, #+!

будут ЛЗ. Тогда разложим все по базису

что

!, ", … , #

= !! !

+ !" "

+ + !# #

!' '

= ∑'-!

= "! !

+ "" "

+ + "# #

= ∑'-!

"' '

( )

#! !

#" "

…

## #

#' '

'-!

+ + +

= ∑

#+! = (#+!)! ! + (#+!)" " + + (#+!)# # = ∑'#-! (#+!)' '

…

≤

Рассмотрим матрицу

…

следовательно по

. Очевидно, что

#! #" … ##

что строки ЛЗ.

(#+!)#

(причем

), где

теореме о базисном миноре (#+!)!

(#+!)"

…

∑

#+!

∑

#+!

% H

≠ 0

%-!

µµµ =

yzzz{zzz|

Умножим

из

на

и просуммируем по .

( )

, ,,,,,,,,

µµµ = (

, , … ,

), =

1, + 1.

. Учитывая равенство

получим

В результате %

(

)

#+!

– ЛЗ

, получим

причем

Следствие

#+!

∑%-! % % =

∑%-! %

≠ 0 !, ", … , #, #+!

dim =

( )

Если в линейном пространстве

базис из n-элементов, то

другой базис также содержит n-

элементов.

Примеры

! = (1,0, … ,0)

В пространстве

элементы

образуют базис в

" = (0,1, … ,0)

= ( !, ", … , #)

…

# = (0,0, … ,1)

dim = . Для = ( !, ", … , #) = ! ! + " " + + # #.

2)В пространстве #( ), 9 = 1, ! = , … , # = # образуют базис

#( ) = 9 + ! + " " + + # # = 9 9 + ! ! + " " + + # # dim = + 1

3)В пространстве $×# %& – образуют базис dim $×# =

4)В пространстве – множество решений системы ↓ = 0↓ (19), если = < , то ФСР

(!)	, … ,	(#*7)	- образует базис в	dim = −	.
↓	, … ,	↓		dim = −

Билет 12.

Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.

Определение

Пусть в пространстве V взяты элементы !, " … $ V. Тогда множество линейных комбинаций из этих элементов называется линейной оболочкой из этих элементов и обозначается L ( !, " … $), т.е элементы из L явл. элементами вида h= ! ! + " " + + # # , где !, " … $-произвольные числа

Утверждение:

Линейная оболочка элементов !, " … $ V является линейным подпространством пространства V.

Доказательсво:

Пусть g= !α! + "α" + + $α$ , то h+g=( !(α! + !) + "(α" + ") + + $(α$ + $) L ( !, " … $)

βh= !β ! + "β " + + #β # L ( !, " … $) L – подпространство пространства V. Теорема доказана.

Утверждение (о размерности линейной оболочки)

Размерность линейной оболочки L ( !, " … $) равна максимальному числу ЛНЗ элементов среди

!, " … $.

Доказательство:

Пусть максимальное число ЛНЗ элементов равно k (k≤ m). Будем считать, что это элементы

!, " … J. Тогда '+!, '+" … K – линейно выражаются через !, " … J.

Пусть g= !α! + "α" + + 'α' + '+!α'+! + + $α$ L ( !, " … $) и '+!, '+", $

выражаются через !, " … J. Тогда g- линейная комбинация элементов !, " … J !, " … J –

базис в L ( !, " … $). Тогда dim ( !, " … $)=k.

Теорема доказана.

Билет 13 Координаты вектора в данном базисе. Координаты суммы векторов,

произведения вектора на число.

Определение 1 (из билета11)

Упорядоченная совокупность элементов !, ", … , # называется базисом пространства , если

1)!, ", … , #- ЛНЗ

2)для числа !, " … #: = ! ! + " " + + # # ( )

Теорема

Пусть в конечномерном пространстве задан некоторый базис !, ", … , #. Тогда при сложении двух элементов пространства их координаты относительно этого базиса складываются, а при умножении элемента на число , все его координаты умножаются на это число .

Доказательство

= ! ! + " " + + # #; = ! ! + " " + + # #. Тогда в силу аксиомы

+ = ( ! + !) ! + ( " + ") " + + ( # + #) # = ! ! + " " + + # #, где ' = ' + ' , = ,,1,,,

= = ! ! + " " + + # #.

В силу единственности разложения по базису ' = ' , = 1,,,,,.

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

#
15.06.202481 Кб1Вопросы Савин В.Ю.pdf
#
13.07.2024263 Кб2Готовые билеты.docx
#
29.07.20242 Мб5ЛА Билеты расписанные.pdf
#
13.07.2024169 Кб3Образ и ядро.pdf
#
29.07.202470 Кб0Перечень задач в экзамене Савин В.Ю.pdf
#
06.03.202433 Кб1План семинарских занятий (домашки).doc
#
06.03.2024360 Кб2Теоретические задачи.pdf
#
13.07.20241 Мб6Хорошие билеты ЛИНАЛ.pdf