ЛА Билеты расписанные

Билет 14.

Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

Замечание

Для построения матрицы перехода от базиса [ ] к базису [ ̂] необходимо векторы ̂, ̂, … , ̂

! " #

разложить по базису !, ", … , #. Тогда столбцами матрицы являются координаты векторов

̂, ̂, … , ̂ в базисе [ ].

! " #

Билет 15.

Определение подпространства линейного пространства. Примеры подпространств. Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.

Определение

Множество из линейного пространства называется линейным подпространством пространства , если выполняется условие: для , ( ) и , + .

Утверждение

Множество , удовлетворяющее приведенному выше условию само является линейным пространством.

Доказательство

Из определения 0 = и (−1) , то есть в и для ′ - противоположный. Все остальные аксиомы также выполняются, так как если они выполняются во всех , то выполняются и в .

Утверждение

1)Если L V подпространство пространства V, то dim ≤ dim .

2)Если подпространство L не совпадает со всем пространством V, то dim < dim .

Доказательство

1)Следует из того, что ЛНЗ системы в L будут ЛНЗ в

2)Пусть L ≠ V, а dim = dim (то есть доказываем от противного). Пусть !, ", … , # – базис в. Тогда он базис и в . Тогда можно представить в виде = ! ! + " " + +# # . Очевидно, что = .

Теорема доказана.

Следствие

Если подпространство конечного пространства имеет ту же размерность, что и , то совпадает со всеми пространствами .

Примеры подпространств

1)В V6 множество векторов ‖ некоторой плоскости π образует подпространство.

2)В V6 множество векторов коллинеарных некоторой прямой образует подпр-во V!

3)Тривиальные подпространства:

Влинейной пространстве {θ} образует подпространство – нулевое пространство

Влинейной пространстве само пространство также является подпространством

4)В С[ , ] множество ÂpL(()Ä – множество многочленов степени ≤ образует подпространство.

5)В пространстве AL = ( !, " … #) множество решений однородной системы 0↓ = 9↓ образует подпространство Н.

Линейные оболочки

Пусть в пространстве взяты элементы !, " … $ V. Тогда множество линейных комбинаций из этих элементов называется линейной оболочкой из этих элементов и обозначается ( !, " … $), то есть элементы из являются элементами вида = ! ! + " " + + # # , где !, " … $- произвольные числа.

Утверждение

Линейная оболочка элементов !, " … $ V является линейным подпространством пространства .

Доказательсво

Пусть = !α! + "α" + + $α$, то + = !( ! + !) + "( " + ") + + $( $ + $)

( !, " … $)

= !β ! + "β " + + #β # ( !, " … $) – подпространство пространства . Теорема доказана.

Утверждение (о размерности линейной оболочки)

Размерность линейной оболочки ( !, " … $) равна максимальному числу ЛНЗ элементов среди

!, " … $.

Доказательство

Пусть максимальное число ЛНЗ элементов равно ( ≤ ). Будем считать, что это элементы

!, " … J. Тогда '+!, '+", … , K– линейно выражаются через !, " … J.

Пусть = !α! + "α" + + 'α' + '+!α'+! + + $α$ ( !, " … $) и '+!, '+", $

выражаются через !, " … J. Тогда – линейная комбинация элементов !, ", … , J !, ", … , J –

базис в ( !, " … $). Тогда dim ( !, " … $) = .

Теорема доказана.

Билет 16.

Определение пересечения и суммы подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.

1)ЛНЗ

2)что x U1 + U2 можно разложить по системам ( ) Докажем 1-ое.

Билет 17 Изоморфизм линейных пространств

Определение

Два пространства и ′ называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое обладает свойствами:

1)Если ↔ ′ ′, ↔ ′ ′, то

1.( + ) ↔ ( ′ + ′) ′

2.% ↔ ′ ′

Это взаимно однозначное соответствие, обладающее указанными свойствами, называется изоморфным или изоморфизмом

Свойства изоморфных отображений:

1)при изоморфизме нулевой элемент из пространства переходит в нулевой элемент

пространства ′, то есть U ↔ U′.

Действительно, если ↔ ′ ′, то для ↔ ′, то есть

(0 ) = U ↔ (0 ′) = U′.

2)При изоморфизме ЛНЗ элементы из пространства переходят в ЛНЗ элементы пространства ′.

Действительно, пусть ЛНЗ элементы !, ", … , # переходят в ′!, ′", … , ′# ′. Требуется, что ′!, ′", … , ′# ′ - ЛНЗ.

Допустим, что между элементами ′!, ′", … , ′# имеется соотношение:

′! + ′" + + ′# = U′ ↔ ! + " + + # = U.

Так как из равенства ! + " + + # = U ! = " = = # = 0 равенство′! + ′" + + ′# = U′ выполняется только при ! = " = = # = 0

′!, ′", … , ′# – ЛНЗ.

Теорема (критерий изоморфности двух пространств)

Для того, чтобы два линейных пространства были изоморфны , чтобы их размерности совпадали, то есть были равны.

Доказательство

Необходимость.

Пусть и ′ изоморфны. Требуется доказать, что dim = dim ′. Пусть dim = , тогда в базис!, ", … , #. Соответствующие им элементы обозначим ′!, ′", … , ′#. Докажем, что элементы′!, ′", … , ′# – ЛНЗ. Они ЛНЗ в силу свойства 2) изоморфности отображения. Для того, чтобы

доказать, что ′!, ′", … , ′# – базис в ′ ,остается показать, что для ′ ′ разложение ′ = ! ′! +

" ′" + + # ′#.

Возьмем произвольный элемент ′ ′, ему соответствует элемент ( ′ ′ ↔ ). Для элемента = ! ! + " " + + # #. Тогда в силу изоморфности получаем:

! ! + " " + + # # ! ′! + " ′" + + # ′# для ′ ′ ′ = ! ′! + " ′" + + # ′#, то есть ′!, ′", … , ′# – базис ′ dim ′ = = dim .

Достаточность.

Пусть dim = dim ′ = . Тогда в пространстве возьмем базис !, ", … , #, а в пространстве ′ возьмем базис ′!, ′", … , ′#.

Взаимно однозначное соответствие определим по формуле:

= ! ! + " " + + # # ↔ ′ = ! ′! + " ′" + + # ′#. Очевидно, что это отображение изоморфное из единственности разложения по базису и теоремы, что при сложении 2-ух векторов их

координаты складываются, а при умножении элемента на число , его координаты умножаются на это число.

+ ↔ ′ + ′↔ ′

Теорема доказана.

Билет 18.

Прямая сумма подпространств. Теорема о необходимом и достаточном условии, при котором сумма двух подпространств является прямой. Следствия из этой теоремы.

Определение

Сумма U1 + U2 называется прямой суммой этих подпространств, если для U! + U" представление его в виде = ! + ", где 1 U1 , 2 U2 единственно.

Обозначение = U! U"

Замечание

Очевидно, что требование однозначного представления элемента из в виде = ! + ", где 1 U1 , 2 U2 можно заменить требованием однозначного разложения нулевого элемента в виде

суммы = ! + ", где 1 U1 , 2 U2 1 = , 2 = .

Теорема 1

Сумма 2-х подпространств U1 и U2 прямая пересечение этих подпространств состоит только из нулевого элемента.

Доказательство

Действительно, если пересечение этих подпространств содержит элемент ≠ , то = + (− ), гдеU! , (− ) U2 и следовательно представление нулевого элемента не однозначно сумма не может быть прямой.

Обратно: если сумма 2-х подпространств U1 и U2 не прямая, то для представление в виде =

! + ", где 1 ≠ , 1 U1 , 2 U2, так как 2 = (− 1), то 2 U1 в этом случае пересечение содержит ненулевой элемент 1.

Теорема доказана.

Теорема

dim( ! ") = dimU! + dimU"

Доказательство

Непосредственно следует из предыдущей теоремы. ЧТД.

Обратная теорема

Если размерность суммы подпространств равна сумме размерностей подпространств, то сумма этих подпространств прямая.

Доказательство

Пусть U1 + U2 = и dim( ! + ") = dimU! + dimU" dim( ! ∩ ") = 0 U! ∩ U" = {0} Сумма

U1 + U2 – прямая. Теорема доказана.

Билет 19.

Евклидовы и унитарные пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Линейные нормированные пространства. Неравенство треугольника. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в различных пространствах.

Определение.

Комплексное линейное пр-во называется евклидовым комплексным пр-вом(унитарным пр-вом), если для двух элементов из этого пр-ва определено комплексное число ((x,y) – упорядоченная пара), которое называется скалярным произведением этих элементов и оно удовлетворяет

(,,,,,,,)

аксиомам: 1)(x,x)≥0 и (x,x)=0 x=0 2)(x,y)= x 3)(αx+µy,z)= α (x,z)+ µ (y,z) Замечание: (x,λy)= λ, (x,y)

Неравенство Коши-Буняковского.

Теорема доказана.

Определение. Линейное комплексное пр-во V называется линейным нормированным, если x V определено число ||x||- вещественное, называемое нормой элемента x и оно удовлетворяет аксиомам: 1) ||x||≥ 0, ||x||=0 x=0 2) ||λx||=| λ|*||x|| 3)||x+y||=||x||+||y||

Утверждение " унитарное пространство V является нормированным, если в нем норму " элемента x определить равенством: || || = Ú( , )

Доказательство. Достаточно доказать справедливость аксиом. Аксиомы №1 и №2- очевидны. Докажем аксиому №3 (неравенство треугольника)

|| + || = Ú( + , + ) = Û( , ) + ( , ) + ,,,( ,,,,) + ( , ) = Ú( , ) + 2 ( , ) + ( , )

≤Ú( , ) + 2( , ) + ( , ) ≤ Û( , ) + 2( , )! ( , )! + ( , )

""

=Û[( , )! + ( , )!]" = Ü| |Ü + Ü| |Ü #

""

Замечание В терминах нормы неравенство Коши-Буняковского принимает вид

" " " "

(∑#'-!( ' + ')")# ≤ (∑#'-! ' )# + (∑#'-! '")# − неравенство треугольника

В C "[ ; ] (вещественные непрерывные фуекции действительного переменного, именяющегося на отрезке [ , ]) они имеют вид:

Билет 20.

Ортонормированная система. Ортонормированный базис. Существование О.Н.Б. (Теорема Шмидта об ортогонализации)

Теорема (Шмидта об ортогонализации)

Пусть в унитарном пространстве # задан произвольный базис !, ", … #

ОНБ из одного элемента, удовлетворяющее всем условиям теоремы.

2)Предположим, что в унитарном пространстве размерности k $ ОНБ !, ", … ', причем для

" (1 ≤ ≤ ) элемент % является линейной комбинацией элементов !, ", … % и % = \) , где

||\)||

% определяются по формуле (*)

3)Покажем, что в унитарном пространстве размерности (k+1) также $ ОНБ, удовлетворяющий всем условиям теоремы.

Пусть !, ", … ', '+! − произвольный базис в '+!. Линейная оболочка ( !, ", … ') представляет собой унитарное пространство размерности k и по предположению индукции в

нем $ ОНБ !, ", … ', удовлетворяющий условиям теоремы. Рассмотри вектор

'+! = '+! + ! ! + " " + + ' '

Он, очевидно, является линейной комбинацией векторов !, ", … , '+! и в силу линейной независимости системы !, ", … , '+!, '+! ≠ при любых !, ", … '. Подберем числа

Билет 21.

Изоморфизм унитарных пространств.

Определение Унитарные пространства V и V’ называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что выполняются следующие два условия:

1)Это соответствие является изоморфизмом между V и V’ рассматриваемыми как линейные пространства.

2)При этом соответствии сохраняются скалярное произведение, то есть (x,y)=(x’,y’) Теорема Для того, чтобы два унитарных пространства были изоморфны необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковую размерность, т.е. = ′ Доказательство Необходимость Если V и V’ изоморфны, то они будут изоморфны как линейные пространства и, следовательно, = ′

Достаточность Пусть = ?

Выберем в и в ? базисы !, ", … # и ′!, ′", … ′# соответственно. Взаимно однозначное соответствие зададим следующим образом:

= ! ! + " " + + # # ↔ ′ = ! ′! + " ′" + + # ′#

Очевидно, это соответствие - изоморфизм и оно сохраняет скалярное произведение.