ЛА Билеты расписанные

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Экзаменационные вопросы по линейной алгебре для студентов 2-ого семестра

Лектор - Сандаков Е.Б.

1 .Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.

2.Теорема об элементарных преобразованиях матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

3.Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Критерий равенства нулю определителя.

4.Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Теорема Крамера.

5.Метод Гаусса исследования систем линейных уравнений.

6.Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений. (Теорема Кронекера-Капелли).

7.Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства их решений. Критерий наличия ненулевых решений. Фундаментальные системы решений. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

8.Общее решение совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

9.Определение линейного пространства действительного и комплексного. Единственность нулевого и противоположного элементов и их представления. Примеры линейных пространств.

10.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости. Достаточные условия линейной зависимости.

11.Два определения базиса пространства и их эквивалентность. Размерность пространства. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Теорема о связи базиса и размерности линейного пространства.

12.Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.

13.Координаты вектора в данном базисе. Координаты суммы векторов, произведения вектора на число.

14.Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому. 15.Определение подпространства линейного пространства. Примеры подпространств. Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.

16.Определение пересечения и суммы подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.

17.Изоморфизм линейных пространств.

18.Прямая сумма подпространств. Теорема о необходимом и достаточном условии, при котором сумма двух подпространств является прямой. Следствия из этой теоремы.

19.Евклидовы и унитарные пространства. Примеры. Неравенство КошиБуняковского. Линейные нормированные пространства. Неравенство треугольника. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в различных пространствах.

20.Ортонормированная система. Ортонормированный базис. Существование О.Н.Б. (Теорема Шмидта об ортогонализации).

21.Изоморфизм унитарных пространств.

22.Ортогональные подмножества унитарного пространства. Ортогональное дополнение подмножества. Теорема о разложении унитарного пространства в прямую сумму подпространств. Следствия.

23.Понятие линейного оператора и основные операции над ними. Примеры линейных операторов. Линейное пространство L(х,у).

24.Образ и ядро линейного оператора. Теорема о сумме размерностей образа и ядра оператора. Обратная теорема.

25.Обратный оператор и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора.

26.Матрица линейного оператора. Представление линейного оператора в данном базисе при помощи матрицы. Матрица суммы операторов, произведения оператора на число, произведения операторов и обратного оператора. Примеры.

27.Преобразование матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому. Определитель линейного оператора.

28.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Теорема о нахождении собственных векторов линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения и связь между ними.

29.Инвариантное подпространство относительно оператора А. Примеры. Свойства собственных векторов линейного оператора.

30.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Два критерия диагонализируемости матрицы линейного оператора. Практический способ приведения матрицы к диагональному виду.

31.Линейные формы в линейном пространстве. Сопряжённое пространство, его размерность. Преобразование коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису.

32.Билинейные формы в действительном линейном пространстве, их представление через координаты. Разложение билинейной формы на сумму симметричных и кососимметричных составляющих. Матрица билинейной формы.

33.Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. 34.Квадратичные формы в линейном пространстве. Полярная билинейная форма. Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа.

35.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.(без док-ва)

З6.Закон инерции квадратичных форм.

37.Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра. 38.Полуторалинейные (билинейные) формы. Введение скалярного произведения с помощью полуторалинейной формы.

39.Представление линейной формы в унитарном пространстве. 40.Представление полуторалинейной формы в унитарном пространстве. 41.Понятие сопряжённого оператора и его свойства. Матрица сопряжённого оператора.

42.Понятие нормального оператора и его свойства.

43.Понятие унитарного (ортогонального) оператора и его свойства. 44.Свойства унитарных ( ортогональных) матриц.

45.Основная спектральная теорема нормальных операторов.

4б.Связь между нормальными, самосопряжёнными и унитарными операторами.

47.Основная спектральная теорема самосопряжённых операторов. 48.Основная спектральная теорема унитарных операторов.

49.Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду унитарным преобразованием.

50.Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду.

51.Пучок квадратичных форм. Характеристическое уравнение пучка. Теорема о практическом методе одновременного приведения двух квадратичных форм к каноническому виду (без доказательства).

Билет #1

Понятие ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется такое число r, что среди миноров r-ого порядка, существует хотя бы один не равный нулю, а все миноры r+1-ого порядка, если только их можно составить, равны нулю.

Теорема о базисном миноре.

1)базисные строки (столбцы) линейно независимы.

2)строка (столбец) является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Доказательство.

1)Пусть базисные столбцы линейно зависимы, тогда по критерию линейной зависимости один из столбцов базисного минора является линейной комбинацией остальных

столбцов, но тогда по свойству определителя Mr=0, противоречие базисные столбцы линейно независимы. Доказательство для строк аналогично.

2)БОО можно считать, что базисный минор Mr стоит в левом верхнем углу матрицы А. Рассмотрим минор Mr+1.

ai1C1 + ai2C2 + ... + airCr + aijCr+1 = 0, для 1 ≤ i ≤ m, заметим, то коэффициенты C не

Понятие минора.

Минором матрицы А называется такой определитель, который получается путем вычёркивания i-ой строки и j-ого столбца.

Свойство определителя.

Если строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), такой определитель равен нулю.

Критерий линейной зависимости.

Если строки (столбцы) линейно зависимы, то любую строку (столбец) можно представить как линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Билет #2

Теорема об элементарных преобразованиях матрицы. Операции:

1)умножение столбца (строк) на число.

2)Прибавление столбцов (строк) матрицы.

3)Перемена местами двух столбцов (строк).

При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Доказательство. Пункт 1 и 3 следуют из теоремы о ранге матрицы, так как такие

преобразования не меняют максимальное число линейно независимых столбцов (строк). Докажем для пункта 2. Пусть RangA = rA, а ранг матрицы B, полученной из матрицы А путём сложения i-ого столбца и j-столбца, равен B. Так как RangA = rA, то все миноры A+1-ого порядка матрицы А =0. Покажем, что сложение столбцов не сделает ни один из

этих миноров отличным от нуля. Действительно, если i-й столбец не входит в минор A+1 -ого порядка матрицы В, то это очевидно. Если входит, то этот минор равен или сумме

двух миноров A+1-ого порядка исходной матрицы, или он равен сумме минора A+1-ого

порядка матрицы А и определителя с двумя одинаковыми столбцами rB ≤ rA. В силу обратимости элементарного образования матрицы можно поменять местами. Тогда

получим rB ≥ rA. A B.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Любую матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.

Допустим, что не все элементы матрицы нули. Тогда, переставляя строки и столбцы, можно поместить элемент, не равняй нулю, в левый верхний угол. a11 ≠ 0. Разделим

Если все элементы ij (i=2,...;j=2,...) равны нулю, то полученная матрица - трапециевидная.

Иначе, переставляя строки и столбцы, добьёмся, чтобы a22 ≠ 0. Затем также приходим к матрице:

Продолжая процесс прийдем к трапециевидной матрице.

Ранг матрицы равен количеству не нулевых строк, полученных в трапециевидное матрице.

Билет #3

Понятие ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется такое число r, что среди миноров r-ого порядка, существует хотя бы один не равный нулю, а все миноры r+1-ого порядка, если только их можно составить, равны нулю.

Теорема о ранге матрицы.

Максимальное число линейно независимых строк и столбцов равно рангу матрицы. Доказательство. Пусть RangA = rA. В силу теоремы о базисном миноре, базисных столбцов линейно независимы, а (r + 1), а, следовательно, и (p > r) столбцов линейно

зависимы. Максимальное число линейно независимых столбцов равно , аналогично для строк.

Критерий равенства нулю определителя.

Определитель равен нулю столбцы (строки) линейно зависимы. Доказательство. Необходимость. If det A = 0, то RangA < n. Тогда по теореме о

базисном миноре не базисный столбец, являющийся линейной комбинацией базисных

столбцов по критерию линейной зависимости столбцы линейно зависимы. Достаточность. Если столбцы определителя линейно зависимы, то по критерию линейной зависимости один столбец определителя является линейной комбинацией остальных

столбцов и, следовательно, по свойству определителей det A = 0.

Доказательство Т.к. detA = ∆≠ 0, то у A существует *!,

Билет 5.

Метод Гаусса исследования систем линейных уравнений.

Определение Элементарными преобразованиями системы (*) называются следующие преобразования:

1)Перестановка местами " 2-х уравнений

2)Умножение обеих частей на " ≠ 0

3)Прибавление к " уравнению соответствующих частей " другого уравнения, умноженных на

" число Замечание Отметим, что при элементарных преобразованиях ранг основной матрицы и

расширенной матрицы не меняется.

!! ! + !" " + … + !# # = !

! "! ! + "" " + … + "# # = " (*)

…

$! ! + $" " + … + $# # = $

Метод Гаусса. Пусть у системы (*) RangA=r≠0, m>1

Первый шаг: Предположим, что !! ≠ 0. Этого всегда можно добиться переобозначением переменных. Поэтому будем считать, что !! ≠ 0

Тогда умножим 1-е уравнение системы (*) на ! , оно будет новым 1-м в нашей системе (*). Далее

.""

умножим 1-е уравнение исходной системы (*) на (−a/!), = 2,3, … и прибавим к i-тому уравнению. Тогда получим систему:

0"+."#(")0#+ +."&(")0&-2"(")

4 .(")0#+ +.(")0&-2(") (*1) ## …#& #

.(")0#+ +.&&(")0&-2&(")

Или в матрице вида (!)↓ = (!)↓

Если RangA=r>1 и m>2, то проведем 2-ой шаг. Будем считать, что ""(!) ≠ 0 и проведем аналогичную предыдущей операцию.

Т.е. 1-е уравнение системы (*1) запишем без изменения первым в новой системе, 2-е уравнение (*1)

Билет 6.

6.Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений. (Теорема Кронекера-Капелли).

Теорема Кронекера-Капелли

Система (*) совместна Û RangA=Rang ^

Доказательство

из (*r) следует, что система (*r) совместна Û Rang (7)=Rang ^(7)

т.к. при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется, то Rang (7)=Rang ^(7) = Rang ^ , где (7) = #

Тогда если система (*r) совместна, то в системе (*r) последние (n-r) уравнений можно отбросить. В результате получим систему

Замечание при r=n – мы получим единственное решение.