Підставляючи формули (1.4) і (1.5) в (1.6), отримую наступні формули для визначення потужності:

2. Кола при гармонічних впливах. Метод комплексних амплітуд та його застосування при розрахунку електричних кіл.

Загальні відомості

Аналіз ланцюга при гармонічному впливі грає особливу роль як у теорії, так і в інженерній практиці. Відзначe деякі причини цього:

1.Гармонічні сигнали, а також сигнали, близькі до них, надзвичайно широко використовуються в радіоелектроніці.

2.Теоретичний аналіз лінійних ланцюгів при гармонічному впливі значно простіший, ніж для загального випадку - довільного сигналу. Разом з тим, отримані в результаті аналізу характеристики ланцюга - так звані частотні характеристики - дуже інформативні. Часто саме призначення того чи іншоголанцюгаабопристроювизначаєтьсявтермінахсамеїхчастотниххарактеристик(підсилювач нижніх частот, підсилювач проміжних частот, частотний коректор, смуговий фільтр і т.д.).

3.За відомими частотними характеристиками ланцюга можна проаналізувати його роботу і при інших впливаючих сигналах, різко відмінних від гармонічних (наприклад, одиночних імпульсів). Цій меті служить спектральний аналіз.

4.Частотні характеристики ланцюгів легко контролювати експериментально. Радіоелектронні лабораторії оснащені генераторами гармонічних сигналів і іншою вимірювальною апаратурою, призначеною якраз для зняття частотних характеристик ланцюгів.

Простота і зручність теоретичного аналізу лінійних ланцюгів при гармонічному впливі є наслідком того, що функції виду

(1.1)

є власними функціями будь-якого лінійного ланцюга. Це означає, що при впливі на ланцюг сигналу (1.1) частковим розв'язком динамічних рівнянь для будь-якої напруги або струму в ланцюзі буде функція того ж

виду, з тією ж частотою і лише іншими амплітудами і початковими фазами :

(1.2)

Завдяки лінійності ланцюга амплітуда пропорційна , а внаслідок інваріантності ланцюга у часі зміна фази вхідного сигналу викликає таку ж зміну фази вихідного гармонічного сигналу,

тому різниця фаз , визначена ланцюгом, залишається незмінною.

Отже, знаходження реакції ланцюга на вхідний гармонічний сигнал зводиться до визначення двох величин: коефіцієнта передачі ланцюга по амплітуді і зсуву фази в ланцюзі:

(1.3)

Як правило, обидва ці параметри ланцюга залежать від частоти гармонічного впливу. Це і є частотні характеристики ланцюга: амплітудно-частотна (АЧХ) і фазо-частотна (ФЧХ):

Слід ще раз підкреслити, що частотні характеристики описують реакцію ланцюга тільки на гармонічний вплив і тільки часткове рішення динамічних рівнянь. Передбачається, що включення сигналу відбулося давно (теоретично при −∞) і власна реакція на включення (тобто рішення однорідного динамічного рівняння) давно закінчилася. В ланцюзі спостерігається усталений режим.

Для знаходження частотних характеристик ланцюга немає необхідності описувати зв'язок між струмами і напругами у формі динамічних інтегро-диференціальних рівнянь. Можна скористатися спеціально розробленим для цієї мети методом комплексних амплітуд, що дозволяє описувати закони розподілу струмів у ланцюгах, що містять R, L, C елементи, так само як для чисто резистивних ланцюгів, тобто системою алгебраїчних рівнянь.

Комплексний сигнал, комплексна амплітуда

Порівняю дві функції часу:

(1.6)

та

(1.7)

Рис 1.1.

При розрахунку кіл можна подумки замінити реальний впливаючий сигнал його символом з

заданою амплітудою, частотою і фазою. При цьому, оскільки також є власною функцією лінійного кола, дуже легко знайти реакцію кола – комплексний сигнал на виході:

(1.10)

Очевидно, що – це символ реального вихідного сигналу s(t), у якому явно присутні амплітуда та фаза шуканої реакції. Спочатку цей метод так і називався – символічний. Запис переходу від дійсного сигналу до комплексного та назад, а також всі дії в процесі аналізу кола можна зробити ще більш

компактними, якщо ввести поняття комплексної амплітуди сигналу :

(1.11)

Комплексні опори, провідності

Між напругами та струмами в елементах L та C кола існують наступні зв'язки:

(1.12)

Для випадку комплексних сигналів:

(1.13)

диференціювання дає наступні співвідношення:

(1.14)

Скорочуючи на , отримаю для комплексних амплітуд:

(1.15)

Відношення комплексної амплітуди напруги на елементі до комплексної амплітуди струму через нього можна трактувати як деякий опір, а зворотне відношення – як провідність. За визначенням, це - комплексні опори та провідності ("імпеданс" та "адмітанс").

Тут комплексні опори:

(1.16)

та, відповідно, комплексні провідності:

(1.17)

Всі правила розрахунку кіл, еквівалентні перетворення, засновані на законах Ома та Кірхгофа, застосовні до резистивних кіл, тепер виявляються справедливими для будь-яких з'єднань резисторів, конденсаторів, індуктивностей за умови гармонійного впливу. У цьому і полягає метод комплексних амплітуд.

Цей метод виявився дуже зручним і набув широкого поширення. Часто у технічній мові не робиться різниця між опором та комплексним опором. Так, наприклад, можна почути «струм через індуктивність дорівнює

напрузі, поділеній на ». Однак це зовсім не означає, що . Потрібно завжди пам'ятати, що мова йде про комплексні амплітуди – символи гармонійних сигналів.

Комплексний коефіцієнт передачі, комплексна частотна характеристика

Замінивши елементи кола R, L, C їх комплексними опорами і використовуючи будь-який з методів розрахунку кола (закони Ома та Кірхгофа, еквівалентні перетворення, метод вузлових напруг тощо), можна отримати зв'язок між впливом та реакцією у формі:

(1.18)

де – комплексні амплітуди; – комплексне число, визначене колом, його структурою та параметрами, а також частотою впливаючого сигналу ω. Очевидно, що має сенс коефіцієнта передачі

кола. Залежно від того, що конкретно розуміється під впливом та реакцією (струм, напруга), коефіцієнт може бути безрозмірним або мати розмірність опору чи провідності.

Зручно записати в показниковій формі:

(1.19)

Тоді з (1.18) отримаю:

(1.20)

(1.21)

Таким чином, модуль коефіцієнта передачі – це коефіцієнт пропорційності між амплітудами, а аргумент дає значення зсуву фази вихідного гармонічного сигналу відносно вхідного.

Комплексні опори гілок, що містять L або C, залежать від частоти впливу ω. Тому і комплексний коефіцієнт передачі є функцією частоти. Цю функцію називають комплексною частотною характеристикою

кола і позначають (або ).

Отже, комплексна частотна характеристика є відношенням комплексних амплітуд сигналів на виході та вході як функція частоти впливаючого гармонічного сигналу:

(1.22)

при умові, що – гармонічний сигнал частоти ω. Модуль називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а аргумент – фазо-частотною характеристикою (ФЧХ) кола.

Резонансні кола

В колах з L та C елементами при певних значеннях частоти діючого сигналу проявляється ефект резонансу - різке збільшення струму або напруги. Цей ефект широко використовується в радіотехнічних пристроях. Аналіз і розрахунок резонансних кіл особливо наочний і простий при використанні методу комплексних амплітуд. Комплексні опори індуктивності і ємності є чисто уявними:

(1.23)

Величини

(1.24)

називаються реактивними опорами індуктивності та ємності. Як можна побачити, реактивні опори L і C мають різні знаки та зворотну залежність від частоти.

При

(1.25)

Маю

(1.26)

Притакійчастоті відбуваєтьсявзаємнакомпенсаціяреактивних опорів,загальнийопірпослідовно з'єднаних L і C (рис 1.2) стає рівним нулю, і відбувається різке зростання струму. У цьому і полягає ефект резонансу з позицій методу комплексних амплітуд. Найпростіші резонансні кола - послідовний та паралельний контур з L та C - відрізняються подачею впливу: у послідовному контурі сигнал вводиться у формі джерела напруги, включеного "всередину" контуру, а в паралельному - у формі джерела струму, включеного "поза" контуром.

Для схеми а:

(1.27)

Для схеми б:

(1.28)

При резонансній частоті (1.25) опори послідовного контуру і провідності паралельного стають рівними нулю.

Ток в послідовному контурі, а значить, і напруга і стають нескінченно великими. У паралельному контурі нескінченно великою стає напруга на контурі. При відході від резонансної частоти рівність модулів реактивних опорів порушується, струми та напруги різко падають. Частотна характеристика резонансного контуру продемонстрована на рис. 1.3.

Розглянутий випадок є ідеалізованим, оскільки в схемі не враховуються активні опори, завжди так чи інакше присутні у реальних схемах (або у вигляді резисторів, або у вигляді вихідних опорів джерел, опорів втрат і т.п.). Тим не менш, модель ідеального резонансного контуру надзвичайно корисна.

Основне правило: на резонансній частоті послідовний контур - це коротке замикання, паралельний контур - це розрив.

В реальних резонансних колах необхідно враховувати активні опори, які шунтують контур, а також включені в контур послідовно ("опір втрат"). Найпростіші вирази виходять, якщо в послідовному контурі активний опір r включений "всередину" контуру, а в паралельному - опір R включений шунтом (рис. 1.4, а і б).

Рис 1.4.

Вводяться два параметри контуру - характеристичний (хвильовий) опір і добротність Q:

(1.29)

(1.30)

Характеристичний опір – це модуль реактивного опору індуктивності і ємності на резонансній частоті (без урахування знаку). Добротність - це відношення між реактивним та активним опором. Чим вища

добротність, тим ближче реальний контур до ідеального, для якого .

Резонансна частота і добротність Q - два основні параметри, що визначають вигляд комплексної частотної характеристики резонансного контуру.

Визначу цю характеристику для паралельного контуру (рис. 1.4, б):

(1.31)

Тут сумарна провідність:

(1.32)

Перетворю (1.32) з тим, щоб ввести у формулу параметри і Q (1.29 , 1.30):

(1.33)

У цьому виразі залежність від частоти зосереджена у члені рівняння, яке прийнято називати нормованою розстройкою:

(1.34)

Таким чином, комплексна частотна характеристика паралельного контуру:

(1.35)

Для послідовного контуру:

(1.45)

Ця формула використовується для зручного експериментального визначення добротності за знятою резонансною кривою: добротність дорівнює відношенню резонансної частоти до смуги пропускання:

(1.46)

На рис. 1.6, а і б показано вплив добротності на вигляд резонансної кривої. Чим вища добротність, тим вужча резонансна крива, менша смуга пропускання.

Рис. 1.6.

3. Розрахунок потужностей методом комплексних амплітуд.

У ланцюзі змінного струму струм і напруга змінюються за гармонійним законом, і між ними може бути ще фазовий зсув . Враховуючи це, можна казати про миттєву потужність, тобто потужність у конкретний момент часу t.

Активнапотужність

У результаті простих тригонометричних перетворень (формула добуток синусів) отримали два доданки

, - має постійне значення

Рисунок 1. Миттєва потужність в електричному ланцюзі з індуктивністю

З рис.1 видно, що напруга випереджає струм, отже, ланцюг має індуктивний характер. Активна потужність піднята над віссю на величину P. Щодо цього рівня гармонійно змінюється потужність, тобто потужність Р - це середнє значення за період Т потужності р. Позитивне значення р відповідає потужності, яку споживає ланцюг (потужності, що віддається джерелом у ланцюг), від'ємні значення р - потужності, що повертається джерелу реактивним елементом (у цьому разі індуктивністю).

Множення на це визначення проекції одного вектора на інший, отже, переходячи на комплексну площину: , тобто .

Реактивнапотужність

Реактивна потужність - це потужність, що повертається джерелу енергії за рахунок обміну електоромагнітною енергією. Вона позначається Q.

Аналогічно можна отримати для реактивної потужності

, - скалярне значення

У комплексному вигляді

Потрібно звернути увагу, що у формулах визначення Р і Q стоїть діюче значення струму, а не комплексне, для якого вівся розрахунок.

Одиниця виміру реактивної потужності [ВАр] - Вольт-Ампер реактивний.

Повнапотужність

Повна потужність це добуток діючих значень струму і напруги, що діють:

,

де - повний опір ланцюга.

Одиниця виміру повної потужності «ВА» - «Вольт-Ампер».

Трикутникпотужностей

Так як (основна тригонометрична тотожність), то

і

Повна, активна і реактивна потужності пов'язані таким самим співвідношенням як сторони прямокутного трикутника.

Рисунок 2. Трикутник потужностей

Якщо ланцюг матиме ємнісний характер, то реактивна потужність

То кут менший за нуль. Комплексна потужність (додавання векторів):

Знак «+» відноситься до індуктивності, «мінус» - до ємності.

Баланспотужностей

Баланс має виконуватися за всіма трьома потужностями. Зазвичай його складають для комплексної потужності

Де спряжений вектор вектору , тобто у змінюється знак у показнику ступеня експоненти в показовій формі запису комплексного числа , спряжений .

4. Баланс потужностей. Умови узгодження.

5. Частотні характеристики найпростіших лінійних радіоелектронних пристроїв.

Будь-який елемент електричного кола має три основні параметри: опір, індуктивність і ємність. Опір характеризує здатність електричного кола, що полягає в перетворенні електромагнітної енергії в теплову. Опір розраховується за формулою:

= /

де, U - напруга; I - сила струму.

Такий параметр як індуктивність характеризує здатність електричного кола накопичувати електромагнітну енергію. Така енергія не перетворюється на тепло, а існує у вигляді запасу. Індуктивність розраховується за такою формулою:

= /

де, i - струм; W - потокозчеплення електричного кола.

Ємність електричного кола характеризує його здатність накопичувати електричну енергію. Ця енергія також не може бути перетворена на теплову та існує у вигляді запасу. Ємність електричного кола розраховується за такою формулою:

Рис. 1.

У низці радіотехнічних пристроїв (вхідні ланцюги радіоприймачів, підсилювачі, фільтри зосередженої селекції, вихідні каскади радіопередавачів тощо) застосовуютьсистеми зв'язанихколивальних контурів. Відмінною особливістю зв'язаних контурів є краща вибірковість АЧХ порівняно з одиночними контурами. Це дає змогу краще відфільтрувати частоти за межами смуги пропускання, забезпечити більшу рівномірність, а отже, менші частотні спотворення сигналу в смузі пропускання. На рис. 1 наведено узагальнену схему двох зв'язаних коливальних контурів: із внутрішнім зв'язком (рис. 1, а) і зовнішнім

зв'язком (рис. 1, б), де - комплексний опір першого і другого контурів, - комплексний опір

зв'язку між контурами, - опір навантаження.

Перехід від схеми, зображеної на рис. 1, «а» до схеми рис. 1, «б» можна здійснити за допомогою формул перетворення «зірка - трикутник».

Рис. 2.

Залежно від виду зв'язку розрізняють контури з трансформаторним зв'язком (рис. 2, а), автотрансформаторним зв'язком (рис. 2, б), ємнісним зв'язком (внутрішнім) (рис. 2, в), комбінованим зв'язком (рис. 2, г), та ін . Найважливішою характеристикою зв'язаних контурів є коефіцієнт зв'язку. Для

контуру з трансформаторним зв'язком коефіцієнт зв'язку визначається формулою , де M

– взаємна індуктивність, L – індуктивність контурів. Для інших видів зв'язку коефіцієнт k можна знайти за допомогою формули:

(1.1)

де ХСВ - реактивна складова комплексного опору зв'язку ; X1, X2 - реактивні опори першого і другогоконтурівтогосамогознака,щойреактивнийопірзв'язкуХСВ.Наприклад,дляконтуру зіндуктивним автотрансформаторним зв'язком (рис. 2, б) коефіцієнт зв'язку:

Дослідження частотних характеристик пов'язаних коливальних контурів зручно вести за допомогою одноконтурних схем заміщення (рис. 3), які можна отримати для узагальненої схеми (рис. 1, а) аналогічно рівнянням трансформатора:

Резонанс у системі зв'язаних контурів досягається відповідним їхнім налаштуванням і підбором оптимального зв'язку між ними. Залежно від видів налаштування розрізняють:

1.Перший частковий резонанс, що забезпечує максимум струму

, досягається налаштуванням першого контуру до забезпечення умови: Х11 = -X1BH (рис. 3, а).

2.Другий частковий резонанс, що забезпечує максимум струму

і якийдосягаєтьсяналаштуванням до забезпеченняумови Х22

=-X2вн (рис. 3, в).

3.Складний резонанс - здійснюється шляхом настроювання кожного контуру на частковий резонанс

іпідбором оптимального опору зв'язку

(1.8)

При цьому в другому контурі достигає максимального значення:

(1.9)

Неважко бачити, що налаштування I контуру в перший частковий резонанс і підбір зв'язку (1.8)

еквівалентний умові аналогічно другий частковий резонанс разом з умовою (1.8) еквівалентний

умові 4. Повний резонанс - досягається налаштуванням кожного контуру в індивідуальний резонанс (Х11 =

0; Х22 = 0) і підбором оптимального зв'язку:

(1.10)

Рівняння опору зв'язку (1.8) може бути отримано з рівняння за умов де I2 визначається з (1.7). Аналогічно рівняння (1.10) отримую з

розв'язання рівняння

Порівняння складного і повного резонансів показує, що в останньому випадку I2maxmax досягається за меншого опору зв'язку.

Зв'язані контури зазвичай використовуються в режимі передавання максимальної потужності у вторинний контур: P2 - I22 R22, тому серед частотних характеристик найбільший інтерес становить залежність I2(ω).

Виражу опір контурів і (рис. 1, а) через узагальнене розстроювання ζ:

Рис. 4. Рис.5 .

Аналіз формули (1.15) показує, що залежно від співвідношення між коефіцієнтом зв'язку k і загасанням контуру d = 1/Q можуть мати місце три основні випадки:

1)k < d - слабкий зв'язок (А < 1);

2)k > d - сильний зв'язок (A > 1);

3)k = d - критичний зв'язок (А = 1).

Залежно від характеру зв'язку істотно змінюється вигляд АЧХ. Так, за слабкого зв'язку АЧХ має вигляд резонансної кривої (рис. 4), аналогічної до одиночного коливального контуру з максимумом за ζ= 0, водночас I1max залежить від величини k: зі збільшенням k (або фактора зв'язку A) I2max зростає, досягаючи I2maxmax за k = d (A = 1) (критичний випадок).

Зі збільшенням k > d (A > 1) характер залежності струму I2 від частоти істотно змінюється: АЧХ набуває двогорбого характеру (рис. 5). На частоті ζ = 0 утворюється мінімум струму, а на частотах максимум I2maxmax .

(1.16)

Рис. 6. , Рис. 7.

З урахуванням (1.16) можна знайти рівняння частот , на яких досягається максимум струму:

Смуга пропускання зв'язаних контурів визначається з умови звідки з урахуванням (1.15) отримую рівняння узагальненого розстроювання, що відповідає смузі пропускання:

(1.19)

Із цього виразу видно, що за А > 1 смуга пропускання розпадається на дві з граничними частотами

. Щоб смуга пропускання не розпадалася на дві, необхідно виконати умову

(1.20)

де I2рез - значення струму I2 на резонансній частоті (ζ = 0). Звідси випливає необхідне значення фактора зв'язку А = 2,41. При цьому максимальна відносна смуга пропускання зв'язаних контурів в 3 рази більша, ніж у одиночного контура за тієї самої добротності ланцюга.

За критичного зв'язку k = d, δf0= 1,41d, тобто відносна смуга ширша, ніж для одиночного контуру. Для випадку слабкого зв'язку необхідно нормувати величину I2 щодо I2рез:

(1.21)

Далі знаходжу узагальнену розстройку, що відповідає смузі пропускання і відносну смугу пропускання пов'язаних контурів:

(1.22)

Якщо зв'язок дуже слабкий (A→0), то з (1.22) неважко бачити, що δf0≈0,64d, тобто істотно нижчий за смугу пропускання одиничного контуру. Тому на практиці пов'язані контури за слабкого зв'язку зазвичай не використовують. Фазочастотну характеристику зв'язаних контурів можна отримати звичайним способом із рівняння (1.12).

7. Перехідні процеси в лінійних радіоелектронних пристроях. Класичний метод аналізу перехідних процесів.

Теорія

Перехідний процес - процес, що виникає в електричному ланцюзі під час переходу від одного усталеного режиму до іншого.

Сталий режим - режим, що встановлюється в електричному ланцюзі в результаті тривалого впливу на цей ланцюг постійних або періодичних електричних струмів.

Перехідний процес виникає в електричному ланцюзі в результаті комутацій.

Комутації - дії, що спричиняють перехідний процес в електричному колі, вимкнення або ввімкнення джерел, окремих гілок, зміна параметрів кола, зміна фази, частоти, амплітуди напруги і струму та ін.

Завдання аналізу перехідних процесів полягає у визначенні характеру зміни u(t) та i(t) на елементах електричного кола під час перехідного процесу і тривалості протікання цього перехідного процесу.

Аналіз перехідних процесів ґрунтується на опис стану електричного кола за допомогою законів Кірхгофа для миттєвих значень. У результаті отримуємо систему інтегро-диференціальних рівнянь. Завдання аналізу перехідних процесів зводиться до відшукання розв'язку (інтеграла, інтегрування) вихідної системи рівнянь.

Класичний метод аналізу перехідних процесів

Якщо ланцюг містить індуктивність L або ємність C, то результати аналізу ланцюга можна отримати тільки шляхом розв'язування диференціального рівняння, яке складають на основі законів Кірхгофа та рівнянь елементів ланцюга.

Розв'язок лінійного диференціального рівняння може бути представлений у вигляді суми двох складових: 1) загального розв'язку однорідного диференціального рівняння - вільної складової iСВ(t) або uСВ(t); 2) окремого розв'язку неоднорідного диференціального рівняння - вимушеної складової iу(t) або uу(t), яку зручно визначати як реакцію кола за t → ∞ у сталому режимі. Тобто:

i(t) = iу(t) + iСВ(t) або u(t) = uу(t) + uСВ(t).

Сталий режим ланцюга зумовлений дією джерел енергії постійної або синусоїдальної напруги. Вільний режим ланцюга зумовлений запасом електромагнітної енергії ланцюга в момент комутації (увімкнення, вимкнення, перемикання, зміна параметрів ланцюга тощо).

Порядок характеристичного рівняння залежить від числа реактивних елементів і їх розміщення в ланцюзі. Найпростіший спосіб складання характеристичного рівняння ланцюга полягає в наступному: 1) записують формулу вхідного опору щодо будь-якої гілки ланцюга в комплексній формі, 2) у формулі Z(jω) замінюють jω на p, 3) отриманий вираз Z(p) прирівнюють до нуля. Якщо розгалужений ланцюг має лише одиннакопичуваченергії,зручніше записуватиформулу вхідного опору щодогілкизнакопичувачеменергії.

Якщо в схемі є джерело струму, характеристичний опір слід записувати відносно будь-якої іншої гілки схеми, вважаючи при цьому гілку з джерелом струму розімкнутою.

Вираз вільної складової визначається видом коренів характеристичного рівняння. Корені дійсні, від'ємні та різні (аперіодичний режим):

iСВ(t) = A1∙ep1∙t + A2∙ep2∙t +...+ An∙epn∙t;

корені дійсні, від'ємні та кратні (критичний режим): iСВ(t) = (A0+ A1∙t+ A2∙t2/2!+…)∙ep∙t;

корені комплексно-спряжені (коливальний режим):

iСВ(t) = A∙e-δ∙t∙sin(ωСВ∙t + ψ),

де n - порядок характеристичного рівняння ланцюга; АК і ψ - постійні інтегрування (константи), які визначаються із початкових умов; рК - корені характеристичного рівняння; δ - власне загасання; ωСВ - кутова частота вільних коливань, що загасають.

Для визначення констант використовують початкові умови (незалежні та залежні), зумовлені двома законами комутації. До незалежних початкових умов (НПУ) відносять струми в індуктивних елементахiL(0) і напруги на ємнісних елементах uС(0) після комутації, які визначаються зі схеми до комутації для t = 0.

Перший закон комутації: за будь -яких змін в електричному ланцюзі, пов'язаних із комутацією, енергіявіндуктивному елементі неможезмінюватисямиттєво, і,зцього випливає,щострумвіндуктивному елементі не може змінюватися стрибком:

iL(0) = iL(0+) = iL(0-),

де iL(0-) - струм в індуктивному елементі перед комутацією; iL(0+) - струм в індуктивному елементі після комутації для t = 0.

Другий закон комутації: енергія в ємнісному елементі не може змінюватися миттєво, і, з цього випливає, що напруга на ємнісному елементі не може змінюватися стрибком:

uС(0) = uС(0+) = uС(0-),

де uС(0-) - напруга на ємнісному елементі до комутації, uС(0+) - напруга на ємнісному елементі після комутації для t = 0.

Усі інші струми, напруги та їхні похідні в ланцюзі після комутації для t = 0 можуть змінюватися стрибкомі називаютьсязалежнимипочатковимиумовами(ЗПУ).ЗПУ визначаютьсязі схемипіслякомутації за законами Кірхгофа, записаними для t = 0, з огляду на відомі НПУ.

Постійні інтегрування для ланцюга другого порядку визначають із рівнянь для i(0) і di(t)/dt при t = 0

(i′(0)):

а) аперіодичний режим

i(0) = iу(0) +А1 +А2; i′(0) = i′у(0) +p1A1 +p2A2;

б) коливальний режим

i(0) = iу(0) + А∙sin(ψ);

i′(0) = i′у(0) +ωСВ∙A∙cos(ψ) –δ∙A∙sin(ψ).

Похідні від струму в індуктивному елементі′ (0)та =напругиu (0)/Lнаиu′ємнісному(0)= i (0)/Cелементі. в перший момент після комутації (t = 0) зручно визначати з виразів i L L С С

Розрахунок перехідного процесу класичним методом проводиться в такому порядку:

- Розраховується режим до комутації, з якого визначаються незалежні початкові умови.

Знаходжу струм у момент часу Характеристичне рівняння після вимкнення рубильника і його корінь дорівнюють:

[1/с].

Рішення шукаю у вигляді , де Постійну інтегрування В2 визначаю з рівняння, записаного для моменту комутації t = 2,5 с:

Рішення записую у вигляді За другим законом Кірхгофа визначаю напругу на котушці після ввімкнення рубильника:

Графіки току i(t) и напруги uk(t) представлені на рис. 2.:

Рис.2.

Приклад №2:

У ланцюзі (рис. 3) струм i1(t) раптово переривається вимикачем (час комутації ). Після початку комутації струм i1 мав постійне

значення I1, струмi2(t) =0, розсіювання відсутнє. Для

. Знайти напругу на конденсаторі uC(t). Дано: M = 5 мГн; I1 = 0,1 А; L2

= 10 мГн; C = 1 мкФ ; r = 1 кОм.

Рис. 3.

Розв’язок:

1. Розрахунок після увімкнення рубильника.

Умова безперервності потокозчеплення:.

Оскільки відсутнє розсіювання, то L1∙L2 = M2, тобто L1 = M2/L2 мГн. З умови безперервності визначу початкові умови:

тобто Початкове значення напруги на ємності uС(0) = 0.

У сталому режимі i2ПР = 0, uСПР = 0, оскільки немає джерел. Для другого контуру складу рівняння Кірхгофа:

Визначу початкове значення струмів iR(t) і iC(t):

Запишу перше рівняння, попередньо виразивши струми через uС(t):

Тоді:

Характеристичне рівняння:

Корені характеристичного рівняння: . Розв'язок диференціального рівняння шукаю у вигляді:

Візьму похідну від цього рівняння:

При .

Складу рівняння для визначення постійних інтегрування:

Із першого рівняння: тоді . Із другого рівняння знаходжу:

Відповідь:

8. Аналіз перехідних процесів операторним методом.

Функція i(t) абоu(t), звана оригіналом, що задовольняє умовам Діріхле на будь-якому скінченному проміжку часу та дорівнює нулю за умови t < 0, замінюється відповідною їй функцією F(p) комплексного змінного р, званою зображенням. Ці функції пов'язані співвідношенням

або званим прямим перетворенням Лапласа.

Оберу довільно напрямки струмів і запишу систему рівнянь за 1-м і 2 -м законами Кірхгофа для схеми, наведеної на рис. 1.

де ilK(0) і uCK(0) - початкові значення струмів у котушках індуктивності та напруг на конденсаторах у відповідних гілках.

За нульових початкових умов (iLk(0) = 0 і uCk(0) = 0) другий закон Кірхгофа має вигляд

Він аналогічний другому закону Кірхгофа в комплексній формі. Найчастіше зображення шуканої величини має вигляд раціонального дробу

і - дійсні числа, а M < N. Оригінал f(t) зображення F(p) можна знайти за формулою, яку називають теоремою розкладання. Залежно від виду коренів характеристичного рівняння F2(p) = 0 вираз теореми розкладання має різний вигляд:

а) якщо корені дійсні, від'ємні та різні, то оригінал визначається виразом: ;

б) якщо знаменник рівняння F2(p) = p∙F3(p) = 0 має один корінь, що дорівнює нулю, то оригінал знаходять за

формулою:

в) якщо рівнянняF2(p) = 0 маєкомплекснікорені, товиразтеоремирозкладаннямаєвигляд:

Етапи розв'язання задач операторним методом:

1)визначення незалежних початкових умов зі схеми до комутації і складання операторної схеми заміщення;

2)визначення зображення шуканих величин за допомогою будь-якого методу розрахунку;

3)знаходження оригіналів за знайденими зображеннями за допомогою теореми розкладання, таблиць, що зв'язують оригінали та їхні зображення, або зворотного перетворення Лапласа.

9. Основи теорії чотириполюсників.

Визначення

Для передавання інформації за допомогою електромагнітної енергії (хвиль, сигналів в електричних схемах) застосовують різноманітні пристрої (рис. 1), які мають два вхідних (первинних) затискачі та два вихідних (вторинних). До вхідних затискачів під'єднується джерело електричної енергії, до вихідних приєднується навантаження. Такі пристрої називаються чотириполюсниками. Чотириполюсниками є фільтри, трансформатори, підсилювачі, каскади радіопередавачів і радіоприймачів, лінії зв'язку тощо.

Рис. 1.

Класифікація

Чотириполюсники бувають активні та пасивні. В активному чотириполюснику є джерела енергії, у пасивному - джерел енергії немає. Прикладами активних чотириполюсників є підсилювачі, каскади радіопередавачів і радіоприймачів тощо. Прикладом пасивного чотириполюсника може слугувати кабельна або повітряна лінія зв'язку, електричний фільтр тощо. Чотириполюсники поділяють на лінійні та нелінійні. Чотириполюсникєлінійним,якщонапругаіструмнайоговихіднихзатискачахлінійнозалежатьвіднапруги і струму на вхідних затискачах. Прикладамилінійних чотириполюсників є лінії зв'язку, фільтри, прикладами нелінійного - випрямляч, детектор, перетворювач частоти в радіоприймачі. Чотириполюсники можуть бути симетричними та несиметричними. Чотириполюсник симетричний, якщо зміна місцями вхідних і вихідних затискачів не змінює струмів і напруг у ланцюзі, з яким чотириполюсник з'єднаний. В іншому разі чотириполюсник несиметричний. Чотириполюсники бувають автономнимиі неавтономними. На затискачах автономного чотириполюсника залишається напруга, зумовлена наявністю внутрішніх джерел, тобто такий чотириполюсник обов'язково є активним. В іншому разі чотириполюсник пасивний. Розрізняють також оборотні та необоротні чотириполюсники. В оборотних чотириполюсниках відношення напруги на вході до струму на виході (передавальний опір) не залежить від того, яка пара затискачів є вхідною, а яка вихідною. В іншому разі чотириполюсник необоротній.

Системи рівнянь чотириполюсників

Дві з чотирьох величин, що визначають режим чотириполюсника, можна розглядати як задані впливи,а дві, що залишилися, - як відгуки на ці впливи. Таким чином, співвідношення між струмами і напругами на вході

івиході чотириполюсника можуть бути записані у вигляді шести систем рівнянь.

1.Струми на вході та виході виражаються залежно від напруг на вхідних і вихідних затискачах:

Коефіцієнти 11̇, 12̇, 21̇, 22̇називаються Y-параметрами і є комплексними провідностями.

- комплексна вхідна провідність при короткому замиканні вихідних затискачів.

- комплексна вхідна провідність з боку затискачів (2-2) при короткому замиканні вхідних затискачів.

- комплексна передавальна (взаємна) провідність при короткому замиканні вхідних затискачів.

2. Напруги на вході та виході виражаються залежно від струмів, що протікають через вхідні та вихідні затискачі:

- вхідний опір з боку затискачів (1-1) за розімкнутих вихідних затискачів.

- передавальний (взаємний) опір при розімкнутих затискачах (1-1).

- передавальний (взаємний) опір при розімкнутих затискачах (2-2).

- відношення напруг у режимі холостого ходу на виході.

- величина, зворотна передавальному опору в режимі холостого ходу на виході.

-величина, зворотна передавальній провідності в режимі короткого замикання на виході.

-відношення струмів у режимі короткого замикання на виході.

Знайду зв'язок між ̇- і ̇-параметрами. Із другого рівняння системи Y-параметрів випливає:

Підставивши останній вираз у перше рівняння системи Y-параметрів, отримаю:

І остаточно,

Отже,

де | ̇| = 11̇22̇− 12̇21̇- ̇визначник, складений із ̇-параметрів.

Визначник, складений з -параметрів, дорівнює:

Для оборотного чотириполюсника 12̇= 21̇і | ̇| = 11̇ 22̇− 12̇ 21̇= 1.

4. Для аналізу передачі сигналу від затискачів (2-2) до затискачів (1 -1) використовується система рівнянь зворотної передачі:

Вплив чотириполюсника на режим ланцюга, з яким він з'єднаний, оцінюють вхідними опорами (рис. 2):

На ці вхідні опори здійснюється навантаженим джерело під час передавання сигналу зліва направо (рис. 2, а) і справа наліво (рис. 2, б).

Вирази для вхідних опорів можуть бути подані й в іншій формі:

Де:

- вхідні опори в режимі холостого ходу і короткого замикання на виході.

- вхідні опори в режимі холостого ходу та короткого замикання на вході.

Таким чином, чотириполюсник трансформує опір навантаження в новий опір, що залежить як від величини навантаження, так і від параметрів чотириполюсника.

10. Кола з розподіленими параметрами.

11. Довгі лінії.

Рис. 1. Схема та АЧХ Г-подібного низькочастотного фільтра.

Розрахунок такого фільтра проводиться за такими формулами:

Усі LC-фільтри мають ту перевагу, що на змінному струмі конденсатори і котушки індуктивності працюють взаємообернено, тобто при збільшенні частоти сигналу індуктивний опір зростає, а ємнісний падає. Таким чином, у LC-фільтрі нижніх частот реактивний опір паралельного елемента зі збільшенням частоти сигналу зменшується і цей елемент шунтує високочастотні сигнали. На низьких частотах реактивний опір паралельного елемента досить високий. Послідовний елемент забезпечує проходження низькочастотних сигналів, а для сигналів високих частот його реактивний опір великий.

Простий Г-подібний фільтр не забезпечує достатню крутизну амплітудно-частотної характеристики. Для збільшення крутизни в основну Г-подібну структуру вводять додаткову котушку індуктивності, як показано на рис. 2. Такий фільтр називається Т-подібним.

Рис. 2. Т - подібний НЧ LC-фільтр.

УТ-подібному фільтрі значення конденсатора С таке саме, як і у вихідній Г-подібній структурі, і всі

їїрозрахункові формули зберігаються. Сумарна індуктивність котушок L1 і L2 має бути еквівалентна індуктивності єдиної котушки вихідної Г-подібної структури. Зазвичай необхідна загальна індуктивність розподіляється між двома цими котушками порівну таким чином, щоб кожна з котушок у Т-подібному фільтрі нижніх частот мала індуктивність удвічі меншу, ніж котушка в Г-подібному фільтрі.

Крутизну амплітудно-частотної характеристики можна збільшити також шляхом введення в ланцюг додаткового конденсатора. Такий фільтр називається П-подібним (рис. 3).

Рис. 3. П-подібний низькочастотний LC-фільтр.

У П-подібному фільтрі значення індуктивності L таке саме, як і у вихідній Г-подібній структурі, тоді як сумарна ємність конденсаторів С1 і С2 має бути еквівалентною ємності конденсатора вихідної Г-подібної структури. Зазвичай необхідну загальну ємність розподіляють між двома цими конденсаторами порівну таким чином, щоб кожен із конденсаторів у П-подібному фільтрі мав ємність, що дорівнює половині ємності конденсатора в Г-подібному фільтрі.

На рис. 4 наведено схему й амплітудно-частотну характеристику типового Г-подібного LС-фільтра верхніх частот.

Рис. 4. Схема та АЧХ високочастотного Г-подібного LC-фільтра.

Розрахунок Г-подібного LС-фільтра верхніх частот проводиться за такими формулами:

У цьому фільтрі при збільшенні частоти опір послідовного елемента зменшується. Він пропускає високочастотні сигнали, а для сигналів низьких частот його реактивний опір великий. Паралельний елемент має шунтувальний вплив на сигнали низьких частот, а для високочастотних сигналів його реактивний опір великий.

Длязбільшеннякрутизниамплітудно-частотноїхарактеристикивГ-подібнуструктуруможнаввести додатковий конденсатор, як показано на рис. 5.

Рис. 5. Т - подібний високочастотний LC-фільтр.

Такий фільтр має Т -подібну структуру. У Т-подібному фільтрі значення індуктивності L не відрізняється від її значення у вихідній Г-подібній структурі, і всі розрахункові формули залишаються такими самими. Сумарна ємність конденсаторів С1 і С2 має бути еквівалентна ємності одиночного конденсатора вихідної Г-подібної структури. Зазвичай ця необхідна загальна ємність розподіляється порівну між двома конденсаторами так, що у Т-подібному фільтрі верхніх частот кожний конденсатор має ємність, що дорівнює подвоєному значенню ємності в Г-подібній структурі.

Крутизну амплітудно-частотної характеристики фільтра можна також підвищити шляхом введення в схему додаткової котушки індуктивності, як показано на рис. 6, утворюючи П-подібний фільтр.

Рис. 6. П-подібний високочастотний LC-фільтр.

У П-подібному LC-фільтрі значення ємності конденсатора не змінюється, а сумарна індуктивність котушок L1 і L2 має бути еквівалентною індуктивності одиночної котушки вихідної Г-подібної структури. Зазвичай необхідну загальну індуктивність розподіляють порівну між двома котушками так, що кожна з них має індуктивність, що дорівнює подвоєному значенню індуктивності Г-подібної структури.

Роботасмугово-загороджувального(режекторного)фільтра ґрунтуєтьсянавідмінностізалежностей повних опорів паралельного і послідовного резонансних ланцюгів від частоти. Повний опір паралельного LC-ланцюга на резонансній частоті максимальний, тоді як у послідовного ланцюга він мінімальний. Ці два LC-ланцюги, з'єднані певним чином (рис. 7), утворюють Г-подібний режекторний фільтр.

Рис. 7. Г - подібний режекторний LC-фільтр.

На центральній частоті необхідного діапазону повний опір послідовного LC-ланцюга (його ввімкнено паралельно навантаженню) мінімальний, і він чинить шунтувальний вплив та послаблює сигнали. Повний опір паралельного LC-ланцюга (який увімкнено послідовно з навантаженням) на центральній частоті необхідного діапазону максимальний, і він перешкоджає проходженню сигналів.

Т-подібні та П-подібні смугово-пропускні фільтри (рис. 8) мають більш високу крутизну амплітудно-частотної характеристики.

Розрахунок LC-фільтрів, що пропускають смуги, здійснюють за такими формулами:

C1 - Формула дозволяє знайти ємність для даних частот і опору.

C2 - формула розраховує ємність для іншого компонента фільтра.

FR - резонансна частота в кілогерцах (кГц).

Рис. 8. Смугові П- і Т-подібні LC - фільтри.

13.Нелінійніелементи.Характеристики,параметри.Способипредставленняхарактеристик. Моделі нелінійних радіоелектронних пристроїв.

14. Статичний режим нелінійних радіоелектронних пристроїв. Методи аналізу.

Радіоелектронні засоби в своєму складі мають нелінійні компоненти, що при моделюванні статичного режиму або аналізу на великому сигналі потребує використання систем нелінійних рівнянь. В загальному випадку сситема нелінійних рівнянь (рівність нулю n функцій fi від n невідомих xі) має вигляд:

f1(x1,x2 ,…,xn ) =0f2 (x1,x2 ,…,xn ) =0

. . . . . . . . . . . . або F(X)=0. (1.1)fn (x1,x2 ,…,xn ) =0

Нижче наведено кілька методів розв′язання нелінійних систем рівнянь та їх особливості.

Метод простої ітерації

Метод простої ітерації це розвиток метода простої ітерації для систем лінійних рівнянь і грунтується на припущенні, що система рівнянь (1.1) може бути приведена до вигляду:

Алгоритм розв′язання системи:

1) використовуючи початкові наближення xj із рівнянь (1.2) послідовно розраховують нові значення xj* , при цьому в кожному і -му рівнянні всі змінні xj (j<i) заміняють на нові значення xj*, розрахованя по попереднім рівнянням;

2) значення xj* порівнюють попередніми xj і якщо |xj*- xj| <ε (ε<<1), то розрахунки припиняють.

Хоч метод дозволяє отримати розв′язок системи, але має певні недоліки. Якщо початкові значення змінних сильно відрізняються від розв′язку системи, то процес може не збігатися.

Метод Ньютона

Метод Ньютона – найбільш ефективний метод розв′язування систем нелінійних рівнянь, що значною мірою обумовлене прискореною сходимістю порівняно з методом простої ітерації. Метод грунтується на відображенні всіх n рівнянь системи (1.1) у вигляді скорочених рядів Тейлора: