6.2.2. Криві другого порядку. Еліпс, гіпербола, парабола та їх властивості

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи. Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі — комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.

В геометрії, еліпс — крива на площині, що проходить довкола двох точок фокусів, таким чином, що сума відстаней до двох точок фокусів залишається сталою для кожної точки кривої. Окремим випадком еліпса є коло, що є еліпсом в якого обидві точки фокусу суміщені в одну. Форма еліпса (величина його «витягнутості») задається ексцентриситетом, який у випадку для еліпса може приймати будь-яке значення від 0 (граничний випадок для кола) до значення якомога близького до 1, не включаючи саме значення 1. Еліпс — крива другого порядку.

Еліпс це замкнений тип конічного перетину: двовимірна крива, що утворюються від перетину конуса площиною (див. малюнок праворуч). Еліпси мають дуже багато спільного із іншими формами конічних перерізів: параболою і гіперболою, обидві з яких є відкритими і необмеженими кривими. Перетином циліндра також є еліпс, доки переріз не є паралельним осі обертання циліндра.

Еліпси широко використовуються в фізиці, астрономії та інженерії. Наприклад, орбіти планет нашої сонячної системи є дуже близькими до еліпсів, де однією із фокусних точок буде спільний барицентр планети і Сонця. Те саме є справедливим і для супутників, що обертаються довкола планет, і для інших систем, що складаються з двох астрономічних тіл. Форми планет і зірок часто добре описуються за допомогою еліпсоїдів. Походить від грецького — нестача, пропуск, випадіння («неповнота» або «дефектність» еліпса порівн. з «повним» колом або кругом).

Основні властивості еліпса:

Властивості еліпса.

1. Еліпс перетинає кожну із своїх осей координат у двох точках.

Щоб визначити координати точок перетину еліпса з віссю Ох, треба розв’язати сумісно їхні рівняння , . Точка перетину еліпса з віссю Ох повинна мати ординату і, крім того, належати еліпсу. Підставивши в рівняння еліпса, дістанемо .

Отже, точками перетину еліпса з віссю Ох будуть , . Аналогічно знаходимо точки перетину еліпса з віссю Оу: , .

Точки А, В, С, D називаються вершинами еліпса.

Відрізок АС називається великою віссю еліпса, відрізок ВD – малою віссю. Фокуси F₁ i F₂ еліпса лежать на великій осі. Довжина великої осі, очевидно, дорівнює 2а, малої осі – 2b. Числа а і b називаються півосями еліпса.

2. Еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.

В рівнянні еліпса змінні х і у містяться тільки у другому степені. Отже, якщо координати точки N(x;у) задовольняють рівняння еліпса, то це саме рівняння задовольнятимуть також і координати точок і . Легко бачити, що точка симетрична точці відносно осі ординат, точка симетрична точці відносно осі абсцис.

Таким чином, еліпс має дві осі симетрії, вони взаємно перпендикулярні. Велика і мала осі еліпса лежать на його осях симетрії. В окремому випадку, коли а=b, тобто еліпс буде колом, віссю симетрії буде будь-яка пряма, що проходить через центр кола.