4. Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі.
Схема Бернуллі або схема повторних незалежних випробувань:
Розглянемо випадки, коли у дослідах одні і ті ж випробування повторюються декілька разів. (Наприклад: підкидання монети; схожість насіння; наявність бракованих виробів у партії і т.д.). Тоді в результаті кожного випробування може з’явитись або не з’явитись подія, яка нас цікавить. (Наприклад: поява герба або решки; проросло зерно чи не проросло; деталь бракована чи стандартна і т.д.). Але цікавим для нас є не результат окремого випробування у серії проведених дослідів, а ймовірність появи тієї чи іншої кількості подій у серії випробувань.
У
схемі Якоба Бернуллі (1654-1705р.) розглядається
серія з n
повторних незалежних випробувань, кожне
з яких має лише два наслідки: поява
деякої події А
(успіх)
або поява протилежної події
(невдача),
причому ймовiрність успіху однакова в
усіх випробуваннях і дорівнює р.
Числа n
і р
називаються параметрами
схеми Бернуллі. Тоді узагальнимо вище
сказане у вигляді схеми:
1. Проводится n незалежних випробувань.
2. Ймовірність
успіху стала і дорівнює p,
де
.
3. Ймовірність
невдачі
.
4. Кожне випробування має два наслідки: успіх або невдача.
Формула Бернуллі.
Схожість зерна
дорівнює
.
Знайти ймовірність, що з n
посіяних зернин проросте k
насінин.
Подія А-успіх полягає у тому, що зернина проросте.
Ймовірність того,
що в n незалежних
випробуваннях, у кожному з яких ймовірність
появи події дорівнює p
(
),
подія настане рівно k
разів (без
різниці, в якій послідовності), обчислюється
за формулою Бернуллі: 
,
де
.
(Для прикладу з насінням, задача
формулюється наступним чином: ймовірність
того, що з
насінин проросте рівно
,
якщо ймовірність проростання для кожної
насінини дорівнює
,
обчислюємо за формулою Бернуллі).
Примітка: формула Бернуллі
застосовується у випадку, коли кількість
випробувань відносно невелика (як
правило, при
,
де р не може бути набагато меншим
0,1, оскільки при піднесенні до степеня,
результат прямуватиме до 0).
Приклад №1. У корзині 30 білих і 10 чорних куль. Взяли підряд п’ять куль, причому кожну взяту кулю повертають у корзину назад перед тим, як брати наступну. Яка ймовірність того, що з п’яти взятих куль три будуть білими?
Розв’язання. Ймовірність взяти білу
кулю можна вважати однаковою (сталою в
усіх п’яти випробуваннях і рівною:
),
тоді ймовірність витягти чорну (не
білу):
,
або
.
Скориставшись формулою Бернуллі,
матимемо:
Відповідь: 26,4%.
Частіше на практиці цікавить ймовірність того, що у випробуваннях подія А з’явиться: а) менше k разів; б) більше k разів; в) не менше k разів; г) не більше k разів, тоді її визначають відповідно за формулою:
,
або:
Приклад №2. Ймовірність того, що витрати води протягом дня не перевищуватимуть норму, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що витрати води будуть у нормі у найближчі шість днів протягом: 1) п’яти; 2) не менше чотирьох.
Розв’язання. Будемо вважати, що
випробування – це перевірка норм витрат
води. Кількість випробувань за умовою
n = 6. Подія А – успіх витрати води
в нормі, тоді
,
не відповідають нормам витрати води
.
За формулою Бернуллі маємо:
Відповідь: 1) 39,3%; 2) 90,1%.
Закон великих чисел в теорії імовірностей стверджує, що емпіричне середнє (арифметичне середнє) великої вибірки із фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього (математичного сподівання) цього розподілу. В залежності від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли маємо збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли маємо збіжність майже скрізь.
Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якій з будь-якою заданою наперед імовірністю частота появи деякої події буде як завгодно мало відрізнятися від її імовірності.