6.6.2. Формула повної ймовірності. Формула Байєса. Схема незалежних випробувань Бернуллі. Закон великих чисел

Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

Формула повної імовірності. У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умови, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій В_і, які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними ( Ø, i ≠ j, j = 1,…, n, ), імовірність події А обчислюється за формулою

(7)

яка називається формулою повної ймовірності.

Випадкові події В₁, В₂, …, В_n називають гипотезами.

Приклад 5. До складального цеху надходять деталі від трьох інших цехів. Від першого надходить 45% усіх деталей, від другого – 35% і від третього – 20%. Перший цех допускає, в середньому 6% браку, другий – 2%, третій – 8%. Яка ймовірність того, що до складального цеху надійде стандартна деталь?

Розв’язання: Позначимо через А появу стандартної деталі, В₁ – деталь надійде від першого цеху, В₂ – від другого, В₃ – від третього. За умовою задачі:

Р(В₁) = 0,45, Р(А/В₁) = 0,94;

Р(В₂) = 0,35, Р(А/В₂) = 0,98;

Р(В₃) = 0,2, Р(А/В₃) = 0,92;

Згідно з (7) маємо:

Р(А) = Р(В₁)Р(А/В₁) + Р(В₂)Р(А/В₂) + Р(В₃)Р(А/В₃) = 0,45·0,94 + 0,35·0,98 +

+ 0,2·0,92 = 0,423 + 0,343 + 0,184 = 0,95 або 95%.

Відповідь: Ймовірність того, що до складального цеху надійде стандартна деталь дорівнює 95%.

Приклад 6. У ящику міститься 11 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта браковані. Із ящика навмання беруть три деталі й назад не повертають. Яка ймовірність після цього навмання вийнята з ящика деталь, стандартна?

Розв’язання. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що з ящика вийнято навмання одну стандартну деталь після того, як з нього було взято три. Розглянемо такі події:

В₁ – було взято три стандартні деталі;

В₂ – дві стандартні і одну браковану;

В₃ – одну стандартну і дві браковані;

В₄ – три браковані деталі.

Обчислимо ймовірність гіпотез, а також відповідні їм умовні ймовірності Р(А/В_і) (і = 1, 2, 3, 4)

= 0,2121, Р(А/В₁) = ;

= 0,5091, Р(А/В₂) = ;

= 0,2545, Р(А/В₃) = ;

= 0,0242, Р(А/В₄) = .

Згідно з (7) дістанемо:

Р(А) = Р(В₁)Р(А/В₁) + Р(В₂)Р(А/В₂) + Р(В₃)Р(А/В₃) + Р(В₄)Р(А/В₄) =

= 0,2121· + 0,5091· + 0,2545· + 0,0242· =

= 0,1061 + 0,3182 + 0,1909 + 0,0212 = 0,6364 або 63,64%.

Відповідь: Ймовірність того, що вийнята з ящика деталь після трьох виймань, стандартна дорівнює 63,64%.

У теорії ймовірностей та статистиці Теорема Баєса (або ж Зако́н Ба́єса, чи Правило Баєса) описує ймовірність події, спираючись на обставини, що могли би бути пов'язані з цією подією. Наприклад, припустімо, що хтось цікавиться, чи має рак певна особа, і знає вік цієї особи. Якщо рак пов'язаний з віком, то, застосовуючи теорему Баєса, інформацію про вік осіб можливо використати для точнішої оцінки ймовірності того, що вони мають рак.

При застосуванні задіяні у теоремі Баєса ймовірності можуть мати різні інтерпретації. В одній із цих інтерпретацій теорема Баєса використовується безпосередньо у певному підході до статистичного висновування. При баєсовій інтерпретації ймовірності ця теорема виражає, як повинна раціонально змінюватися суб'єктивна міра впевненості при врахуванні свідчення: це є баєсовим висновуванням, що є фундаментальним для баєсової статистики. Тим не менш, теорема Баєса має численні застосування у широкому спектрі обчислень із залученням ймовірностей, а не лише у баєсовому висновуванні.

Теорему Баєса названо на честь прп. Томаса Баєса ([ˈbeɪz]; 1701–1761), який першим[1] запропонував рівняння, яке дозволяє новим свідченням уточнювати переконання. Її було розвинуто далі П'єром-Симоном Лапласом, який вперше опублікував це сучасне формулювання у своїй праці 1812 року «Аналітична теорія ймовірностей». Сер Гарольд Джеффріс поклав баєсів алгоритм та лапласове формулювання на аксіоматичну основу. Джеффріс писав, що теорема Баєса «є для теорії ймовірностей тим, чим теорема Піфагора є для геометрії».

Інтерпретація теореми Баєса залежить від інтерпретацій імовірності, що приписуються її членам. Нижче описано дві головні інтерпретації.

У баєсовій (або епістемологічній) інтерпретації ймовірність вимірює міру впевненості. Теорема Баєса, таким чином, пов'язує міру впевненості у висловленні до та після врахування свідчення. Наприклад, припустімо, що вважається із впевненістю 50%, що монета вдвічі ймовірніше падає гербом, ніж номіналом. Якщо монету підкидають кілька разів та спостерігають результати, то міра впевненості може рости, зменшуватися чи залишатися незмінною залежно від результатів.

Формула Байєса. Застосовуючи формулу множення ймовірностей для залежних випадкових подій А, В_і ( ), дістанемо

(8)

Залежність (8) називається формулою Байєса. Її використовують для переоцінювання ймовірностей гіпотез В_і за умови, що випадкова подія А здійсниться.

Після переоцінювання всіх гіпотез В_і маємо:

Згідно з формулою Байєса можна прийняти рішення, провівши експеримент. Але для цього необхідно, аби вибір тієї чи іншої гіпотези мав ґрунтові підстави, тобто щоб у наслідок проведення експерименту ймовірність Р(В_і/А) була близька до одиниці.

Приклад 7. Маємо три групи ящиків. До першої групи належать 5 ящиків, у кожному з яких 7 стандартних і 3 браковані однотипні вироби, до другої групи – 9 ящиків, у кожному з яких 5 стандартних і 5 бракованих виробів, а до третьої – 3 ящики, у кожному з яких 3 стандартні і 7 бракованих виробів. Із довільно вибраного ящика три навмання взяті вироби виявилися стандартними. Яка ймовірність того, що вони були взяті з ящика 3 групи?

Розв’язання: Позначимо В₁, В₂ , В₃ гіпотези про те, що навмання вибраний ящик належить відповідно перші, другій та третій групі. Обчислимо ймовірності цих гіпотез. Оскільки всього за умовою задачі було 17 ящиків, то

Р(В₁) = 5/17; Р(В₂) = 9/17; Р(В₃) = 3/17.

Позначимо через А появу трьох стандартних виробів. Тоді відповідно умові ймовірності:

.

За умовою задачі необхідно переоцінити ймовірність гіпотези В_3. Використовуючи формулу (8), маємо:

Відповідь: Ймовірність того, що три навмання взяті стандартні вироби були взяті з ящика 3-ї групи дорівнює 1,52%.

Приклад 8. На склад надходять однотипні вироби з 4 заводів: 15% - із заводу №1, 25% - із заводу №2, 40% - із заводу №3 і 20 % - із заводу №4. Під час контролю продукції, яка надходить на склад, установлено, що в середньому брак становить для заводу №1 – 3%, заводу №2 – 5%, заводу №3 – 8% і заводу №4 – 1%. Навмання взятий виріб зі складу виявився бракованим. Яка імовірність того, що його виготовив завод №1?

Розв’язання: Позначимо В₁ гіпотезу про те, що виріб був виготовлений заводом №1, В₂ - заводом №2, В₃ - заводом №3 і В₄ – заводом №4.ці гіпотези єдино можливі і не сумісні. Нехай А – випадкова подія, що полягає в появі бракованого виробу.

За умовою задачі маємо:

Р(В₁) = 0,15, Р(А/В₁) = 0,03;

Р(В₂) = 0,25, Р(А/В₂) = 0,05;

Р(В₃) = 0,4, Р(А/В₃) = 0,05;

Р(В₄) = 0,2, Р(А/В₄) = 0,01.

За формулою Байєса (8) переоцінюємо першу гіпотезу В₁:

Відповідь: Ймовірність того, що навмання взятий зі складу бракований виріб виготовлений на заводі №1 дорівнює 8,82%.

У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Умови використання. Якщо відбувається декілька випробувань, причому ймовірність події А в кожному з випробувань не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події А.

В різних незалежних випробуваннях подія А може мати або різні ймовірності, або одну й ту ж саму ймовірність. Будемо розглядати тільки варіант зі сталою ймовірністю.

Нехай відбувається n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з'явитися або не з'явитися. Домовимося вважати, що ймовірність події А в кожному з випробувань стала, а саме дорівнює p. Тоді, ймовірність ненастання події А в кожному з випробувань також стала і дорівнює q = 1 - p.

Поставимо собі задачу обчислити ймовірність того, що при n випробуваннях подія А відбудеться рівно k разів і, відповідно, не відбудеться n - k разів. Важливо підкреслити, що не вимагається, щоб подія А повторилась рівно k разів в певній послідовності.

Поставлену задачу можна вирішити за допомогою формули Бернуллі.

Визначення. Для застосування схеми Бернуллі мають виконуватись такі умови:

• Кожне випробування має рівно два результати, умовно звані успіхом і невдачею.

• Незалежність випробувань: результат чергового експерименту не повинен залежати від результатів попередніх експериментів.

• Ймовірність успіху повинна бути сталою (фіксованою) для всіх випробувань.