6.1.1. Числова послідовність та її границя. Нескінченно малі та великі величини. Порівняння нескінченно малих і великих величин

Границя послідовності

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Означення. Функція називається нескінченно малою величиною при або при , якщо .

Так, наприклад, нехай . Тоді . Отже, функція в точці є нескінченно малою.

Аналогічно, функція є нескінченно малою при , оскільки .

Означення. Функція називається нескінченно великою величиною при або при , якщо .

Наприклад, функція є нескінченно великою при , оскільки .

3.7. Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими

величинами

Теорема. Якщо функція є нескінченно мала величина при або при , то функція є нескінченно велика при або при . І навпаки, якщо функція f(x) нескінченно велика при ( ), то функція є нескінченно малою при .

Наприклад, є нескінченно малою величиною при , а функція є нескінченно великою при .

3.8. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих величин

Нехай , – дві нескінченно малі величини при . Тоді якщо:

а) , то нескінченно мала вищого порядку ніж

б) , то і нескінченно малі одного порядку малості;

в) , то і є еквівалентними нескінченно малими величинами.

Аналогічні порівняння мають місце і для нескінченно великих величин.

Знаходження границі відношення двох нескінченно малих або двох нескі­нченно великих величин називають розкриттям невизначеності їх відношення.

6.1.2. Похідна та її застосування для дослідження функцій однієї змінної

Похідна (заст. витвірна[1]) — основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість змінювання функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Процес знаходження похідної функції називається диференціюва́нням. Зворотним до диференціювання є інтегрування — процес знаходження первісної.

1.4.2 Застосування похідних для дослідження функцій

Похідні першого і другого порядку широко використовуються при дослідженні функцій.

Ознака зростання і спадання функцій. Якщо функція диференціюється на інтервалі і у всіх його точках похідна додатна, (від’ємна, ), то функція зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Перша достатня умова екстремуму. Якщо функція диференціюється в точці і перша похідна функції змінює знак при переході через точку , то функція досягає в цій точці екстремуму, причому:

1. – точка максимуму, якщо знак змінюється з плюса на мінус;

2. – точка мінімуму, якщо знак змінюється з мінуса на плюс.

Друга достатня умова екстремуму. Якщо функція двічі диференціюється в точці , причому перша похідна функції дорівнює нулю, а друга похідна відмінна від нуля ( , ), то функція досягає в цій точці екстремуму, причому:

1. – точка максимуму, якщо ;

2. – точка мінімуму, якщо .

Точки, в яких функція досягає максимального або мінімального значення, називаються точками екстремуму, а значення функції в точці екстремуму називається екстремумом функції.

Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними.

Стаціонарні точки, а також точки, в яких функція не диференціюється, має нескінченну похідну або в якій похідна не існує, називаються критичними точками.

Графік функції називається опуклим (увігнутим) на інтервалі, якщо всі точки її графіка розташовані нижче (вище) будь-якої дотичної, проведеної в довільній його точці (окрім точок дотику).

Точка, в якій графік функції змінює опуклість на угнутість (або навпаки) називається точкою перегину функції.

Якщо функція двічі диференціюється на інтервалі , то графік функції є опуклим (увігнутим), якщо ( ) для будь-якого .

Якщо друга похідна функції в точці дорівнює нулю і під час переходу через точку змінює знак, то точка є точкою перегину для графіка функції .

○ Приклад 1.4.8. Знайти інтервали опуклості, угнутості і точки перегину графіка функції .

Розв'язання. Знайдемо першу і другу похідні функції:

; ;

, .

Якщо , то – графік функції є опуклим.

Якщо , то – графік функції є увігнутим.

		3
	–	0	+
	опуклість	перегин, -12	угнутість

Оскільки друга похідна змінює знак під час переходу через точку з координатами , то це точка перегину. ●

Асимптотою графіка функції називається пряма, відстань до якої від точок кривої функції прямує до нуля, коли остання прямує до нескінченності.

Асимптоти кривих бувають вертикальні, горизонтальні і похилі.

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з односторонніх границь в точці є нескінченною, тобто або .

Пряма називається похилою асимптотою графіка функції , якщо .

Параметри і похилої асимптоти можна отримати з формул:

; . (1.4.15)

Зауваження. При визначенні похилої асимптоти параметри і потрібно знаходити за формулами (1.4.15) при і . Оскільки у графіка функції можуть бути різні похилі асимптоти при і .

Пряма називається горизонтальною асимптотою графіка функції , якщо існує кінцева границя функції

або .

○ Приклад 1.4.9. Знайти асимптоти графіка функції .

Розв'язання. Функція визначена у всіх точках окрім і . Дослідимо функцію в точках розриву:

, ; , ;

і – точки розриву другого роду.

Оскільки і , то і – вертикальні асимптоти графіка функції.

Знайдемо похилу асимптоту:

; .

Таким чином, – похила асимптота.

Оскільки , то графік функції не має горизонтальної асимптоти. ●

Побудова графіків функцій повинна супроводжуватися їх дослідженням.

Загальна схема дослідження функцій:

1. Знайти область визначення функції і точки розриву функції.

2. Перевірити функцію на періодичність, парність, непарність. Знайти точки перетину з осями координат.

3. Знайти точки екстремумів, проміжки зростання і спадання функції. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

4. Визначити проміжки опуклості і угнутості на графіку функції, знайти точки перегину.

5. Знайти асимптоти кривої функції.

6. Побудувати графік функції.