6.5.2. Бінарні вiдношення та їх властивості: рефлексивність, симетричність, транзитивність

Бінарне відношення (бінарне відношення на множині) — в математиці окремий випадок відношення заданого на множині M, яке встановлюється між двома елементами множини. Іншими словами, це підмножина декартового квадрата M2 = M × M.

Також кажуть, що елементи a, b ∈ M перебувають у бінарному відношенні R (часто записують у вигляді aRb), якщо впорядкована пара (a, b) ∈ R і записують, що R ⊆ M×M.

Взагалі, бінарне відношення між двома множинами A і B — це підмножина A × B. В цьому випадку вживають термін відповідність між множинами. Термін 2-місне відношення або 2-арне відношення є синонімами бінарного відношення.

В деяких системах аксіом теорії множин, відношення розширюються до класів, які є узагальненнями множин. Таке розширення потрібне, зокрема для того, щоб формалізувати поняття «є елементом» або «є підмножиною» теорії множин і запобіганню таких невідповідностей, як парадокс Расселла.

6.5.3. Комбінаторний аналіз. Правило суми та добутку. Сполуки, перестановки, розміщення: без повторень та з повтореннями. Принцип включень і виключень

Комбінаторика (Комбінаторний аналіз) — розділ математики, що вивчає дискретні об'єкти, множини (перестановки , розміщення і перелік елементів) і відносини між ними (наприклад, часткового порядку). Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими областями математики — алгеброю, геометрією, теорією ймовірностей і має широкий спектр застосування в різних галузях знань (наприклад, у генетиці, інформатиці, статистичній фізиці).

Іноді під комбінаторикою розуміють більш великий розділ дискретної математики, що включає, зокрема, теорію графів.

Приклади комбінаторних конфігурацій і завдань. Для формулювання і розв'язання комбінаторних задач використовують різні моделі комбінаторних конфігурацій. Прикладами таких конфігурацій є:

• Розміщенням із n елементів по k називається впорядкований набір із k різних елементів деякої n-елементної множини.

• Перестановкою з n елементів (наприклад чисел 1, 2, ..., n) називається такий упорядкований набір із цих елементів. Перестановка також є розміщенням із n елементів по n.

• Сполученням з n по k називається набір k елементів, вибраних із даних n елементів.

• Композицією числа n називається таке подання n у вигляді впорядкованої суми цілих позитивних чисел.

• Розбиттям числа n називається таке подання n у вигляді невпорядкованої суми цілих позитивних чисел.

Приклади задач з комбінаторики:

1. Скількома способами можна розмістити n предметів по m скриньках, щоб виконувалися задані обмеження?

2. Скільки існує різних перестановок з 52 гральних карт?

3. Відповідь: 52! (52 факторіал), тобто, 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 або приблизно 8,0658 × 1067.

4. При грі в кості кидаються дві кістки, і випали певні значення; скільки існує комбінацій, у яких сума очок на верхніх гранях дорівнює дванадцяти?

Рішення: Кожен можливий результат відповідає функції F: {1, 2 } to {1, 2, 3, 4, 5, 6} (аргумент функції — це номер кістки, значення — значення на верхній грані). Очевидно, що лише 6 + 6 дає нам потрібний результат 12. Таким чином, існує лише одна функція, яка ставить у відповідність 1 число 6, і 2 число 6. Або, іншими словами, існує всього одна комбінація, при якій сума очок на верхніх гранях дорівнює дванадцяти.

Комбінаторні задачі. У комбінаториці є декілька задач, які вирішуються послідовно одна за одною. Перша з них спочатку формулює вимоги до класу комбінаторних конфігурацій, які потрібно побудувати. Доводиться, що хоча б одна така конфігурація існує, попри те, що побудувати таку конфігурацію може бути досить непросто. Тому інколи буває достатньо теоретичного доведення її існування.

Після розв'язання першої задачі комбінаторного аналізу розв'язується не менш важлива друга — задача переліку комбінаторних об'єктів, які відповідають вихідним правилам їх побудови. Саме на розв'язання цієї задачі спрямовані сьогодні зусилля багатьох учених. Є досить багато задач, які так чи інакше стосуються цієї загальної задачі. Наприклад, до неї належить питання про кількість різних способів, якими можна розмістити групу студентів з 30 чоловік на 30 чи більше місцях, або про кількість способів проведення матчів з футболу між 10 різними командами?

На основі отриманих розв'язків конкретних задач з переліку комбінаторних об'єктів розв'язується третя задача комбінаторного аналізу — це її побудова. Наприклад, потрібно не лише підрахувати кількість можливих варіантів розподілу 30 студентів на 30 місцях, а й побудувати всі ці розподіли або деякі з них у вигляді їх конфігурацій. Також може виникнути потреба побудувати таблицю матчів між 10 футбольними командами, а не тільки знати їх кількість.

Четверта і остання задача комбінаторного аналізу — це задача про пошук серед комбінаторних конфігурацій такої, яка б приводила деяку функцію до оптимуму. Це на сьогодні досить нелегка для розв'язання загальна задача. Вона містить задачі комбінаторної оптимізації, наприклад, задачу комівояжера, яка на сьогодні ще не має остаточного розв'язання.

Правило суми. В основі розв'язання багатьох задач комбінаторики лежать два простих правила — правило суми та правило добутку. Правило суми стверджує, що якщо є можливість вибрати елемент з деякої множини елементів А n способами, а елемент із множини В, яка не має спільних елементів із множиною А, — k способами, то вибрати елемент множини А або елемент множини В можна n + k способами.

Це правило зручно продемонструвати з допомогою такої моделі. Якщо маємо дві урни і в одній із них знаходиться n куль, а в іншій k, то кількість способів, якими можна буде вийняти кулю з тієї чи іншої урни, дорівнюватиме n + k. Дійсно, з першої урни кулю можна вийняти n способами, але якщо з першої урни кулю не виймати, то тоді з другої урни її можна вийняти k способами. Тому загальна кількість способів, якими можна вийняти одну кулю з двох урн, буде дорівнювати n + k. У загальному випадку правило суми може бути сформульоване таким чином.

Якщо треба виконати якусь дію n1, n2 ,… або nk способами, то кількість можливих способів реалізації цієї дії буде дорівнювати

N = n1 + n2 + … + nk.

Особливістю цього правила є те, що воно використовує сполучник або, який протиставляє різні дії одна одній.

Приклад 1. На денне чергування в студентському гуртожитку може піти або студент із кімнати 1, де проживають три студенти, або студент із кімнати 2, де проживають чотири студенти. Скількома способами можна вибрати одного студента на денне чергування в гуртожитку?

Розв'язання. Загальна кількість способів, якими можна вибрати одного студента або з кімнати 1 або з кімнати 2 на денне чергування, згідно з правилом суми буде 3 + 4 = 7.

Правило добутку. Правило добутку використовується тоді, коли кожний елемент множини А може бути вибраний разом з елементом множини В. Відповідно до кожного способу вибору елемента множини А буде зіставлятися k способів вибору елемента множини В. Тоді загальна кількість способів сумісного вибору елементів множини А з елементами множини В, очевидно, дорівнюватиме n × k.

Модель урн можна застосувати і для ілюстрації правила добутку. У цьому випадку розглядаються дві урни, у першій із яких знаходиться n куль, а в другій k. Будемо вважати, що будь-якій кулі першої урни може відповідати будь-яка куля з другої урни. А оскільки в першій урні знаходиться n куль, то й кількість способів вибору куль із першої урни разом із різними кулями з другої урни буде дорівнювати n × k.

У загальному вигляді правило Добутку буде мати такий вигляд.

Якщо треба виконати якусь дію, що може бути виконана k сумісними діями, перша з яких може бути виконана n1 способами, друга — n2 і т. д. до k-ї дії, яку можна виконати nk способами, то основна дія може бути виконана М способами, де М = n1 × n2 × … × nk.

У цьому правилі важливу роль відіграє сполучник і, який об'єднує різні дії в одну.

Приклад 2. На денне чергування в студентському гуртожитку вибирається два студента — один студент із трьох, що проживають у кімнаті 1, і один студент із чотирьох, які проживають у кімнаті 2. Скільки існує можливих способів формування різних пар з двох студентів для чергування?

Розв'язання. Кількість способів чергувань двох студентів з різних кімнат відповідно до правила добутку буде 3 × 4 = 12.

Для зручності, перестановки розглядають над множиною { 1 , 2 , … , n } (будь-яку скінченну множину можна однозначно відобразити в цю множину).

У два рядки

Розміщення з повтореннями

Розглянемо число 714343733. У його записі цифра 1 зустрічається лише 1 раз, цифра 3 використана 4 рази, цифра 4 повторюється 2 рази, стільки ж разів використана цифра 7. У числі 66666 всі п’ять цифр однакові. Дані два чис­ла є прикладами розміщень з повтореннями. Нижче виписані всі розміщення з повтореннями по 4 символи у кожному, утворені з двох букв а і б; усіх їх 16:

аааа аааб ааба абаа

бааа аабб абаб абба

бааб баба ббаа аббб

бабб ббаб ббба бббб.

Нехай дано п різних елементів а, b, c, ..., l. Утворимо всі можливі упорядковані множини, кожна з яких містить k елементів. У них деякі елементи можуть повторюватися два, три, ..., k разів. Такі упорядковані множини нази­вають розміщеннями з повтореннями із n елементів, взятих по k. Інакше кажучи, маємо таке означення.

Означення. Розміщеннями з повтореннями з даних п елементів, взятих по k, називаються такі упорядковані множини, які містять по k елементів, кожний з яких є одним з елементів даної n-елементної множини.

Теорема 6. Кількість різних розміщень з повтореннями із п елементів по k дорівнює n^k.

■ Для доведення скористаємось правилом множення. Перший елемент розміщення з повтореннями можна вибрати n способами. Такою ж кількістю способів можна вибрати й другий елемент. Тому перші два елементи разом можна вибрати n² способами. Аналогічно, третій елемент теж можна вибрати n способами, і т. д. Останній k-й елемент так само можна вибрати n способами, адже елементи можуть повторюватися. Отже, за правилом множення, шукана кількість розміщень дорівнює n^k. ■

Доведення цієї теореми можна провести і за допомогою методу математичної індукції. Подумайте самостійно, як це зробити.

Задача. Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватися? Скільки таких чисел можна записати, використовуючи цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5?

■ У першому разі шукане число дорівнює кількості розміщень з повтореннями із 6 елементів по 3, тобто 6³  216. У другому разі від цього числа слід відкинути кількість записів, у яких на першому місці стоїть цифра 0, наприклад 012, 003, 000. Кількість таких записів дорівнює кількості розміщень з повтореннями із 6 елементів 0, 1, 2, 3, 4, 5 по 2, тобто 6²  36. Отже, у другому разі шукане число дорівнює 216 – 36  180. ■

Розміщення без повторень: означення, обчислення, приклади.

Означення. Розміщенням без повторень з елементів по елементів називається будь-яка впорядкована -елементна підмножина деякої заданої основної -елементної множини, .

Число всіх розміщень з елементів по елементів позначається Обчислюється за формулою:

Приклад . На зборах присутні 25 студентів. Скількома способами можна обрати голову зборів, його заступника і секретаря?

Розв’язання: Число способів обрання дорівнює числу розміщень без повторень з 25 по 3. Отже,

(способами)