4. Равносильные преобразования при решении рациональных уравнений и неравенств. Метод интервалов. Решение уравнений и неравенств с модулем.

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;

2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;

4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Если в уравнении два или несколько модулей, то методом интервалов решается.

Неравенства с модулем тоже методом интервалов (алгоритм выше)

5. Методика введения понятия производной в школьном курсе математики. Исследование функции на монотонность и экстремум с помощью производной.

По поводу функционального анализа с помощью производной, тут гипер дохрена, поэтому гораздо лучше тупо пример привести: Найти точки экстремума функции

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

Найдём критические точки:

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:

, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, – критические точки. Почему значения , обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:

Функция возрастает на интервале и убывает на .

В точке функция достигает минимума: .

В точке функция достигает максимума: .

В точке нет экстремума.

Ответ: – точка минимума, – точка максимума

6. Методика введения понятия функции в школьном курсе математики. Методика изучения линейной, квадратичной, показательной, логарифмической функций.

Короче, как вводится понятие функции я приводил во втором вопросе, просто там чекнете пример, не буду здесь копировать.(вообще похуй нахуй) согласен нахуй

Тема «Линейная функция и ее график» является начальным этапом в изучении элементарных функций, предусмотренных программой основной школы. Функция вида y = kx + b, где k и b – некоторые числа, называется линейной. В процессе изучения линейной функции рассматривают две модели: y = kx и y = kx + b. Подметив геометрический смысл параметров k и b, полезно выяснять с учениками, в каком случае графики двух линейных функций совпадают, пересекаются, параллельны; когда линейная функция убывает, а когда возрастает.

Изучение квадратичной функции начинается с наиболее простого вида этой функции y = ax2. Вначале рассматривают частный случай, когда а = 1. Затем переходят к ситуации а ≠ 1, строя графики функций для различных значений а > 0 на одном чертеже. Для построения этих графиков нет необходимости заново составлять таблицу значений. В зависимости от значения а, используют растяжение (а > 1) или сжатие (0 < а < 1) графика функции y = x2 вдоль оси ординат, а также симметрию относительно оси абсцисс для случая а < 0. После изучения функции вида y = ax2 + с, график которой строят сдвигом графика функции y = ax2 вдоль оси ординат в зависимости от параметра с, переходят к изучению функции, представляющей полный квадрат двучлена, то есть к функции вида y = a(x + m)2. Этот промежуточный этап облегчает понимание сдвига параболы вправо или влево вдоль оси абсцисс. Далее переходят к рассмотрению квадратичной функции общего вида: y = a(x + m)2 + n или y = ax2 + bx + c. Исследование квадратичной функции полезно увязать с дискриминантом соответствующего квадратного уравнения.

С частными случаями степенной функции обучающиеся знакомятся в курсе средней школы. Из степенных функций с натуральным показателем изучают функции y = x. y = x2 и y = x3. Степенная функция с целым отрицательным показателем встречается только в виде частного случая так называемой обратной пропорциональности y = x-1. Примерами степенной функции с дробным показателем являются функции корень квадратный и корень кубический. Но в основной школе понятие степенной функции не вводится, а каждая из указанных функций имеет свое название. Понятие степенной функции дается в старшей школе. Степенной функцией называется функция вида y = xp, где p – заданное действительной число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем и, в частности, от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень xp. Рассматривают следующие различные случаи в зависимости от показателя степени p:

Показатель p = 2n- четное натуральное число.

Показатель p = 2n + 1 - нечетное натуральное число.

Показатель p = -2n, где n - натуральное число.

Показатель p = - (2n-1), где n - натуральное число.

Показатель p – положительное действительное нецелое число (0<p<1 и p>1).

Показатель p – отрицательное действительное нецелое число.

Важно понимать, что, к примеру, функции корень кубический и y = x1/3 имеют различные области определения и совпадают только на множестве неотрицательных чисел.

На примере показательной функции можно развить представления о функциях как о моделях процессов и закономерностях связей явлений. Это подчеркивает важную в мировоззренческом плане мысль о том, что широта применимости математических методов, общность математических понятий определяются единством материального мира.

К моменту изучения логарифмической функции ученикам должно быть известно понятие обратной функции и условие, при котором обратная функция существует. Показательная функция как монотонная должна иметь обратную. Эту функцию, обратную показательной функции y = ax (где а > 0 и а ≠ 1), называют логарифмической и обозначают y = logax.