3. Методика изучения тригонометрических и обратных тригонометрических функций в средней школе. Методика обучения решению тригонометрических уравнений.

Методика изучения тригонометрических функций на уроках геометрии в 8-9 классах:

а) введение понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника;

б) определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0° до 180°.

Две стороны в содержании учения о тригонометрических функциях отражаются и в выборе возможных путей введения их в школе.

Первый путь чисто аналитический. Наиболее перспективными для школы здесь являются два варианта. Один из них сводится к анализу дифференциального уравнения f"(x) = -cf(х). Теория и приложения тригонометрических функций могут быть построены именно через решение указанного уравнения, такой подход является сложным и может быть использован пока лишь в старших классах на кружковых занятиях. Второй вариант аналитического введения тригонометрических функций - использование аппарата рядов, в настоящее время такой подход для средней школы представляется нереальным.

Более привычным для школы сегодня является второй путь - геометрический, который существует и совершенствуется уже более ста лет. Имеется большое число разновидностей этого пути. Самый наглядный и простой из них является введение тригонометрических функций путем рассмотрения отношений сторон в прямоугольном треугольнике. Основной недостаток такого определения тригонометрических функций - затруднения, возникающие при переходе к углам, большим прямого, и при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента. Попытки преодоления первой из этих трудностей привели к разнообразным по форме, но единым, по сути, подходам - через так называемые тригонометрические линии в круге, через отношения координат радиус-вектора, через проекции единичного вектора и т. п.

В учебной литературе существуют различные системы изложения тригонометрических функций.

1. Ограничиваются рассмотрением тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника. Такой подход был реализован в учебнике А. Г1. Киселева.

2. Вначале вводят тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника, доказывают несколько теорем с их использованием, затем распространяют понятие тригонометрических функций на множество углов от 0° до 180°, и рассматривают их различные приложения. Такая система излагается в учебнике А. В. Погорелова.

В учебнике А. Д. Александрова и др. рассматриваются параллельно тригонометрические функции острого и тупого углов.

3. Тригонометрические функции сразу рассматривают на множестве углов, изменяющихся от 0° до 180°, затем частный случай от 0° до 90° тригонометрические функции острого угла. Такой подход реализуется в учебнике Л. С. Атанасяна и др.

4. Тригонометрические функции рассматриваются на множестве углов а, -оо<аг<+оо. Такая система изложения содержалась в учебнике А. Н. Колмогорова и др.

Реализация последнего подхода, как показал опыт, встречает большие трудности в силу высокого уровня абстрактности изложения. В курсе геометрии тригонометрические функции на такой обширной области определения не находят применения для решения косоугольных треугольников достаточно знания тригонометрических функций углов, меньших 180°. Поэтому, можно сказать, что наиболее целесообразным является рассмотрение функций на множестве углов а, где 0° < а < 180°.

методика обучения решения тригон. уравнений

В отличие от иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, где в каждом классе имеется по одному типу простейших, здесь приходится рассмотреть три типа простейших уравнений: , ,

( ). Изучение этих типов уравнений, требует введения новых функций – обратных тригонометрических функций, что представляет собой сложную задачу. Кроме того, приходится рассматривать наряду с общими формулами решения, многочисленные частные случаи. Например, для уравнения к числу основных для усвоения фактов относятся:

1) знание общей формулы корней и условия

указывающего на наличие корней;

2) владение частными случаями этого уравнения для

3) владение геометрического смысла решения на системе координат.

Широкое использование графиков составляет заметную черту изучения простейших классов тригонометрических уравнений и неравенств. Графическая наглядность позволяет смягчить недостаточно уверенное владение учащимися обратными тригонометрическими функциями, которые по существу только здесь и применяются.

Тригонометрические уравнения изучаются с большой глубиной, здесь изучение доводится до выделение нескольких методов решения:

1) Сведение данного уравнения к решению простейших тригонометрических уравнений с помощью использования тригонометрических формул.

2) Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому виду

где - одна из основных тригонометрических функций с помощью замены переменных.

3) Различные приемы решения важных частных классов уравнений. К их числу относится метод введения вспомогательного аргумента,