4) В методической литературе различают два способа изучения теоремы:

1. Генетический (конкретно-индуктивный);

2. Догматический (абстрактно-дедуктивный).

В первом случае теорема в готовом виде не сообщается, проводится специальная работа по «подведению» учащихся к теореме, обнаружению соответствующей математической закономерности. Итогом этой работы является формулирование изучаемой теоремы. Абстрактно-дедуктивный метод введения теоремы начинается с того, что учитель сам формулирует эту теорему, а затем проводится работа по уточнению смысла данной теоремы, ее условия и заключения, построению чертежа и т.д.

Например, методика изучения теоремы о средней линии треугольника.

Логический анализ структуры теоремы

Разъяснительная часть: теорема рассматривается на множестве треугольников.

Условие: MN – средняя линия.

Заключение: 1) MN // AC:

2) .

Теорема сложная, сформулирована в категорической форме.

I. Перед изучением данной теоремы с учащимися следует повторить:

1. определение средней линии треугольника;

2. признаки параллельности двух прямых;

3. признаки подобия треугольников.

Сделать это можно в ходе беседы.

II. С целью мотивации изучения теоремы учащимся предлагается решить следующую задачу: «PQ – средняя линия треугольника АВС, причем Найти PQ, если АВ=10 см., ВС=6 см., АС=8 см.».

Учащимся дается возможность попытаться решить задачу и убедиться, что действительно на данном этапе им задачу не решить, т.к. для ее решения необходимо изучить новый материал.

III. Затем учащимся перелагается выполнить еще одно задание:

1. построить произвольный треугольник АВС;

2. на одной из его сторон отметить середину (например, на стороне АВ точка М – середина);

3. провести через точку М прямую, параллельную любой из оставшихся сторон (например, параллельную АС);

4. измерить отрезки ВN и NC.

Делается вывод, что MN является средней линией в треугольнике АВС. Прослеживается вся работа построения этой линии.

Далее учитель просит ребят измерить линейкой среднюю линию треугольника и сторону, которой она параллельна.

По все проделанной работе учитель делает обобщение: «Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине».

Затем учащимся на практике предлагается убедиться, что все средние линии в треугольнике обладают этим свойством.

Формулируется полученное утверждение (ученикучительученик).

IV. Учитель отмечает, что полученное утверждение требует доказательства.

Делается чертеж для доказательства, записывается дано и что требуется доказать.

Учитель задает учащимся вопросы и рисует на доске схему.

1. Как доказать параллельность двух прямых?

2. Равенство каких углов надо доказать?

3. Как доказать равенство углов?

4. Подобие каких треугольников требуется доказать?

5. Как доказать подобие треугольников?

6. Пропорциональность каких сторон в этих треугольниках следует доказать?

7. Откуда следует пропорциональность этих элементов?

По этой схеме проводится доказательство.

Для доказательства второй части теоремы действуют аналогичным образом.

1. Пропорциональность каких сторон мы уже доказали?

2. Пропорциональность каких еще сторон можно доказать?

3. Чему равен коэффициент пропорциональности этих сторон?

4. Чему равна средняя линия треугольника?

V. Проверка усвоения содержания теоремы и ее доказательства

Задание 1:Учащимся дается несколько формулировок теорем, из которых необходимо выбрать верные:

1. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна этой стороне.

2. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

3. Средняя линия равнобедренного (равностороннего, прямоугольного) треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Учитель делает вывод, что в формулировке теоремы очень важными являются слова «треугольник» (причем не важно какого вида) и «половина стороны».