9. Методика изучения темы «Векторы» в школьном курсе математики. Векторный метод при решении стереометрических задач и методика его изучения.
Изучение векторов начинается в четвертой четверти VIII класса. Для успешного освоения учащимися данного материала, они должны быть знакомы с понятием декартовых координат на плоскости, понятием отрезок, уметь определять координаты на плоскости и расстояние между двумя точками на плоскости, а также понимать значение понятия параллельный перенос и знать его свойства.
В учебнике Погорелова, который сейчас в основном используется в школах, материал преподносится учащимся в следующем порядке:
1) Даются основные понятия: вектор, направление вектора, абсолютная величина (модуль), нулевой вектор.
2) Рассматривается понятие равенства векторов.
3) Определяются координаты вектора.
4) Рассматриваются действия над векторами: сложение (вычитание) векторов, умножение вектора на число. Разбирается, как применяются вектора в физических задачах, на примере сложения сил.
5) Дается понятие коллинеарных векторов и рассматривается разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.
6) Рассматривается понятие скалярного произведения векторов.
7) Дается понятия единичного вектора, координатного вектора (орта) и рассматривается разложение вектора по координатным осям.
При использовании различных приемов и методик следует учитывать уровень подготовки учащихся, специфику изучаемой темы и т.п. факторы. Используя в своей работе совокупность различных методов, приемов и их комбинации, учитель может добиться желаемых успехов.
Алгоритм применения метода координат состоит:
1. Выбор системы координат в пространстве
2. Нахождение координат необходимых точек и векторов, или уравнения
кривых и фигур
3. Решение примера, используя ключевые задачи или формулы данного
метода
4. Переход от аналитических соотношений к метрическим.
Короче, там вся методика введения этого метода в обучении заключается в решении задач этим методом, больше ничего толкового нет, просто давать наводящие на этот метод задачи.
10. Равносильные преобразования при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств в курсе математики средней школы и методика их изучения.
При решение логарифмическх УРАВНЕНИЙ нужно юзать свойства логарифма и логарифмические тождества, что будет являться равносильными преобразованиями, но есть и вот такие приколы:
Показательные уравнения (из определения это и является равносильными преобразованиями):
По поводу методики введения этих преобразований, то тупо они рассказываются с приведением примеров их применения и непосредственным решением учениками с помощью них (хотя по-другому они не решаются лол).
11. Методика изучения аксиом и теорем в средней школе. Виды теорем. Необходимые и достаточные условия и методика их изучения.
Методика изучения аксиом может быть следующая:
1. подготовительная работа и формирование аксиом (наблюдение, сравнение, обобщение по моделям, решение задач на построение);
2. формулирование аксиомы, после чего вывешивается текст данной аксиомы;
3. уяснение аксиомы, выделения условий и заключения (выполнение заданий с пропусками в тексте аксиомы наиболее важных слов);
4. применение аксиомы.
Вторично при изучении аксиом учащиеся возвращаются в 10 классе, где изучают аксиомы стереометрии. При этом методика принципиально та же. На первом этапе для отыскания формулировки аксиомы полезно использовать моделирование с помощью стереометрического ящика и каркасных моделей.
Рассмотрим методику изучения аксиомы принадлежности точек и прямых.
В качестве подготовительной работы перед изучением аксиомы можно дать следующее задание: «Объяснить взаимное расположение точек А, В, К и прямой а».
Далее предлагается практическая работа, способствующая открытию учащимися формулировки аксиомы:
1. отметьте произвольно точку К, проведите через нее прямую. Проведите еще одну прямую через точку К. Сколько прямых можно провести через точку К?
2. отметьте две произвольные точки А и В и с помощью линейки проведите через них прямую. Проведите еще одну прямую через точки А и В.
Учащиеся убеждаются, что другой такой прямой провести нельзя. Делаю вывод – через любые две точки можно провести прямую и при том только одну. Прочитав аксиому по учебнику, убеждаются, что сделанный ими вывод совпадает с аксиомой.
Вывешивается текст аксиомы. Учащимся сообщается, что прямая обозначается не только строчной буквой латинского алфавита, но и двумя прописными буквами, обозначающие две произвольные точки прямой.
Далее внимание учащихся обращается на выражение «…можно провести прямую и при том только одну». Здесь имеется два утверждения:
1. всегда можно провести прямую, проходящую через две данные точки;
2. эта прямая единственная.
Для лучшего понимания слов «… и только одну» можно напомнить, что через одну точку также всегда можно провести прямую, но она не единственная.
Затем проводится диктант:
1. дана прямая а;
2.точка С лежит на прямой а;
3.точка D не принадлежит прямой а;
4. прямая d, проходит через точку D и пересекает прямую а в точке М;
5. точка Е принадлежит прямой СD.
Далее решаются задачи на применение аксиомы:
1. Отметьте три точки M, B, C, X, K, L, не лежащие на одной прямой, и проведите прямые MC, BL, KL, CM, BX, MB, LM, LX, CK.
2.Отметьте точки А, В, S, D так, чтобы точки А, В, S лежали на одной прямой, точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
3.Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?
Про теоремы хоть и дохрена, но тут и виды теорем и тырыпыры
В зависимости от количества свойств в условии и требовании в заключении различают простые и сложные теоремы. Например, «Вертикальные углы равны» - простая теорема; «В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой» - сложная теорема.
Простую теорему, как известно, можно записать в общем виде на языке логики так: .Такая теорема называется прямой теоремой. Из нее можно образовать новую теорему и не одну:
обратную: ;
противоположную: ;
обратную противоположной: .
Например:
Если четырехугольник параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.
Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам.
Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограмм.
В данном случае все четыре теоремы истинны.
Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь, а именно:
и - одновременно истинны или ложны;
и - также одновременно истинны или ложны.
В попарной эквивалентности указанных теорем можно убедиться, применив метод доказательства от противного или обосновав с помощью таблицы истинности.
При этом следует заметить, что истинность теоремы (1) не влечет за собой непременной истинности теоремы (2),так же как и истинность теоремы (3) еще не обеспечивает истинность теоремы (4).
Взаимосвязь теорем значительно облегчает практику их изучения. Именно рассматривая свойства математических объектов, которые выражаются теоремами, нет необходимости изучать все четыре вида теорем. Достаточно установить истинность или ложность одной какой-нибудь логически неравносильной пары теорем, т.к. истинность или ложность одной такой пары влечет за собой истинность или ложность остальных двух теорем. Поэтому в любом курсе математики встречаются лишь прямая и обратная теоремы, а остальные теоремы встречаются редко.