7. Методика введения понятия интеграла в школьном курсе математики. Приложения определѐнного интеграла.

В учебниках базового уровня сначала вводится понятие первообраз-ной, указываются правила отыскания первообразных, составляется их таблица, затем определяется площадь криволинейной трапеции: в [5] сначала как приращение первообразной на отрезке, затем находят ее приближенное значение и, устремляя n к бесконечности, приходят к вычислению площади с применением формулы Ньютона - Лейбница, в [1] тоже как приращение первообразной, а затем по формуле Ньютона - Лейбница, в [6] определяется фактически, не вводя этого понятия, как предел интегральной суммы. Далее вводится понятие определенного интеграла. Кроме площади плоской фигуры в [5, 2, 11] с помощью интеграла определяется объем тел вращения, а в [2,11] - объем шара и частей шара, в [2] кроме того - объем призмы, пирамиды, конуса. Рассматриваются физические задачи на приложение интеграла: работа переменной силы [1, 5], масса стержня [6], координаты центра масс [5].

В профильных классах [9,10,12] так же, как и в классах базового уровня, сначала вводится понятие первообразной, правила отыскания первообразной, составляется таблица первообразных, причем в [12] данные темы рассматривается в главе IX «Производная и ее применение». Так же в этой главе определяется понятие неопределённого интеграла (как множество первообразных), его свойства, рассматриваются методы интегрирования: по частям и подстановкой, интегрирование рациональных функций. В следующей главе определяется площадь криволинейной трапеции через площадь ступенчатой фигуры, понятие определенного интеграла через приращение первообразной и по формуле Ньютона - Лейбница. Обобщается понятие определенного интеграла для неограниченных функций и с бесконечными пределами, вводится интеграл с переменным верхним пределом, указываются свойства определенного интеграла, выражаемыми равенствами и неравенствами. Рассматриваются задачи: вычисление площади плоской фигуры, длины кривой, перемещения точки по отрезку, работы силы притяжения. В [10] такая последовательность рассмотрения материала: после первообразной вводится понятие интеграла, указываются свойства неопределённого интеграла, рассматриваются методы интегрирования по частям и заменой переменной. Далее вводится понятие площади криволинейной трапеции с помощью интегральной суммы. Понятие определенного интеграла вводится как предел интегральной суммы, рассматривается приближенное вычисление определённого интеграла, даются понятия нижней и верхней интегральных сумм, приводятся формула Ньютона - Лейбница и свойства определенного интеграла. Рассматриваются такие задачи: вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, работы переменной силы, массы стержня, координат центра тяжести фигуры, силы давления жидкости на стенку. В [9] так же, как и в [10] вводится понятие интеграла (как множество первообразных) и указываются свойства.Площадь плоской фигуры, масса стержня, перемещение точки вычисляются фактически как предел интегральной суммы (не вводя этого понятия).Далее вводятся определенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница.

Приложения интеграла в школе: работа переменной силы, масса стержня, определение координат центра масс.

8. Методические особенности изучения первых разделов стереометрии. Методика обучения решению задач при изучении первых разделов стереометрии..

Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям: 1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства; 2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.

Первое из них осуществляется через принятие аксиомы: “В каждой плоскости пространства справедливы (выполнимы) все аксиомы планиметрии”. Второе состоит в формулировании нескольких аксиом принадлежности для пространства. В учебнике Погорелова использовано второе направление. Т.к. вводится новый геометрический образ - плоскость, то её основные свойства в пространстве выражают аксиомы:

С1. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С3. Если две различные прямые имеют общую точку. То через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С.

Методическая схема изучения аксиом стереометрии

Разъяснить абстрактный характер геометрических понятий.

Разъяснить сущность аксиом и их роль в построении геометрии, сформулировать аксиомы.

Проиллюстрировать аксиомы на моделях.

Закрепить аксиомы путём логического анализа их формулировок.

Закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии принадлежности в пространстве, к решению задач.

Проиллюстрируем схему на аксиомах группы С.

Понятие плоскость, точка, прямая - абстрактны, т.к. в каждом из случаев отвлекались от свойств ограниченности, линейных размеров, возможной ширины, которыми обладали эти предметы в окружающей действительности.

Перечисленные свойства позволяют строить сечение многогранников, доказывать следствия, вытекающие из аксиом.

В качестве иллюстрации аксиом на модели воспользуемся рисунком куба, по которому учащиеся могут ответить на следующие вопросы: перечислить точки, принадлежащие плоскостям: (ABC),(AA1B1),(D1C1C),(A1B1C1); назвать плоскости, которым принадлежат точки D1,C,B1,A,M,N; назвать линии пересечения плоскостей (AA1D1) и (ABC), (DD1C1) и (BB1C1); имеют ли они общие точки; можно ли провести плоскость через следующие пары прямых: AB и AD, A1B1 и BB1, A1D1 и C1C, BC и AA1.

4. Аксиома С1: “Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей”. Её анализ можно направить вопросами: О каких геометрических фигурах говорится в этой аксиоме? - О плоскости и точках. Что именно говорится о плоскости и точках? - На каждой плоскости имеются точки, принадлежащие ей; для каждой плоскости можно указать точки, которые ей не принадлежат. Сколько утверждений сформулировано в аксиоме С1? Сформулируйте их по отдельности. - Сформулированы два утверждения: 1) какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей; 2) какова бы ни была плоскость, существуют точки, не принадлежащие ей. Какими другими словами можно заменить слова “какова бы ни была плоскость”?

5. На рисунке изображены две различные плоскости и , имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости и ?

Т.к. плоскости - неограниченны и используя аксиому С2, получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.

Задача: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

По аксиоме С3 пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С1, по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно построить.

Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.

Т.15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.

Методика решения стереометрических задач:

1. Проанализировать требования задачи

2. выбрать из имеющихся знаний те теоретические положения, которые помогают ответить на вопрос задачи

3. переформулируйте требования задачи, исходя из выбранных теор. положений

4. продолжить процесс переформулирования требования задачи, все более конкретизируя его до тех пор, пока не будут получены задачи, решение которых известно или выполняется в один-два шага

5. проводя рассуждения в обратном порядке, составить систему вспомогательных задач, последовательное решение которых составит решение общей задачи