- •Конспект по математическому анализу
- •2. Грани числовых мн-в
- •3. Числовые последовательности
- •Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- •Св-ва сходящихся посл-тей
- •Экспонента или число е Функции одной переменной Обратные функции
- •6. Экспонента или число е
- •Принцип вложенных отрезков
- •Принцип вложенных отрезков
- •7.Ф-ции одной переменной
- •10. Предел. Односторонний предел.
- •Пределы функции на бесконечности
- •12. Два замечательных предела
- •13. Б/м ф-ции и их сравнения
- •14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
- •Классификация точки разрыва Непрерывные функции на промежутке Теорема вейерштрасса
- •15. Классификация т-ки разрыва
- •Непр. Ф-ции на пр-ке
- •Дифференцирование функций Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранджа Теорема Коши Правило Лопиталя
- •16. Дифференцирование ф-ций
- •2) Непрерывность и дифференцируемость
- •17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.
- •Выпуклые и вогнутые функции
- •Т-ки перегиба
- •Выпуклость и вогнутость.
- •Б/б пол-ти
- •Гладкая ф-ция
- •Эластичность ф-ций
- •Применение первой производной в исследедовани функций
- •Интервалы монотонности ф-ции
- •Производная обратной ф-ции
Выпуклые и вогнутые функции
Точки перегиба
Выпуклость и вогнутость.
Бесконечно большие последовательности
Гладкая функция
Эластичность функций
Выпуклые и вогнутые ф-ции
Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.
Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (,a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а – это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 x0, но на интервале от 0 до а (0;а) f‘(x) возр. в то время как (0;) f‘ убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0;а) f‘‘(x)0 (f-выпукла), а на (a;) f‘‘(x)0 (f-вогнута).
Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a,b), тогда:
1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a,b), если 2-я пр-ная не отриц, т.е. f‘‘(x)0 (f‘‘(x)0) на (a,b)
2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a,b)
Т-ки перегиба
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.
Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.
Выпуклость и вогнутость.
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) x,x0(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.
Б/б пол-ти
Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для пол-ного числа А номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во xn>A
Возьмем любое число А>0. Из неравенства xn=n>A получаем n>A. Если взять NА, то n>N вып-ся xn>A, т.е. посл-ть {xn} б/б.
Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1,2,1,3,1,…,1,n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-во xn>A не имеет места xn с нечет. номерами.
Гладкая ф-ция
Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т.е. f‘ и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘((x))‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп ростаприросту.
Пр-р y=e^x. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=e^x/e^x=. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.