2413

Размер электронного облака в пространстве определяет квантовое число n.

Форма электронного облака в пространстве определяется квантовым числом l .

Ориентация электронного облака в пространстве определяется квантовым числом ml .

Спектр атома водорода

Различные состояния электрона в атоме водорода описывают наборами квантовых чисел n, l :

Состояние электрона при l 0 называется s – состоянием (электрон в этомсостоянииназывается s – электроном), при l 1 – p – состоянием, при

l 2 – d – состоянием, при l 3 f – состоянием и т.д.

Значение квантового числа n указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа l :

2s (n 2, l 0) , 3 f (n 3, l 3) и т.д.

Правила отбора

Правилаотборадляорбитальногочисла l имагнитногоквантового числа ml ограничивают число возможных переходов электронов, связан-

ных с испусканием и поглощением световых квантов (фотонов).

По этой причине изменение в атомах орбитального и магнитного квантовых чисел происходит по следующим законам:

l 1;

ml 0, 1.

Переходы в атомах, при которых l 1 называют дипольными переходами. Вероятность их осуществления максимальная и поэтому их называют разрешёнными.

Переходы в атомах, при которых l 2 называют квадрупольными переходами. Такие переходы осуществляются очень редко с очень малой вероятностью и поэтому их называют запрещёнными.

Детализация спектра атома водорода связана с учётом числа возможных состояний, соответствующих заданному n и правил отбора для орбитального квантового числа l . Она позволяет определить установить характер переходов ответственных за возбуждение атома водорода и за излучение им спектральных линий (рис.97).

На рис.98 видно, что серии линий Лаймана соответствуют переходы np 1s (n 2, 3, ...) ,

серии линий Бальмера – np 2s , ns 2 p , nd 2 p (n 3, 4, ...) и т.д.

181

Переход электрона из основного состояния n 1 в возбужденные n 1 происходитприсообщенииатомуэнергииотвнешнихтелилимикрочастиц (фотонов и др.).

Рис.97

Атом водорода поглощающий энергию обычно находится в основном состоянии n 1. Поэтому спектр поглощения атома водорода должен

состоять из линий, соответствующих переходам 1s np (n 2, 3, ,4 ...) .

Этот вывод подтверждён экспериментальными исследованиями спектров поглощения.

1s-состояние электрона в атоме водорода

Состояние электрона в атоме водорода 1s описывается сферически симметричной волновой функцией электрона зависящей от расстояние электрона до ядра r :

nlm (r) 100 (r) ,

где цифры 1, 0, 0 – соответственно квантовые числа n 1, l 0 и ml 0 .

Уравнению Шредингера для 1s -состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет волновая функция вида

Ce r ,

где C – постоянная величина;

4 20 2 – первый боровский радиус. me

182

Плотность вероятности обнаружения электрона в элементе объема

dV 4 r2dr (сферический слой радиусом r и толщиной dr ) одинаковая. Согласно условию нормировки вероятностей

Поэтому нормированная волновая функция для 1s-состояния приобретает вид

100 (r) 1 3 e r/ .

Вероятность обнаружения электрона в элементе объёма равна

dW 100 2 dV 100 2 4 r2dr .

Вероятность обнаружения электрона во всём объёме оценивается интегрированием.

В результате интегрирования можно получить функцию для верояности зависящую от радиуса r :

W W (r).

Чтобы определить расстояния rmax от ядра, на которых электрон

находиться с наибольшей вероятностью приравниваем первую производную от функции вероятности

W W (r) нулю: dWdr 0 .

Решаем полученное уравнение dWdr 0 и получаем, что наибольшая

вероятность rmax обнаружить элект-

рон во всех точках с радиусом r равным первому боровскому радиусу

rmax а.

Следует отметить, что в квантовоймеханикевероятностьW W (r) и

ми от нуля и в других точках пространства. Этот вывод качественно подтверждается графиком функции (r) на рис.98.

183

Максимум функции (r) , наблюдаемый в точке 1 с коодинатами ( КЛ ,а) , характеризуется расстоянием электрона от ядра атома равном боровскому радиусу rmax а. Подстрочные буквы КЛ указанные как КЛ ,

подчёркивают оценку плотности вероятности обнаружить электрон на расстоянии от ядра из полуклассической механики Бора.

Вквантовоймеханикеплотностьвероятностиостаётсяотличнойотнуля и в других точках пространства r a и r a . Эта величина обозначенаКВ КВ(r) левой и правой частью общего графика.

Это обстоятельство указывает на существенное отличие выводов о свойствах электрона на базе квантовой механики от выводов классической физики.

Спин электрона. Спиновое квантовое число

Опыты Штерна и Герлаха были связаны с измерениями орбитальных магнитных моментов атомов pml .

Из опытов обнаружено, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в 1s -состоянии и помещённый в неоднородное магнитное

расщепление энергетических уровней не должно быть. Однако этот вывод был отвергнут.

Впоследствиибылодоказано, чтодажеприотсутствиимагнитногополя спектральные линии атома водорода являются дублетами. (двойниками). Этот факт указывает на стабильное существование узкого энергетического зазора между двумя энергетическими состояниями электрона в атоме водорода.

Наличие дублета в спектре излучения атоме водорода позволило установить существование у электрона собственного неуничтожимого

механического момента импульса Ls .

Собственный неуничтожимый механический момент импульса элект-

рона Ls является важным внутренним его свойством из-за того, что он не связансдвижениемэлектронавпространстве. Даннаяфизическаявеличина

получила название «Спин электрона». Спин электрона (и других микрочастиц) – квантовая величина, которая не имеет классического аналога.

184

Спин электрона следует толковать как внутреннее неотъемлемое свойство электрона. Спин электрона квантуется по закону

Ls s(s 1) ,

где s – спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция квантуется так, что вектор Ls может принимать N 2s 1 ориентаций в пространстве.

В опытах Штерна и Герлаха наблюдались две ориентации вектора Ls Поэтому с учётом N 2 получаем 2 2s 1 s 12 .

Поскольку спиновое квантовое число у электрона всегда имеет единственное значение равное s 12 , то оно, не внося различия между его

состояниями, для описания вместе с другими квантовыми числами обычно не используется.

pms gLs ,

где g – гиромагнитный множитель.

Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Тождественными микрочастицами считаются микрочастицы, которые обладают одинаковыми физическими свойствами.

Мерами свойств микрочастиц являются: масса m , спин s , электрический заряд q и другие внутренние характеристики, описываемые кванто-

вымичислами( L – лептонныйзаряд, B – барионныйзаряд, S – cтранность, c – шарм, b – очарование, цвет и др. ).

Принцип неразличимости тождественных микрочастиц указывает,

что тождественные микрочастицы экспериментально различить невозможно.

Принцип неразличимости нельзя рассматривать как следствие вероятностной интерпретации волновой функции микрочастиц. В квантовую механику этот принцип вводится как новый принцип и поэтому этот принцип является фундаментальным.

185

Принцип неразличимости тождественных частиц с учётом физического смысла квадрата модуля волновой функции 2 записывают в виде

(x1, x2 ) 2 (x2 , x1) 2 ,

где x1 и x2 – соответственно совокупность пространственных и спиновых

координат первой и второй частиц.

Таким образом, из полученного соотношения возможны два случая преобразований волновых функций:

(x1, x2 ) (x2 , x1) .

Первый случай преобразований в виде замены (x1, x2 ) на (x2 , x1) опи-

сывает соотношение (x1, x2 ) (x2 , x1) , а второй – (x1, x2 ) (x2 , x1) . Таким образом принцип неразличимости тождественных частиц указы-

вает на существование определенного свойства симметрии волновой функции.

Волновая функция, описывающая свойства микрочастиц, счита-

ется симметричной, если при перемене частиц местами волновая функция не изменяет знак (x1, x2 ) (x2 , x1) .

Волновая функция, описывающая свойства микрочастиц, счита-

ется антисимметричной, если при перемене частиц местами волновая функция изменяет знак.

Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния микрочастицы.

Это подтверждается тем, что физический смысл имеет не сама волновая функция (x1, x2 ) или (x2 , x1), а только лишь квадрат модуля волновой

функции.

Частицы обладающие полуцелым значением спина s 12 (например,

электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями (x1, x2 ) (x2 , x1) . Все они подчиняются статис-

тике Ферми – Дирака и поэтому их называют фермионами.

Частицы с нулевым спином s 0 (фотоны,) или целочисленным спином

s 1 (например, , , – мезоны, глюоны, W и Z – бозоны, векторные мезоны, ортопозитроний), описываются симметричными волновыми функциями (x1, x2 ) (x2 , x1) . Такие частицы подчиняются статистике

Бозе – Эйнштейна и поэтому их называют бозонами.

Сложные микрочастицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами. Их суммарный спин равен полуцелому числу.

Сложные частицы, в состав которых входит четное число фермионов принадлежат к классу бозонов. Суммарный спин у таких частиц равен целому числу.

186

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Состояние электрона в атомах определяется набором из четырёх квантовых чисел.

Наиболее характерными квантовыми числами являются:

1.Главное квантовое число n 1, 2, 3, ... ;

2.Орбитальное квантовое число l 0, 1, 2, 3, ... n 1;

3.Магнитное квантовое число ml 0, 1, 2,..., l ;

4.Магнитное спиновое квантовое число ms 12 , 12 .

Принцип Паули указывает, что в системе из двух одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии, определяемом одним и тем же набором четырёх квантовых чисел n, l , ml и ms .

Принцип Паули утверждающий, что в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел, можно описать выражением:

Z (n,l,ml ,ms ) 0 или 1.

Максимальное число электронов Z (n) , находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом n равно:

n 1

Z (n) 2(2l 1) 2n2 .

l 0

Электронная оболочка атома представляет собой совокупность электронов в многоэлектронном атоме. Состояния электронов определяет одно и то же главное квантовое число n .

Кроме этого электроны в каждой из оболочек атома распределяются по подоболочкам, Каждая из подоболочек формируется соответствующим значением орбитального квантового числа данному l .

Орбитальное квантовое число принимает значения 0, 1, 2, 3, ... n 1

поэтому число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным ml и

магнитным спиновым ms квантовыми числами.

Отсюда максимальное число электронов в подоболочке с заданным значением орбитального квантового числа l . равно

Z(l) 2(2l 1) .

Обозначения оболочек атома, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 4.

187

Таблица 4

Атом излучает энергию только в том случае, если он за счёт поглощения энергии извне в о з б у ж д е н , т.е. переведён из основного энергетического состояния Е1 в одно из возбужденных состояний Е Е1 .

Причём ионизированный атом, из которого удален электрон (электрон переведен на уровень, для которого n ) также является возбужденным. При возвращении возбужденных атомов в состояния с более низкими энергиями возникает спектр испускания.

Атом возбуждают различными способами: при соударениях с другими микрочастицами, при поглощении фотона (неупругое соударение с фотоном) и за счёт энергии выделяемой при протекании некоторых химических реакций.

На практике это достигается за счёт сильного повышения температуры вещества Т , бомбардировкой потоком микрочастиц или за счёт облучения светом, инфракрасными, ультрафиолетовыми или рентгеновскими лучами.

Последующее излучение атома может сопровождаться испусканием атомом одного фотона или (за счёт ряда промежуточных переходов) нескольких фотонов меньших частот. Но при всех переходах выполняется соотношение

Е Еn 1 En h h c .

Если длины волн излученного и поглощённого фотонов совпадают, то переход исоответствующуюему линиюв спектреназываютрезонансными.

На рис.99 показано возникновение двух резонансных линий для атомов ртути Hg .

Внекоторыхслучаяхпереходынаболеенизкийэнергетическийуровень не сопровождаются излучением фотона, т.е. являются безызлучательными. Поэтому избыток энергии атома передается соседним микрочастицам.

188

излучением. Таким образом во всех естественных источниках света формируется спонтанное излучение атомов вещества.

Однако в некоторых случаях возбужденные энергетические состояния в

атомах могут существовать достаточно долго ( ~ 10 3 и более). Такие состоянияисоответствующиеимэнергетическиеуровниназываютсяметастабильными. На энергетических уровнях в этом случае может накапливаться большое количество атомов и может достигаться большая их «заселенность» при поглощении веществом энергии.

Переход атома с метастабильного уровня па основной может быть стимулирован внешним электромагнитным полем. В этом случае, как было предсказано А. Эйнштейном в 1916 г., возникает индуцированное излучение.

Если возбужденный атом находится на метастабильном уровне Е2 мет

(рис.100, а) и мимо него пролетает фотон, энергия которого h равна энергии перехода E Е2 мет E1 , то время жизни атоманаметастабильном

уровне мет сокращается и он переводится на основной уровень E1 .

Рис.100

При этом происходит индуцированное излучение фотона, во всех отношениях тождественного пролетающему фотону (рис.100, б). Индуцированное излучение совпадает с падающим излучением по частоте , фазе , направлению распространения и ориентации плоскости поляризации в пространстве. Оба излучения строго когерентны между собой.

При прохождении пучка излучения сквозь среду, в которой метастабильные уровни атомов заселены, его интенсивность увеличивается и на выходе образуется усиленный когерентный пучок света.

Сплошной (тормозной) рентгеновский спектр

Рентгеновское излучение представляет собой электромагнитные

волны с длинами волн изменяющимися в диапазоне 10 12 10 8 м. Волновая природа рентгеновского излучения доказана опытами по его

дифракции на твёрдых телах, имеющих упорядоченную кристаллическую структуру с размерами порядка длины волны .

190