2413

2 (x) A2eikx B2e ikx ,

3 (x) A3eikx B3e ikx.

Анализируем данные решения для разных областей. Полная волновая функция микрочастицы в области 1:

,

где первый член – плоская волна, распространяющаяся в положительном направленииоси x (соответствуетчастице, движущейсявсторонубарьера), а второй – волна, распространяющаяся в противоположном направлении, т.е. отраженная от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево).

Решение в области 2 зависит от соотношений между энергией микрочастицы Е и высоты потенциального барьера Е U или Е U .

Физический интерес представляет случай Е U , так как законы классической физики не разрешают частице проникнуть сквозь барьер.

Решение в области 3 указывает, что в этой области существует только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому параметр B3 в уравнении необходимо принять равным нулю.

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Физическое явление, связанное с прохождением микрочастицы сквозь потенциальный барьер (см. рис. а) при условии, когда её энергия меньше высоты потенциального барьера Е U получило название

туннельного эффекта.

Это явление описывает волновая функция полученная путём решения уравнения Шредингера для микрочастицы в области 2.

Согласно написанному ранее уравнению Шредингера квадрат волно-

171

действительные величины. По этой причине волновые функции 1 1(x)

и3 3 (x) соответствуют плоской волне де Бройля, а волновая функция

2 2 (x) не соответствует плоской волне де Бройля.

Этот вывод подтверждается графиками волновых функций 1 1(x) ,2 2 (x) и 3 3 (x) в областях 1, 2 и 3 (рис.93, б).

Рис.93

Форма волновой функции 1 1(x) в области 1 на рис.93, б соответствует волне де Бройля с длиной волны 1 и амплитудой A1 .

Формаволновойфункции 3 3 (x) вобласти3 (принеоченьшироком барьере) соответствует волне де Бройля с той же длиной волны 3 и амплитудой A3 меньшей по сравнению с амплитудой A1 : A3 A1 .

Формаволновойфункции 2 2 (x) вобласти2 несоответствуетволне де Бройля. Можно доказать, что при l 1 (случаи высокого и широкого

172

потенциального барьера) параметр B2 в уравнении 2 (x) A2e x B2e x равен нулю B2 0 . Отсюда на рис.93, а показана форма волновой функции

2 (x) A2e x .

Таким образом волновая функция внутри барьера (область 2) не равна нулю.

Это обстоятельство позволяет сделать следующие выводы:

Микрочастица, обладающая энергией меньшей высоты потенциального барьера Е U , имеет отличную от нуля вероятность W прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины l .

Явление, связанное с прохождением сквозь потенциальный барьер

ЕU , противоворечит законам классической механики и поэтому оно описывается только лишь в рамках квантовой механики.

Явление туннелирования (просачивания) является специфическим квантовым эффектом, в результате которого микрообьект может проникнуть сквозь потенциальный барьер, несмотря на то, что его энергия меньше высоты барьера Е U .

Квантовой мерой тунелирования микрообьектов является коэффициент прозрачности барьера D . Данная величина определяется отношением квадратов амплитуд в областях 3 и 1:

D А3 2 . А1 2

Коэффициент прозрачности барьера D для барьеров прямоугольной формы оценивают из уравнения

где D0 – постоянный множитель, принимаемый обычно равным единице

D0 1.

Коэффициент прозрачности барьера D существенно сильно зависит от массы микрочастицы m , ширины потенциального барьера l и от разницы энегргий U E .

Чем больше ширина барьера l , тем меньше вероятность W прохождения сквозь него микрочастицы.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

Линейный гармонический осциллятор представляет собой систему,

которая совершает одномерное движение вдоль какой-либо оси прямоугольной системы координат (x, y, z) под действием квазиупругой

силы Fквупр .

173

Смещение материального объекта вдоль оси x определяется квазиупругой силой Fквупр изменяющейся по закону прямо-пропорциональной

зависимости Fквупр ~ x .

Потенциальная энергия гармонического осциллятора оценивается из уравнения

m 2 x2 U 0 ,

2

где m – масса материального объекта;

0 – собственная частота колебаний осциллятора в виде массы m ;

х – смещение материального объекта в виде массы m .

Квантовым осциллятором считается гармонический осциллятор, содержащий микрообъекты (атомы, молекулы, электроны, ионы, ядра атомов, протоны и др.) участвующие в колебательных движениях.

Колебания квантового осциллятора описываются уравнением Шредингера для стационарных состояний микрочастиц. Эти состояния связаны с колебательными движениями микрочастиц под действием силового поля, характеризуемого потенциальной энергией

Данное уравнение имеет решение (х) только при собственных значениях энергии микрочастиц:

En n 1 0 ,(n 0,1,2,..) . 2

Таким образом энергия микрочастиц, участвующих в колебательных движениях под действием силового поля обладающего потенциальной

т.е. квантуется.

174

энергий микрочастиц полученный из решения уравнения Шредингера иллюстрирует график представленный на рис.94.

На графике видно:

– уровни энергии микрочастицы Е1, Е2 , Е3 .... Еn отделены друг от

x px .

Частица не может находиться в точке с координатой x 0 (т.е. на дне

ямы) в яме любой формы U U (x) из-того, что импульс микрочастицы в точке с координатой x 0 обращается в нуль р 0 . При этом неопределённость импульса микрочастицы становится равной нулю р 0 , а неопределенность координаты x становится сколь угодно большой

x .р 0

Полученный результат для x противоречит стационарному пребыванию микрочастицы в «потенциальной яме».

Вероятность нахождения микрочастицы в линейной области пространства x содержащей потенциальную яму параболической формы

175

Оценки показывают, что микрочастица может быть обнаружена даже за пределами классически дозволенной области пространства ( xmax , xmax ).

Этот вывод иллюстрирует график (рис.95) зависимости вероятности W W (x) обнаружения микрочастицы в линейной области пространства

утверждать, что микрочастица движется по определенной траектории?

3.Каким образом из соотношения неопределенностей можно объяснить наличие естественной ширины спектральных линий?

4.Что определяет квадрат модуля волновой функции микрочастицы?

5.Почему квантовая механика является статистической теорией?

6.В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике?

7.Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины в два раза?

8.Может ли микрочастица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»?

9.В чем отличие квантово-механического и классического описания гармонического осциллятора? В выводах этих описаний?

176

3.3. Элементы современной физики атомов и молекул

Водородоподобный атом в квантовой механике

Водородоподобный атом в квантовой механике описывает уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона

где m – масса электрона, E – полная энергия электрона в атоме;

силовом электрическом поле ядра обладающего положительным электрическим зарядом qя ze ;

r – расстояние между электроном и ядром;0 – диэлектрическая постоянная.

Потенциальная функция U U (r) изображена на рис.96.

На графике видно, что потенциальная энергия U U (r) при умень-

шении расстояния r между электроном и ядром (т.е. при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Силовое электрическое поле, действующее на электрон, является сферически симметричным. Поэтому уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме записывают в сферической системе координат.

Радиус – вектор r , полярный угол и азимут сферической системы координат связаны с мерами прямоугольной системы координат соотношениями:

zr cos .

Всферических координатах уравнение Шредингера приобретает вид:

177

Полученное уравнение с разделяющимися переменными по радиальной составляющей волновой функции Rnl и угловой Ylm имеет решение в форме

произведения этих составляющих, т.е.

nlm Rnl (r) Ylm ( , ) .

Вэтом виде волновая функция nlm nlm (r, , ) зависит от трёх пара-

метров:

ml 0, 1, 2,..., l – магнитное квантовое число.

Оценка волновой функции nlm Rnl (r) Ylm ( , ) позволила установить собственные значения энергии водородоподобного атома En зависящие от главного квантового числа n

En ( Z 2me4 1 ),(n 1,2,3,..) .

8h2 02 n2

Возможные значения энергии Е1, Е2, , Е3 ... отрицательные по знаку

показаны на рис.97 в виде горизонтальных прямых линий.

Уровень энергии Е1 при n 1 соответствует минимальной возможной энергии и поэтому он считается основным. Все остальные уровни энергии Е2, , Е3, Е4 …. при n 2,3,4 …. – возбужденные.

При отрицательных по знаку энергиях En 0 движение электрона в

водородоподобном атоме связанное. При таких энергиях электрон находится внутри гиперболической «потенциальной ямы» U U (r) .

При увеличении n уровни энергии водородоподобного атома располагаются теснее и при n энергия атома становится равной нулю E 0 .

При положительных по знаку энергиях E 0 (заштрихованная область на Рис. ) движение электрона в атоме свободное. При таких условиях атом обладает непрерывным энергетическим спектром в области E 0 и находится в состоянии ионизации.

Для перевода атома в состоянии ионизации атом должен получить энергию от внешних частиц или силовых полей равную

где Ei – энергия ионизации водородоподобного атома.

178

Квантовые числа

Главное квантовое число n определяет энергию атома на так называемых энергетических уровнях. Энергия атома, рассчитываемая с учётом характера движений электрона в атоме, изменяется дискретно.

Главное квантовое число n представляет собой натуральный ряд чисел n 1, 2, 3, ... . Поэтому энергия атома водорода квантуется:

En ( Z 2me4 1 ) .

8h2 02 n2

Орбитальное квантовое число l определяет момент импульса электрона в атоме или другими словами механический орбитальный момент Ll .

Орбитальное квантовое число l представляет собой натуральный ряд чисел l 0, 1, 2, 3, ...n 1. Поэтому орбитальный момент Ll квантуется :

Ll l(l 1) .

Магнитное квантовое число ml определяет момент импульса электрона на заданное направление. Это направление формируется вектором

индукции магнитного поля В.

Магнитное квантовое число представляет собой ряд чисел ml 0, 1, 2,..., l .

атома на (2l 1) подуровней и в спектре его излучения наблюдается расщепление спектральных линий.

Из уравнения Шредингера следует, что вектор Ll момента импульса

электрона имеет лишь такие ориентации в пространстве, при которых его

проекция Llz , на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные :

Ll ml .

Впервые расщепление энергетических уровней атома в постоянном магнитном поле наблюдал немецкий физик П. Зееман в 1896 году. По

этой причине данное явление получило название «Эффект Зеемана». Эффект обусловлен тем, что в присутствии магнитного поля В элект-

рон, обладающий магнитным моментом рm приобретает дополнительную

энергию E pm B . Приобретённая энергия приводит к снятию вырождения атомных состояний по магнитному квантовому числу ml и расщеплению атомных спектральных линий.

179

Таким образом необходимо сделать следующие выводы:

1. Решение волнового уравнения Шредингера для водородоподобных атомов в сферической системе координат

представляет собой волновую функцию вида

nlm Rnl (r) Ylm ( , ) ,

где Rnl (r) , Ylm ( , ) – радиальная часть и угловая часть волновой функции

nlm .

2.Анализрадиальной Rnl (r) иугловойчастиволновойфункцииYlm ( , )

4. Квантовое число n определяет энергии электрона в атоме водорода

En ( Z 2me4 1 ) ;

8h2 02 n2

5. Квантовое число l определяет орбитальные моменты электрона

Ll l(l 1) ;

6. Квантовое число ml определяет проекции орбитального момента электрона Ll на направление z внешнего магнитного поля В – Ll ml ;

7.При квантовомеханическом описании движения электрона в атоме необходимо отказаться от классического понятия электронных орбит и руководствоваться волновыми свойствами электрона;

8.Состояния движения электрона в водородоподобном атоме определяются волновой функцией nlm Rnl (r) Ylm ( , ) ;

9.Квадрат модуля волновой функции nlm 2 , названный плотностью

вероятности, определяет вероятность W обнаружения электрона в единице объёма пространства;

10. Вероятностьобнаруженияэлектронав локальных областях атома W неодинаковая. Электрон при своём движении как бы «размазан» по всему объёму и образует электронное облако.

Электронное облако – это наглядная модель, отражающая распределение функции плотности вероятности обнаружения электрона в атоме или молекуле в зависимости от энергии электрона.

Плотность (густота) электронного облака определяет вероятность нахождения электрона в различных точках сферического объёма.

180