2413

Вероятность W , оцениваемаяволновойфугнкцией (x, y, z,t) , не

может быть неоднозначной величиной.

Для выполнения этого условия волновая функция (x, y, z,t)

должна быть конечной и однозначной функцией.

Вероятность W , оцениваемаяволновойфугнкцией (x, y, z,t) , не

может изменяться скачком.

Поэтому волновая функция (x, y, z,t) является непрерывной функцией, зависящей от координат x, y, z и времени t .

Вероятность W , оцениваемая волновой функцией (x, y, z,t) ,

равнаяединицеуказываетнато, чтовероятностьнахождениямикрочастицы в бесконечно большом пространстве с координатамми x, y, z , изменяющи-

мися от до , событие достоверное.

Эту вероятность оценивают из условия нормировки волновой функции

(x, y, z,t) :

Вероятности обнаружения электрона в атоме водорода зависят от их расстояний до ядра r .

Этот вывод иллюстрирует кривые распределения W (r) 4 r2 2 ,

представленные на рис.89. Эти кривые отображают вероятности обнаружения электрона в атоме водорода на различных расстояниях от ядра в состояниях 1s и 2s.

Рис.89

Из кривых видно, немонотонное изменение вероятности W W (r) от

161

Волновая функция позволяет вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект.

Средние значения величин имеют важное значение. С помощью этих величин можно сравнивать их с опытными данными и такимобразом проверять справедливость теоертических оценок.

Примерами средних значений величин являются:

среднее расстояние электрона до ядра r r 2 dV ;

среднее значение импульса электрона р р 2 dV ;

среднее значение момента импульса электрона r L 2 dV и т.д.

Принцип суперпозиции. Общее уравнение Шредингера

Квантовая механика описывает различные явления и процессы с участием микрочастиц на основе волновых функций 1, 2, … n …

Важным квантово-механическим принципом явлется принцип суперпозиции.

Этот принцип толкуется следующим образом:

«Если система составленная из однородных микрочастиц может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями1, 2, … n …, то она также может находиться в состоянии, описываемом

линейной комбинацией этих функций, где Cn (n= 1, 2, ...) – произ-

вольные,вообще говоря, комплексные числа.

Следует обратить особое внимание на то, что в квантовой механике при описании независимых событий осуществляется сложение волновых функций (амплитуд вероятностей) описывающих каждое из событий1 2, 2, ... n , а не вероятностей W1,W2, …Wn , определяемых

подход принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории.

Для независимых событий, описываемых классической статистической теорией, справедливатеорема сложениявероятностей W1 W2, W3 ... Wn .

Движение микрочастиц должны описывать уравнения полученные с учётом статистического толкования волн де Бройля и соотношения неопределенностей.

По этим причинам такие уравнения должны быть:

a) уравнениями в отношении волновой функции (x, y, z,t) .

162

Это связано с тем, что квадрат волновой функции 2 (x, y, z,t)2 определяет вероятность пребывания частицы в элементе объема dV;

b)волновыми уравнениями учитывающими волновые свойства частиц (волны де Бройля).

Уравнения должны оцениваться наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц;

c)нерелявистскими уравнениями постулированными для микрочастиц движущихся со скоростями меньшими скорости света c .

Нерелятивистское волновое уравнение постулировал австрийский физик Шредингер в 1925 году и по этой причине его называют уравнением Шредингера:

 УравнениеШредингера,описывающеесвойствамикрочастицв4-мер- ном пространстве (x, y, z,t) , имеет следующий вид:

(x, y, z,t) ;

i– мнимая единица;

U U (x, y, z,t) – потенциальная функция, описывающая свойства микрочастицы в заданном силовом поле.

 Уравнение Шредингера дополняется требованиями, накладываемыми на волновую функцию (x, y, z,t) :

1)Функция (x, y, z,t) должна быть конечной, однозначной и непрерывной.

2)Частные производные функции dx , dy и dz должны быть непре-

рывными функциями.

3)Плотность вероятности, определяемая квадратом волновой функции

2 , должна быть интегрируема. В простейшем случае это требование

сводится к условию нормировки вероятностей.

 Уравнение Шредингера относится к классу линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

163

 Уравнение Шредингера описывает изменение положения микрочастицы в геометрическом пространстве x, y, z и во времени t или (в общем

случае, в конфигурационном пространстве с координатами x, y, z ; импульсами рx , py , pz ) частного состояния, задаваемого волновой функцией

(x, y, z,t) в гамильтоновых квантовых системах;

Уравнение Шредингера в квантовой механике имеет такое же важное значение, как уравнения Гамильтона, уравнения второго закона Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитных волн;

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Для многих физических явлений, происходящих в микромире, общее уравнение Шредингера можно упростить исключив зависимость волновой функции от времени и записать уравнение Шредингера для стационарных состояний. Такие состояния соотвествуют фиксированным значениями энергии микрочастицы Е1, Е2 , Е3,...Еn .

Силовое поле, в котором частица движется стационарно и в данном случае потенциальная функция U U (x, y, z) имеет смысл потенциальной

энергии.

При таких условиях решение уравнения Шредингера представим в виде произведения двух волновых функций:

(x, y, z,t) (x, y, z) (t) (x, y, z) e i t ,

где (x, y, z) – волновая функция зависящая от пространственных координат x, y, z микрочастицы;

(t) e i t – волновая функция зависящая от времени t .

Учитываемсвязьмеждуэнергиеймикрочастицы Е икруговойчастотойволнового процесса связанного с микрочастицей в виде уравнения

164

i( E )t

Сокращаем все члены соотношения на e и записываем уравнение Шредингера для стационарных состояний в виде:

получают с учётом наложения граничных условий.Такими условиями являются условия регулярности волновых функций (x, y, z,t) : волновые

функции (x, y, z,t) должны быть конечными, однозначными и непре-

рывными вместе со своими первыми производными dx , dy и dz . Следует усвоить:

–реальный физический смысл имеют только такие решения уравнения Шредингера, которые выражаются регулярными функциями (x, y, z) ;

–регулярные решения уравнения Шредингера имеют место не при любых значениях параметра Е (энергия микрочастицы), а лишь при

определенном их наборе Е1, Е2 , Е3.....Еn , характерном для данной задачи.

Эти значения знергии называются собственными;

– решенияуравненияШредингера, которыесоответствуютсобственным значениямэнергии Е, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд.

В первом случае говорят о непрерывном спектре энергий микрочастицы, во втором – о дискретном спектре.

З а м е ч а н и е . Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией – это функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве

комплексной плоскости С и комплексно дифференцируемая в каждой точке. В отличие от вещественного случая, это условие означает, что голоморфная (регулярная) функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора. Голоморфные (регулярные) функции также называют иногда аналитическим.

Движение свободной частицы

Свободная микрочастица движется в пространстве при отсутствии силовых полей.

Если такое движение происходит в прямолинейном пространстве вдоль оси x и внешние силовые поля на неё действуют, то в этом случае потенциальная функция U U (x) , имеющая смысл потенциальной энергии мик-

рочастицы, равна нулю

U U (x) 0 .

165

С учётом этого обстоятельства уравнение Шредингера для стационарных состояний микрочастицы движущейся со скоростью гораздо меньшей скорости света c записывается в виде

d 2 2m E 0. dx2 2

Решением данного уравнения является волновая функция зависящая от координат и времени (x,t) . Координаты x микрочастицы и время t

являются независимыми друг от друга переменными величинами и при таком условии волновую функцию (x,t) можно представить в виде

произведения из двух частей (x) и (t) :

(x,t) (x) (t) ,

где (x) – координатная часть волновой функции (x,t) ;(t) – временная часть волновой функции (x,t) .

Временная часть волновой функции (x,t) представляет собой комплексную функцию вида

(t) e i t ,

где – циклическая частота микрочастицы.

Координатная часть волновой функции (x,t) также является комплексной функцией вида

(x) Аe ikx .

где A – постоянная величина;

k – волновое число микрочастицы,

Волновое число микрочастицы k зависит от длины волны де Бройля

микрочастицы px m x . Поэтому импульс микрочастицы px зависит от волнового числа k микрочастицы px hk . Кинетическая энергия нерелятивистской микрочастицы зависит от массы микрочастицы m , скорости x , импульса микрочастицы px и волнового числа k

Используем уравнение для волнового числа k , полученное выше, и записываем координатную часть волновой функции (x,t) в виде

(x) Aeikx Aei 1/h 2mE x Ai/h 2mE x .

166

Таким образом, общее решение уравнение Шредингера представляет собой волновую функцию вида

(x,t) ei( t kx) . Сравниваем это уравнение с уравнением для волновой функции (x,t) , полученным выше, и делаем вывод о том, что волновая функция свободной микрочастицы (x,t) описывает плоскую волну де

Бройля.

Анализируем уравнение для волновой функции (x,t) , полученное

выше, и делаем вывод о том, что энергия свободной нерелятивистской микрочастицы описывается уравнением

причине энергетический спектр свободной микрочастицы непрерывный. Плотность вероятности обнаружения свободной микрочастицы в

заданной точке пространства определяется квадратом её волновой функции

(x,t)

Отсюда плотность вероятности обнаружения свободной микрочастицы в любой точке пространства x не зависит от времени t и равна

постоянной величине А2 .

Таким образом согласно уравнениям, полученным выше:

сой m , импульсом px (или волновым числом k ), может принимать любые

значения и энергетический спектр свободной микрочастицы является непрерывным;

167

2.Состояния свободной квантовой нерелятивистской микрочастицы описывает плоская монохроматическая волна де Бройля;

3.Любые положения свободной микрочастицы в линейном пространстве x являются равновероятными.

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Микрочастица, которая находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», является несвободной.

Состояния такой микрочастицы в линейном пространстве 0 x l описываются с учётом потенциальной функции вида

, x 0

U (x) 0,0 x l

, x l

где U – потенциальная функция отсчитываемая от дна ямы; x – координата микрочастицы;

l – ширина ямы (рис.90).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний микрочастицы находящейся в пределах ямы 0 x l записывается в виде

где E – энергия микрочастицы;

k2 2mE – квадрат волнового числа микрочастицы.

2

Решение данного уравнения отыскиваем в форме представления волновой функции в виде (x) Asin kx B cos kx и с

учётом граничных условий, налагаемых на волновую функцию

(x).

Граничное условие (0) 0 выполняется для (x) Asin kx , а

Поэтому собственные функ-

Рис.90 ции микрочастицы записываем в виде

n (x) Asin nl x .

168

Параметр A определяем из условия нормировки вероятностей:

Используем полученное значение параметра А и записываем выражение для нормированных собственных функций в виде

Плотностьвероятности обнаружениячастицынаразных расстояниях от «стенок» ямы определяется квадратами собственных функций n (x)

Графики собственных функций n (x) , а также плотности вероятности

обнаружения частицы на разных расстояниях от «стенок» ямы при постоянных значениях n 1,2,3 изображены на рис.91.

Рис.91

169

На графиках видно, что собственные функции n (x) (рис.91, а) и

плотностьвероятности(рис.91, б) немонотонноипериодическиизменяются в зависимости от координаты микрочастицы x . Число пространственных полупериодов у этих величин на всей ширине ямы l численно равно n.

Собственные значения энергии микрочастицы, находящейся в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» определяются с учётом соотношения для квадрата волнового

Таким образом, спектр энергий микрочастицы, находящейся в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», дискретный и представлен набором значений:

Такая особенность спектра энергии микрочастиц обусловлена воздействием на неё потенциального силового поля U U (x) .

Потенциальный барьер прямоугольной формы

Микрочастица, которая находится в состоянии с энергией E ,

меньшей высоты потенциального барьера прямоугольной формы E U имеет отличную от нуля вероятность преодолеть этот барьер .

Потенциальный барьер прямоугольной формы наглядно представлен графиком (рис.92).

Он описывается аналитическим выражением

Уравнения Шредингера для стацио- Рис.92 нарных состояний микрочастицы в областях1, 3 и2 (см. рис.92) записываемв

виде

d 2 1,3 k2 1,3 0 (для областей1 и 3) ; dx2

d 2 22 q2 2 0 (для области 2), dx

170