2408

В узлах посредине сторон производные функций формы в направлении нормалей должны принимать следующие значения:

В том, что и условия (4.24) выполняются, легко убедиться, вычислив первые производные функций (4.23) в направлении нормалей, воспользовавшись соответствующим правилом дифференцирования.

Вычисляя вторые производные функции перемещений w по декартовым координатам с помощью формул (4.17), нетрудно установить преобразование

связывающее кривизны изогнутой поверхности с наклонами элемента в узлах 4, 5, 6. Матрица

от координат точек внутри элемента, и, следовательно, все кривизны элемента постоянны.

При постоянной толщине конечного элемента ячейка жёсткости находится по формуле, аналогичной (4.12,б), т.е.

Се В Т D В A .

Данная ячейка жёсткости соответствует не полным, а только долям углов наклона нормалей в узлах 4, 5, 6, добавляемым к поворотам элемента

71

как абсолютно твёрдого тела. Следует подчеркнуть, что структура матрицы упругости D изгибаемого конечного элемента подобна аналогичной

матрице симплекс-элемента, но в качестве множителя матрицы здесь

(4.12,а)).

При переходе от частных степеней свободы Z w / n4 , w / n5, w / n6 к полным, определяемым по (4.20), ячейка

жёсткости подлежит преобразованию по стандартной формуле [3]

где – матрица преобразования вектора узловых координат

Для отыскания матрицы сначала следует найти углы наклона эле-

мента относительно осей х, у при перемещениях без деформаций. Дифференцируя функцию wˆ , заданную выражением (4.21), находят

Далее в соответствии с (4.17) вычисляют компоненту «жёсткого» поворота в плоскости, перпендикулярной к границе элемента

С помощью разложения (4.20) и последней формулы теперь можно выразить дополнительные повороты граней в узлах 4, 5, 6:

72

Здесь

– направляющие косинусы внешних нормалей к сторонам элемента; значения dij следует вычислять по формулам, приведенным выше (см.

выражения для dij под формулой (4.25)).

Сравнивая выражения (4.27) и (4.28), находят структуру матрицы перехода

Установив матрицу перехода, теперь можно записать окончательное выражение для ячейки жёсткости элемента Морли:

Следуетотметить, чтоструктураматрицыупругости D дляизгибаемой пластинки подобна аналогичной матрице симплекс-элемента, но множи-

4.5. Формирование вектора нагрузки элемента Морли

При определении вектора узловых сил конечного элемента

F Q1, Q2 , Q3, Mn4 , Mn5, Mn6 ,

первые три компоненты которого Q1, Q2, Q3 – это поперечные силы в

вершинах треугольного элемента, а три другие – изгибающие моменты в узлах посредине сторон Mn4, Mn5, Mn6 (рис. 4.6,б), по формуле

73

находят дополнительные повороты в узлах, пользуясь соотношениями

(4.27) и (4.30):

Аналогично находят и две другие функции:

При вычислении интеграла в выражении вектора узловых сил (4.32) рекомендуется использовать известную формулу интегрирования степенных рядов по площади треугольника

При действии на поверхности элемента равномерно распределённой нагрузки с интенсивностью р значения поперечных сил и изгибающих

моментов (рис. 4.13,а) будут равны:

74

Привыборедостаточномелкойсеткиузловыесилыможнонайтипроще, применив процедуру осреднения и полагая тем самым (рис. 4.13,б):

Это означает, что при вычислении работы внешней нагрузки действительные прогибы элемента заменяют на узловые перемещения элемента как жёсткого тела (рис. 4.13,б), т.е.

Рис. 4.13

Замечания:

1. Очевидно, элемент Морли является несовместным (несогласованным), т. к. не удовлетворяет требованиям межэлементной непрерывности. На границах элементов допускаются разрывы прогибов и углов наклона нормали. Численные эксперименты

75

показали, что несмотря на это, решения, получаемые на основе данного элемента, сходятся к точным при сгущении сетки разбиения пластины.

2.При выполнении расчётов пластин с применением элемента Морли оказалось, что его использование приводит к завышенным значениям перемещений.

3.Поперечные силы в элементе Морли не определяются черезузловые перемещения вследствие однородности полей изгибающих и крутящих моментов. Они могут быть получены как результат межэлементных вычислений с привлечением конечных разностей при определении производных функций моментов.

Взаключение необходимо подчеркнуть, что процесс формирования ячейки жёсткости конечного элемента в общем случае может быть описан в терминах матричной алгебры. На этой основе, используя хорошо отлаженные процедуры операций с матрицами и векторами, нетрудно составить программу вычисления элементов ячейки в автоматическом режиме с помощью ПЭВМ.

Формирование ячейки жёсткости можно кратко описать в терминах матричнойалгебры. Оноосуществляетсявследующейпоследовательности. Во-первых, принятое на начальном этапе кинематически допустимое поле перемещений элемента в виде интерполяционного полинома

Затем, воспользовавшись граничными условиями в узлах конечного элемента, составляют систему уравнений

K Z ,

откуда находят коэффициенты интерполяционного полинома

K 1 Z .

На этой основе выводят зависимость

w K 1 Y Z .

76

Произведение N K 1 Y , фигурирующее в этой формуле, назы-

вается матрицей базисных функций. Следовательно, поле перемещений элемента можно выразить через указанную матрицу

w N Z .

Следующим шагом является определение деформаций КЭ согласно формуле

= w,

где – дифференциальный оператор. Деформации теперь можно также

определить через базисную функцию

= N Z ,

Обозначив произведение матриц в полученной формуле через

B N ,

деформации можно выразить в зависимости от узловых перемещений

B Z .

Матрица B называется матрицей формы деформаций или матрицей

градиентов. Напряжения в элементе находят по закону Гука

D ,

где D – матрица упругости (4.8). Вычисляя интеграл

Се В Т D В dа,

А

тем самым формируют ячейку жёсткости КЭ.

4.6. Алгоритм программы расчёта пластин методом конечных элементов

Процесс формирования матрицы жесткости пластины как ансамбля конечных элементов, ячейки жёсткости которых могут быть составлены заблаговременно и хранится в библиотеке ячеек, процедуры их упаковки в глобальной матрице жёсткости, построение вектора нагрузок и его преобразование, а также переход от узловых перемещений, принятых в локальной системе координат, к глобальным, последующее определение узловых перемещений путём решения системы уравнений и вычисление усилий в пластине по методу конечных элементов могут быть выполнены в автоматическом режиме. С этой целью разные авторы разработали программы расчёта тонких пластин по МКЭ [20], основу которых составляет алгоритм, блок-схема которого представлена на рис. 4.15.

В настоящее время разработаны обширные программные комплексы (ПК) по расчёту сооружений, включающие и программы расчёта пластин, и не только тонких (ПК «ЛИРА», SCAD и др.).

77

начало

Ввод числа степеней свободы, координат

узлов, ячеек жёсткости и векторов нагрузок

КЭ

Преобразование ячеек жёсткостей элементов при переходе от локальных систем координат к глобальной системе.

То же, для вектора грузовых реакций

Формирование глобальной матрицы жёсткости системы

Учёт податливости узловых соединений и опорных сечений путём корректировки матрицы жёсткости системы. Решение системы линейных алгебраических уравнений

Вычисление деформаций и внутренних усилий в каждом конечном элементе

конец

Рис. 4.15

78

Часть II. РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК

5. ОБОЛОЧКИ. ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК

5.1. Основные понятия теории оболочек. Виды оболочек

Оболочкой называется тонкостенная пространственная конструкция, телокоторойобразованопридвижениикороткогопрямолинейногоотрезка, средняя точка которого остаётся на гладкой поверхности, а направление – перпендикулярным к поверхности (рис. 5.1).

Длина отрезка характеризует толщину оболочки. Если длина сохраняется постоянной, то оболочка обладает постоянной толщиной; в противном случае – переменной.

Поверхность, на которой располагаются средние точки прямой, назы-

вается срединной поверхностью оболочки.

Рис. 5.1

Поверхности, очерчиваемые концами элемента, остаются гладкими.

Контур оболочки или боковую грань можно определить как след скольжения нормали по замкнутой линии на срединной поверхности. Оболочки могут иметь не один, а два и более контура (оболочки с отверстиями). Оболочка может и не иметь контура вовсе, например замкнутая сферическая оболочка в виде полого шара или в форме тора. Оболочка поконтуруобычноподкрепляетсяразличными конструктивными элементами в виде балок, арок, ферм, сплошных дисков (диафрагм). На рис. 5.2 показано несколько примеров таких оболочек, в частности

79

пологие оболочки с бортовыми элементами в виде арок и ферм и ребристая цилиндрическая оболочка, подкреплённая стрингерами.

Рис. 5.2

Многообразие форм оболочек, состоящее в различии толщин и габаритных размеров, влечёт за собой возможность упрощения (схематизации) действительной работы тонкостенной конструкции. Эта идеализация формулируется в форме гипотез, аналогичных по природе гипотезам теории расчёта стержней или пластин. По существу, формулировка гипотез для оболочек отличается от предпосылок для пластин лишь употреблением термина «поверхность оболочки» вместо «плоскость пластинки» на соответствующих местах (см. подразд. 1.2 и 5.5). Введение гипотез существенно упрощает расчёт оболочек по сравнению со строгой теорией. Например, если в теории оболочек при выводе уравнений состояния пренебрегают всеми слагаемыми, имеющими порядок R по

сравнению с единицей ( R – радиус кривизны срединной поверхности), то оболочки относятся к категории тонких. Количественно это отношение составляет:

Оболочки с указанным ограничением широко применяются в строительстве. Раздел строительной механики, в котором они изучаются, известен как техническая или геометрически линейная теория расчёта оболочек.

Помимо тонких оболочек в литературе рассматриваются также толстые оболочки и оболочки средней толщины.

По форме срединной поверхности оболочки могут быть Ццилиндрическими, коническими и т.п. Материалом оболочек может служить дерево, металл, железобетон, их сочетание.

Оболочки применяются в промышленном и гражданском строительстве –

вкачестве несущих конструкций покрытий и перекрытий, козырьков над входамизданий, трибунамистадионовипр.; втоннелестроении, вчастности–

вметро; в судо- и самолётостроении – корпуса судов, доков, фюзеляжи и крылья самолётов; в машиностроении – кузова автомобилей, цистерны для перевозки жидкостей, бункера и т.п. (рис. 5.3,а).

80