2408

сводится к построению матрицы жёсткости КЭ-модели, составленной из четырёх конечных элементов треугольной формы (рис. 4.7,б).

р=50 кН, 2h=1,2 м, 2a=0,6 м, ν= 0,3, Е=200 109 Па, δ= 0,1 м

Рис. 4.7

61

составлена из матриц-клеток второго порядка cijI , которые находят в результате перемножения блоков (4.10):

Верхний индекс в матрице-клетке жёсткости cijk указывает на номер

КЭ на сетке дискретизации клина 1 k m ; первый нижний индекс (i) – на номерузла, в которомопределяютсяреакциипонаправлениямего степеней свободы, а второй – на узел (j), в котором заданы единичные перемещения вдоль степеней свободы.

В частности, выполнив вычисления коэффициентов базисных функций

по формулам (4.5) при известных координатах узлов I-го элемента (рис. 4.8,а):

находят отдельные блоки ячейки жёсткости, элементы которых характеризуют единичные реакции каждого узла элемента c номером I:

62

Рис. 4.8

Аналогично находятся и ячейки жёсткости остальных элементов:

Выписывать их полностью нет необходимости, т.к. для построения матрицы жесткости всего клина достаточно внести ячейки жёсткости в

63

который и составляет суть упаковки, будет определение элементов одного из блоков матрицы жёсткости стержня R по формуле

Далее выполняется упаковка ячеек жесткости конечных элементов в глобальную матрицу жесткости клина. Для этого ячейки жёсткости элементов следует последовательно переслать в глобальную матрицу таким образом, чтобы элементы ячеек жёсткостей соответствовали направлениям степеней свободы wi , указаннымвузлах сетки дискретизации, в глобальной

системе координат. Процедуру упаковки проще всего проиллюстрировать на поле (карте) глобальной матрицы, порядок которой определяется числом степеней свободы клина; здесь w 2 6 12 (рис. 4.9).

[R]=

Рис. 4.9

Пусть изначально матрица R была пуста. На первом шаге переносят

элементы ячейки жёсткости элемента I (они обозначены на карте жирными точками), согласовав их положение с принятой индексацией степеней свободы. На втором шаге перебрасывают элементы ячейки жёсткости второго стержня (они на карте занимают положения, отмеченные окружностями). Точно так же пересылают элементы ячейки жёсткости и стержня III (места, соответствующие их положению на карте, показаны квадратиками). Наконец, заполняются те места глобальной матрицы, которые отмечены крестиками; они соответствуют ячейкам жёсткости элемента IV.

Врезультате проведения указанных операций по заполнению матрицы

R отдельные элементы разных ячеек оказываются в одном и том же месте

карты, что и демонстрирует рисунок карты. И поскольку с физической точки зрения элементы каждой клеточки карты матрицы – это не что иное, как реакции «связей» по направлению одной и той же степени свободы, то их следует суммировать. В итоге подобной «упаковки» формируется глобальная матрица жёсткости клина двенадцатого порядка

64

Далее матрица жёсткости R подлежит корректировке с целью учёта

граничных условий, состоящих в отсутствии перемещений 1, 2, 3-го узлов и наличии горизонтальных внешних нагрузок 2р, р, приложенных в 6-м и 5-м узлах, соответственно.

Одновременно корректируется и вектор неизвестных узловых перемещений Z разрешающей системы уравнений МКЭ

где часть компонент остаётся прежней, а на местах, соответствующих направлениям j-х степеней свободы (здесь j=1, 2, …, 6), по которым перемещения на границе по условиям задачи отсутствуют, помещают реакции опор (в данном примере таковыми являются реакции X1, Y1, ..., X 3 , Y3 ,

возникающие в первом, втором и третьем узлах КЭ-модели в основании клина).

В матрице жёсткости R следует приравнять нулю элементы j-х столб-

цов, соответствующих j-м реакциям, за исключением элементов j-х строк, которые равны единице с минусом. Объяснить это несложно, обратившись к физическому смыслу разрешающего уравнения, согласно которому

65

величина суммарного усилия по направлению w j -й степени свободы в узле

при сохранении равновесия равняется нулю, т. е. S R Z + F = 0 . Размещая на месте j-й компоненты вектора Z реакцию X j и одновременно полагая

диагональный элемент матрицы жёсткости rjj равным минус единице, тем

самым заменяют первое слагаемое в уравнении равновесия неизвестной реакцией X j . В результате уравнение равновесия узла по направлению

w j -й степени свободы принимает вид X j f j 0. Приравнивая нулю все остальные компоненты j-го столбца матрицы R , исключают влияние перемещения по направлению w j -й степени свободы на величины упругих

реакций во всех других узлах КЭ-модели.

В результате корректировки приходят к новой записи уравнений

G F 0 ,

где G – матрица, полученная на основе матрицы R после её преобра-

зования.

Вектор внешних узловых нагрузок F формируется независимо. В данном примере он заполняется нулями, кроме тех элементов, номера которых совпадают с индексами степеней свободы w9 , w11 . Элементы,

соответствующие w9 , w11 -м степеням свободы, приравниваются значениям сосредоточенных сил 2р и р, приложенных в 6-м и 5-м узлах клина. Решив последнюю систему уравнений, вычисляют неизвестные (вектор ),

характеризующиенапряжённо-деформированноесостояниеклина. Затемпо формуле

элемента с номером I. Аналогично находят напряжения в узлах конечных элементов с номерами II, III, IV, воспользовавшись векторами:

Далее одноимённые напряжения в узлах, где сопрягаются соседние КЭ, суммируют с целью определения полных напряжений.

66

Выполнив вычисления элементов матрицы жёсткости, приняв основание клина равным 0,6 м, высоту – 1,2 м (размеры конечного элемента,

соответственно, 0,3 0,6 м), значение коэффициента Пуассона – 0,3 и взяв

значение нагрузки р равным 50kH , в результате численного решения системы уравнений находят перемещения 4, 5, и 6-го узлов:

u4 0,041, 4 0,007, u5 0,042,

Полученный результат легко проверить, воспользовавшись вычислительным комплексом SCAD (см. прил. 1).

Ещё одним практическим примером, где могут быть использованы формулы, приведенные в настоящем параграфе, может служить расчёт стержня квадратного или ромбовидного сечения на кручение [20].

Б) Треугольный элемент Морли с шестью степенями свободы

Рассматриваемый в данном подподразделе конечный элемент, так же, как и симплекс-элемент, имеет шесть степеней свободы, новотличиеот последнего предназначается для использования в расчётах изгибаемых пластин.

Вполне очевидным представляется предположить, что при изгибе пластины деформированная поверхность в пределах отдельного элемента будет обладать постоянной кривизной в основных направлениях (рис. 4.10,а). Этой гипотезе отвечает квадратичный закон изменения прогибов

который в компактной форме можно записать в виде скалярного произведения векторов

если воспользоваться обозначением вектора коэффициентов квадратичной формы 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 и вектора текущих координат точек

срединной поверхности элемента Y 1, х, у, х2 , ху, у2 *.

В соответствии с процедурой формирования ячеек жёсткости коэффициенты формы k следует выразить через шесть узловых степеней

свободы элементы, в качестве которых Морли принял величины прогибов w1, w2 , w3 в вершинах треугольника и нормальных производных функции

прогибов w / n4 , w / n5 , w / n6 в точках 4, 5, 6, взятых в середине сторон треугольника.

*В литературе вектор Y чаще называют просто вектором степенных функций.

67

Рис. 4.10

Данные величины образуют вектор перемещений или степеней свободы

Нормальные производные прогибов, которые понадобятся в дальнейшем, могутбытьвыраженычерезпроизводныевнаправленияхосейкоординат по формуле

где – угол между направлением оси 0х и внешней нормалью к границе. Представив каждую компоненту вектора Z в соответствии с

определениями (4.15) и (4.16) и формулой (4.17), нетрудно составить шесть уравненийотносительнополиномиальныхкоэффициентов i изаписатьих

в матричной форме

68

– матрица узловых координат, среди которых числятся и углы между боковыми гранями элемента и осями декартовой системы координат;

величины сk ,sk k 4, 5, 6 обозначают, как принято в литературе по механике, соответственно, косинус и синус угла k внешней нормали боковой

грани треугольника.

Решив систему уравнений (4.18), находят вектор коэффициентов полинома

K 1 Z.

Теперь поле прогибов конечного элемента (4.15) можно выразить с помощью функций формы в виде

Аналитический вид полученных функций в системе х0у столь громоздкий, чтоотиспользованияихвдальнейшемизложениипроцедурыформирования ячейки жёсткости отказались. Намного короче и выразительнее функции формы выглядят, если в решении применить l-координаты или естественные координаты треугольника, непосредственно связанные с его формой в плане (рис. 4.11). В рассматриваемом случае ранее указанные координаты вершин треугольника дополнены натуральными координатами середин сторон, что в целом характеризует l-координаты всех шести узловых точек элемента.

Рис. 4.11

69

Морли предложил записывать (полные) прогибы элемента в виде

одна часть которых относится к перемещениям элемента в направлении нормали к срединной плоскости как жёсткого диска, не порождающим кривизны элемента

а другая характеризует искривления поверхности пластинки за счёт изменения углов наклона нормалей в средних точках сторон треугольника

при отсутствии прогибов в узлах. Следовательно, квадратичные функции формы N4 , N5 , N6 в узловых точках должны быть нулевыми как в декар-

товых, так и в l-координатах.

Указанным требованиям удовлетворяют базисные функции в виде

записи формулы (4.21); функция N1' = l1 1 l1 составляет основу базисной функций N5 , используемой в данном решении.

Рис. 4.12

70