2408

Если выразить с помощью конечных разностей вторые производные в уравнении(3.5,б) иподставитьполученныезначениямоментов(3.12), тообразуется систематрёх уравненийотносительно прогибов в точках 0, 1 и2:

4w1 4w0 9 ра2 , 2 64

2w2 4w1 w0 7 ра2 ,

2 64

4w2 2w1 11 ра2 . 4 16

31

Значение прогиба в центре

w0 0,00403 раD2

незначительно отличается от точного (менее чем на 1%). Изгибающий момент в центре пластинки равен:

Мх Му М0 1 0,0457 ра2 , 2

что меньше точного на 4,5% при 0,3.

Пример 2.

Если края пластинки защемлены, то число неизвестных будет больше количества внутренних узлов сетки, поскольку на гранях моменты неизвестны. К тому же необходимо учесть и условия отсутствия наклонов граней, когда:

Для удовлетворения этих условий на контуре следует ввести законтурные узлы при сохранении того же шага сетки , что и внутри пластинки (рис. 3.3,б).

Откуда

Например, пусть у квадратной пластинки со стороной а защемлена только одна кромка; остальные стороны – шарнирно опёрты (рис. 3.4).

Рис. 3.4

32

Поделив стороны на две части, т.е. приняв шаг а2 , в соответствии с

уравнением (3.7,а) можно записать

M1 4M0 р а 2 .2

Согласно уравнению (3.7,б):

для узла 0 справедливо выражение

4w0 M40Dа2 ,

для узла 1 (при w1 w0 ) –

w0 w1 M41Dа2 или 2w0 M41Dа2 .

Решение полученной системы уравнений имеет следующие корни:

Другой подход к формированию системы уравнений в конечных разностях заключается в составлении уравнений для узлов сетки с использованием только узловых перемещений [14].

Метод конечных разностей применим к пластинкам любой формы в плане. При уменьшении шага сетки дискретизации точность решения повышается. Проблем с решением больших систем линейных уравнений с помощью ПЭВМ даже при малом шаге сетки не возникает.

3.3. Вариационный метод Бубнова – Галёркина

А) Обоснование метода Бубнова – Галёркина (1913-1915)

Варьируя величину потенциальной энергии (1.19) по перемещениям и приравнивая в соответствии с принципом Лагранжа полученное выражение нулю, приходят к уравнению

Выполнив интегрирование левой части по частям, его можно представить в виде

33

Если возможные перемещения заведомо принять соответствующими кинематическим граничным условиям, то интегралы на контуре пластинки (написанныевовторойстроке) обращаютсявнуль. Вэтомслучаеуравнение принимает компактную форму

которая обычно используется при практическом применении метода Бубнова – Галёркина.

Б) Пример расчёта пластинки методом Бубнова – Галёркина

В этом подразделе приводится решение простейшей задачи расчёта прямоугольной пластинки, шарнирно опёртой по всему контуру, на основе метода Бубнова – Галёркина. Для такого случая опирания справедливы следующие граничные условия:

Кроме того, прогибы пластинки должны удовлетворять разрешающему уравнению (3.1).

В качестве кинематически допустимого поля прогибов пластинки можно взять распределение перемещений в виде синусовидного купола

который удовлетворяет краевым условиям; С – постоянный множитель

(рис. 3.5).

Рис. 3.5

34

Неизвестный множитель С предлагается искать также на основе уравнения (3.1) следующим образом.

Подставив выражение прогиба в левую часть уравнения (3.1), после выполнения необходимых операций легко получить новую форму этой части:

Таким образом, оказывается, что теперь левая часть уравнения (3.1) имеет переменный характер, в то время как в исходном уравнении она

постоянна и равна Dp . Это означает, что уравнение равновесия (3.1) не

удовлетворяется для всех точках пластинки. Ставя целью решения задачи удовлетворение условия (3.1) в целом по всей площади пластинки, следует, в соответствии с принципом возможных перемещений, умножить обе части

35

Полученное значение прогиба только на 2,5% больше точного. Следует заметить, что погрешность при определении напряжений, в отличие от прогибов, значительна, около 11,5% [3].

При интегрировании левой части были использованы известные интегралы произведений тригонометрических функций (см. разд. 1).

Точность решения по методу Бубнова – Галёркина можно существенно повысить, если в качестве возможного поля перемещений принять более общее выражение прогибов в виде суммы

i 1

где Сi – постоянные коэффициенты.

3.4.Приложение вариационного метода Ритца – Тимошенко

красчёту прямоугольных пластин

А) Истоки метода Ритца – Тимошенко (1908-1910)

В основе метода лежит принцип минимума потенциальной энергии пластинки при её равновесии

тельно, вариация энергии выражается через коэффициенты ряда сi . Выпол-

няя минимизацию энергии по каждому коэффициенту ряда с помощью соответствующих условий

составляют тем самым систему алгебраических уравнений, из которых впоследствии находят коэффициенты ряда сi . Зная их, получают поле

перемещений пластинки согласно (3.22).

Метод рекомендуется применять в расчётах пластинок при сложных граничных условиях.

Б) Пример расчёта пластинки методом Ритца – Тимошенко

Выполнить расчёт прямоугольной шарнирно опёртой по всему контуру пластинки, нагруженной сосредоточенной силой Р в центре (рис. 3.6).

36

Взяв начало системы декартовых координат в одном из углов прямоугольника, ожидаемое распределение прогибов пластинки можно принять в виде ряда

где сi i 1,2,...,n – коэффициентыполинома; n – числостепенейсвободы. Очевидно, в качестве функций i выступают здесь произведения тригонометрических функций

На первый взгляд указанное поле перемещений несущественно отличается от известного поля прогибов Навье в виде

Как и в решении Навье, оно удовлетворяет краевым условиям задачи

(рис. 3.6).

Рис. 3.6

37

Поиск неизвестных коэффициентов сi ряда (3.24) в соответствии с

рассматриваемым методом осуществляется на основе условий экстремаль-

ности (3.23).

Величина потенциальной энергии U пластинки, если ограничиться только одним членом ряда в (3.31), согласно (1.18), равна:

U 18 4D a12 b12 2 abc2 Pc .

Продифференцировав это выражение по с и приравняв производную нулю, легко найти коэффициент

центре. Точность решения повышается, если воспользоваться бóльшим числом членов ряда.

38

контура элемента, в центре его и др. Как таковые, в отличие от метода перемещений, связи в модели отсутствуют. Тем не менее конечноэлементная модель пластины может рассматриваться в качестве «основной системы» МКЭ. Совместная работа конечных элементов, примыкающих к тому или иному узлу, достигается путём уравнивания прогибов соседних элементов в узлах, углов наклона смежных граней или (и) усилий. В зависимости от выбора типа независимых переменных, характеризующих напряжённо-деформированное состояние КЭ, различают три основные формы метода:

МКЭ в форме метода перемещений;

МКЭ в форме метода сил;

гибридный метод конечных элементов.

Расчёт пластин по МКЭ в форме метода перемещений, как и расчёт стержневых систем методом перемещений, сводится к формированию условийравновесиянабораконечныхэлементоввузлахКЭ-модели. Итогом процесса составления условий равновесия является система линейных алгебраических уравнений:

R Z Р 0 .

Здесь R – матрица жёсткости КЭ-модели в общей системе координат

(глобальная матрица жёсткости); Z – вектор узловых перемещений; P – вектор узловых нагрузок. Порядок матрицы R равен числу степеней

свободы КЭ-модели. Условия равновесия выводятся на основе вариационного принципа Лагранжа (см. подразд. 4.3).

При формировании глобальной матрицы используется библиотека конечных элементов, содержащая матрицы (ячейки) жёсткости отдельных

конечных элементов Ce . Ячейки жёсткости в общем случае переводятся

в глобальную систему координат, и затем по специальной процедуре формируется общая матрица жёсткости пластины R . Матрица R , как и

вектор узловых перемещений Z , в дальнейшем подлежат корректировке с целью учёта граничных условий на контуре пластинки. В итоге приходят к системе линейных алгебраических уравнений

К Р 0 ,

порядок которой, как и порядок матрицы R , равен числу степеней

включающий, наряду с перемещениями, и реакции связей (см. ниже пример расчёта клина в подразд. 4.3).

40