2408

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

wi 1, j 2wi, j wi 1, j

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.06.2024

Размер:

8.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.РАСЧЁТ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН

2.1.Вывод уравнения изгиба круглой пластины

Преобразование декартовых координат к полярным осуществляется по формулам:

х rcos ,	y rsin ,	(2.1)
где r , – полярные координаты (рис. 2.1).
а	б

Рис. 2.1

Если принять начало радиуса полярной системы совпадающим с началом оси х декартовой системы, то формулы

х2 у

2 ,

arctg

устанавливают связь координат произвольной точки на плоскости.

Производные величин r , легко вычислить:

cos

х2 у2

sin ,

(2.2)

х2 у2

sin

cos .

На основании данных вычислений без труда находятся производные:

cos

sin

r х

sin

cos

(2.3)

r у

sin

cos

sin

cos

sin cos

cos

sin

r r

1 2

cos

sin

2sin cos

2 2

r r

1 2

sin

cos

2sin cos

2 2

r r

sin cos

x y

r r

cos 2

sin 2

Оператор Лапласа

w 2w 2wx2 y2

с учётом данных определений производных в полярных координатах принимает вид

2	1	1	2	.	(2.4)

r 2	r r	r 2
			2

С его помощью левая часть уравнения изгиба пластинки в полярных координатах может быть представлена состоящей из сомножителей

		2	1	1	2		2	w	1 w	1	2	w
w													.	(2.5)

	r2		r r	r2 2		r2			r r	r2 2

Приравниваяэто выражениевеличине Dp , выводятуравнениеизогнутой поверхности

	2	1	1	2		2	w	1 w	1	2	w	p r,	.	(2.6)


r2		r r	r2 2		r2			r r	r2 2
												D

Здесь, как и для	прямоугольной пластинки, w обозначает					прогиб
произвольной точки,	D		E 3		– цилиндрическую жёсткость,	– её
				2
		12 1

толщину; – коэффициент Пуассона, р – интенсивность распределённой

нагрузки.

При действии симметричной нагрузки прогибы не зависят от окружной координаты. Следовательно, производные функции прогибов по в уравнении исключаются, и уравнение принимает вид

4 w

2 3w

1 2 w

p r,

(2.7)

r 4

r 2

2.2. Интегрирование уравнения изгиба круглых пластин

Общийинтегралуравнения(2.7) можнопредставитькаксуммучастного решения и решения однородного уравнения при p r 0, т.е.

w w* w .	(2.8)
0

Частное решение в случае равномерно распределённой нагрузки очевидно –

*	pr4
w		.	(2.9)
	64D

Решение однородного уравнения записывается в виде

w с ln r с r2 ln r с r2			c	,	(2.10)
0 1	2	3	4

где с1, с2, с3, c4 – постоянные интегрирования.

Таким образом, общее решение для круговой пластинки имеет вид

w с	ln r с	r 2 ln r с r 2	с	4	pr 4	.	(2.11)

1	2	3			64D

2.3.Определение изгибающих моментов

ипоперечных сил круглых пластин

Величины изгибающих моментов и поперечных сил в круглых пластинах, как и уравнение изогнутой поверхности, можно выразить в полярной системе. Формулы для них, во-первых, вполне естественны для анализа круглых пластин, а, во-вторых, необходимы при практическом решении задач на стадии формулировки краевых условий.

Формулы для изгибающих моментов и поперечных сил несложно вывести на основе известных выражений аналогичных величин в декартовых координатах (см. формулы для прямоугольных пластинок (1.6,а)). Воспользовавшись, например, определением

	2	w	2	w	,
Мх D		w		w	,
	x2		y2

после подстановки формул преобразования производных (2.3) находят моменты в радиальном направлении

	2	w		1	1		2
Mr D								.	(2.12,а)
			2			2	2
	x			r r	r

Аналогично выводят формулы и для окружных и крутящих моментов:

М D

, (2.12,б)

r2 2

r r

D 1

1 2w

. (2.12,в)

x y

r r

Точно также и для поперечных сил легко установить, что:

Qr D

r r

r2 2

(2.13)

Q D

у2

х2

r2 2

r r

При полярно-симметричном изгибе круглой пластинки формулы упрощаются:

Изгибающие моменты равны:

Mr D

М D

Поперечные силы

Qr D

r r

Остальные усилия не возникают совсем

Mr M r Q 0.

(2.14,а)

(2.14,б)

(2.15)

(2.16)

2.4. Граничные условия для круглых пластин

А) При защемлении контура

w 0,

(2.17)

Б) При шарнирном опирании контура

w 0,

(2.18)

Mr D

r r

В) На свободном контуре (при отсутствии внешних воздействий по

контуру отверстия)

2w w

0 , Q 0.

(2.19)

Г) На свободном контуре (при наличии внешних воздействий) по

наружному контуру

2w w

0 , Q q,

(2.20)

если нагрузка q

распределена только на контуре;

если нагрузка q

распределена на внутреннем контуре (у отверстия), то

должны быть выполнены следующие условия:

2 w w 0 , Q q.

(2.21)

r 2

r r

2.5. Прогибы кольцевых пластин

На основе полученного решения несложно определитпрогибынетолькосплошныхкруглых пластинок, но пластинок с симметричным отверстием, т.е. кольцевыхпластинок, присамых разных краевых условиях.

В частности, для круглой пластинки с защемлённым внешним контуром и шарнирным опиранием в месте выреза (рис. 2.2) краевые условия имеют вид:

на внешнем контуре, при r a:

w 0,	w	0;
	r	Рис. 2.2
		Рис. 2.2

на внутреннем, при r b :

1 w

Qr D

r r

Подставив сюда выражение для прогибов (2.11), приходят к системе четырёх уравнений относительно постоянных интегрирования:

с ln a с

a2 ln a с

pa4

64D

2 2с a 2с

a ln a с

pa3

16D

с2

2с 2с

ln b 3с

3 pb2

с2

2с 2с

ln b с

pb2

16D

4с4

Решив систему, находят:

							pa2											4											2			2
				с							1 a								5				3 4 1 ln a a							b
				с							1 a								5				3 4 1 ln a a							b
			1				64D
			2			1															1 4 1 ln						b				4		,
			2		2	1						1 2ln a									1 4 1 ln								b				,
																											a
				с					pa2b2					a		2	1						1		4 1 ln			b			b			2		,


			2						16D
									16D																			a
с	p				1 a4 2 1 ln b a2b2 3 4																								1 lnb b4										,
с					1 a4 2 1 ln b a2b2 3 4																								1 lnb b4										,
3																						a
	32 D																					a
с	pb2
				,
				,
4	8D
	8D
где 1 a2						1 b2 .
Если ещё ввести параметры:																					1 2 1 4 2 ln
					b								r						k		1 2 1 4 2 ln															2
			a ,												,																					2

													a										1 1 2
то прогибы кольцевой пластинки находят по формуле
				pr 4																2				2	4							2			2
w								1		2 1 k									2		1					4k lg 8											ln	.
w								1		2 1 k									2		1					4k lg 8											ln	.
		64D
		64D

Значения моментов в пластинке при действии равномерно распределённой нагрузки р вычисляют по формулам (2.14).

3. ВАРИАЦИОННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА ПЛАСТИНОК

3.1. Классификация численных методов расчёта пластин

Во многих случаях определение поля прогибов пластинок путём непосредственного интегрирования уравнения изгиба пластинок

4		4		4		p	х, у
	w4 2	w			w4			(3.1)
	w4 2	2	2		w4		D	(3.1)
x		x y		y			D

связано с преодолением больших математических преград, например, для пластинок со сложным характером опирания контура, для пластин с отверстиями и т.п. В таких задачах вместо отыскания прогибов в аналитической форме согласно уравнению (3.1) переходят к определению перемещений и усилий в заранее намеченных точках – узлах сетки дискретизации срединной плоскости. Такой подход носит название метода сеток. Суть его с формальной стороны решения проблемы расчёта состоит в замене производных в уравнении (3.1) их выражениями в конечных разностях. В результате перехода к новой форме записи уравнения формируется система линейных алгебраических уравнений относительно значений прогибов в конечном числе узловых точек. В физическом отношении замена дифференциального уравнения системой конечноразностных уравнений метода сеток означает переход от континуальной механической системы с непрерывным распределением перемещений и усилий к дискретной модели пластинки (рис. 3.1,а).

а б

Рис. 3.1

Ещё один численный подход основан на представлении пластинки в

виде связанного набора перекрёстных балок (рис. 3.1,б).

Другая группа приближённых методов основана на применении методов, имеющих вариационную природу. Например, метод Бубнова – Галёркина является следствием принципа возможных перемещений

(принципа Лагранжа) (см. подразд. 3.3). Метод Ритца – Тимошенко, в свою очередь, можно рассматривать как производное принципа возможного изменения напряжений (принципа Кастильяно (см. п. 3.3) [6]).

Со второйполовины ХХ векадля расчёта сооруженийиих частей, втом числеипластин, развивается методконечныхэлементов, которыйтакжеотносится к вариационным. Формирование уравнений равновесия конечноэлементной модели (КЭ-модели) пластинки осуществляется на базе принципа возможных перемещений. Изложение метода конечных элементов (МКЭ) длярасчётапластинподробнорассматриваетсявследующемразделе пособия.

3.2. Метод конечных разностей, или метод сеток

Из математики известно, что производные непрерывной функции w могут быть представлены в конечных разностях, например вторая производная по переменной х записывается в следующем виде:

Аналогичное выражение справедливо и по направлению оси у

2w	ij	wi, j 1	2wi, j wi, j 1	,	(3.2,б)

у2			2

где – шаг сетки дискретизации (рис. 3.2). Сложив данные выражения, можно получить аппроксимирующее конечно-разностное представление бигармонического оператора (оператора Лапласа):

2w	2w		wi 1, j wi 1, j wi, j 1 wi, j 1	4wi, j	.	(3.3)


x2	y2		2
		ij

Рис. 3.2

Дифференциальное уравнение изгиба пластинки (3.1) можно переписать в виде

Сложив величины моментов

	2	w		2	w
Мх D		w			w
	x2			y2			,
	2		w	2		w
Мy D			w			w
	y2			x2

и разделив их сумму на 1 , нетрудно составить выражение для

приведенного момента:

	Мх Му		2w	2w
М		D	x2	y2	.	(3.4)
	1

Сучётомданногоопределениямоментауравнение(3.1) предстанетввиде

2xМ2 2yМ2 р,

а сумма моментов Мх Му согласно (3.3) –

2	w	2	w	М .

x2		y2		D

(3.5,а)

(3.5,б)

Очевидно, двауравнения (3.5) эквивалентныисходному уравнению(3.1). Полученные уравнения несложно записать в конечно-разностной форме. С этой целью на поверхности пластинки необходимо нанести регулярную сетку с шагом . С каждым узлом сетки следует связать величину прогиба, снабдив её двумя индексами i, j . Для отдельного узла

согласно (3.3), (3.5,б) можно составить уравнение в конечных разностях:

wi 1, j wi 1, j wi, j 1 wi, j 1	4wi, j	Mij	.	(3.6)
2
		D

Аналогично поступают и с уравнением (3.4,а). Для удобства дальнейшего использования совокупность уравнений (3.4) в конечной форме записывают построчно:

i 1, j

1, j

i, j 1

i, j

(3.7,а)

i, j

Mij

(3.7,б)

i 1, j

i, j 1

i, j

Для пластин с шарнирным опиранием контура для вычисления моментов число уравнений будет совпадать с числом неизвестных. При выполнении расчёта пластинки сначала определяют моменты по (3.5,а), а затем переходят к вычислению прогибов по (3.5,б).

В общем случае по формуле (3.5,а) для сетки с т узлами можно составитьсистемулинейныхуравненийстнеизвестными. Еслиобозначить

Мi Мi,1, Мi,2 , ..., Мi,m 1 T ,

ММ1, М2 , ..., Мm 1 T

–вектор-столбцы узловых моментов в пластинке, то систему уравнений можно записать в матричной форме


	V			M	P,						(3.8)
где

			1
1						1

V
						1				1


								1
								1
– матрица равновесия, а
		4			1
					4		1
	1				4		1				(3.9)
											(3.9)
							1	4
							1	4	1
								1	4
								1	4

– её ячейка в виде блок-матрицы, 1 – единичная матрица.

Пример 1.

Приближённыезначениявторыхпроизводныхотизгибающихмоментов M в узлах сетки равны (рис. 3.3):

	2M				M			M	0	M		2M	2M			0	;		2M			2M				2M		0	;
	x2						1		0		1	1	2			0	;		у2					1	2			0	;
	x2		0					2					2						у2	0					2
2M				M		3	2M			M	0	M	M	0	;				2M		2M		2	M			1		(3.10)
x2						3		1			0	1		0	;								2				1		(3.10)
x2								2				2						у2					2
		1																	1

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.06.20248.49 Mб02403.pdf
#
17.06.20248.49 Mб02404.pdf
#
17.06.20248.49 Mб02405.pdf
#
22.06.20248.53 Mб02406.pdf
#
22.06.20248.55 Mб02407.pdf
#
22.06.20248.55 Mб22408.pdf
#
22.06.20248.55 Mб02409.pdf
#
17.06.2024244.74 Кб0241.pdf
#
22.06.20248.57 Mб02410.pdf
#
22.06.20248.57 Mб32411.pdf
#
22.06.20248.58 Mб22412.pdf