Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2408

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.06.2024

Размер:

8.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2625 26 > Следующая >>>

Окончание прил. 1

241

f (x) Ck k (x)

k 0

		Приложение 2
		ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
		Постановка задачи
Пусть		xi a,b , i 0,1, 2, ..., n – множество значений аргумента, а
y Rn	–	множество значений некоторой функции x , аналитическое
i

выражение которой в общем случае неизвестно. Требуется по заданным точкам (xi , yi ) определить функцию y f (x), такую, чтобы:

1)f (xi ) yi ;

2)отличие значений этой функции f (x) от значений точной функции

(x) во всех других точках интервала a,b было минимальным, то есть

max	f (x) (x)	min

x a,b		.

Точки (xi , yi ) называются узлами интерполяции. Задача по отысканию функции f называется задачей интерполяции, а сама функция f – интер-

полянтой.

Задачи интерполяции возникают при рассмотрении следующих вопросов:

1)при обработке экспериментальных данных для выяснения общих закономерностей поведения изучаемой системы;

2)при проведении многократных вычислений в достаточно узком интервале изменения аргумента с целью упрощения сложных вычислительных формул;

3)прирешениизадачдифференциальногоисчисления, таких, каквычисление производных, вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений (одна из таких задач рассматривается в разд. 9).

Общий подход к решению задачи интерполяции в математике заключается в следующем. Интерполянта определяется в виде линейной комбинации линейно независимых функций:

Здесь k (x) – система известных линейно независимых функций, выбор которых осуществляется исследователем. Постоянные Ck

неизвестны, в их определении и заключается задача интерполяции.

Так как для системы точек (xi , yi ) должно выполняться условие yi f (xi ) , то можно записать систему, состоящую из n 1 -го уравнения сn 1 неизвестными Ck:

242

Продолжение прил. 2

y0 Ck k (x0 );y1 Ck k (xi );

yn Ck k (xn ).

Данная система линейных уравнений будет иметь решение, когда определитель из коэффициентов системы не равен нулю:

0	x0	1	x0	n x0

0	x1	1	x1	n x1	0.

0 xn		1 xn		n xn

Для выбора функций k при построении интерполянты чаще всего используются следующие системы функций:

1)1, x, x2, ..., xn – система степенных функций;

2)cos kx, sin kx , k 0, , n – система тригонометрических функций;


	0		x		2		x2	...		s	xs
3)	0	1			2					s		– система дробно-рациональных
3)	0		x	2		x2 ...			p	x p		– система дробно-рациональных
	0	1		2					p

функций.

В первом случае мы имеем дело с полиномиальной интерполяцией, во втором– стригонометрическойинтерполяциейи, наконец, втретьем–полу- чаемдробно-рациональнуюинтерполяцию. Кромеперечисленныхспособов часто используется так называемая сплайн-интерполяция.

Полиномиальная интерполяция

В этом случае приближение таблично заданной функции осуществляется спомощьюсистемыстепенныхфункций, т.е. интерполянтаf(x) определяется в виде:

f (x) C0 C1 x C2 x2 ... Cn xn Pn (x) ,

где Pn (x) – полином степени n.

Задача состоит в поиске коэффициентов C0 ,C1,...,Cn , удовлетворяющих системе уравнений yi Pn xi , i 1, ,n.

Имеет место следующая теорема (теорема Вейерштрасса).

Для любого как угодно малого числа существует такой полином

степени n n , что max P(x) (x) , где (x) – точное выражение

x a,b

искомой функции.

243

Продолжение прил. 2

Рассмотрим интерполяционный полином Pn (x) Ck xk , такой, что

k 0

Pn (xi ) yi , то есть

;

C1 x0 C2 x0

Cn x0

x 2

...

x n

y ;

....................................................

C2 xn C2 xn

Cn xn

yn.

Здесь неизвестными являются C0 , C1, ..., Cn. Определитель матрицы коэффициентов

	x	x2		xn
1	x	x2		xn
	0	0		0
1	x	x2		xn
	1	1		1

1	x	x2	xn
	n	n		n

называется определителем Вандермонда.

Существует строгое математическое доказательство, что такой определительприлюбыхзначенияххi (таких, чтохi хj длявсехi j) необращается в нуль. Следовательно, система линейных алгебраических уравнений для определениякоэффициентов Ci всегдаимеетединственное решение. Таким

образом, интерполяционный полином для интерполяции табличной функции, значения которой известны в n 1 точках, всегда существует,

единственен и имеет степень, равную n .

Интерполяционный полином Лагранжа

В качествебазисныхиспользуютсяполиномы степени n, удовлетворяющие следующему условию:

		1,		если x x ;
		lkn (x)	0,	k
			0,	если x x .
				k
Такому условию удовлетворяют полиномы вида:
n		(x x0 ) (x x1) ... (x xk 1) (x xk 1) ... (x xn )
lk	(x)
lk	(x)	(xk x0 ) (xk x1) ... (xk xk 1) (xk xk 1) ... (xk xn )
		(xk x0 ) (xk x1) ... (xk xk 1) (xk xk 1) ... (xk xn )

d0 d1 x d2 x2 ... dn xn.

244

Окончание прил. 2 Тогдавкачествеинтерполяционногополиномаможновзятьсуммувида

Ln (x) yk lkn (x) . В таком случае

k 0

Ln (xi ) yk lkn (xi ) yi

итогда значения функции Ln (x) в узлах интерполяции xi совпадают с

заданными значениями yi . Полином

Ln (x) yk

k 0

n (x xi ) i 0 (xk xi ) i k

называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

Если известно, что интерполируемая функция (x) имеет непрерывные частные производные до n 1 -го порядка включительно, то разность между точным значением функции и её полиномиальным приближением

(x) Ln (x) в любой точке х из интервала						интерполирования			x a,b
				f	(n 1)		( )	n	a,b .
можно оценить по формуле (x) Ln (x)				f			( )	(x x j ) , где
можно оценить по формуле (x) Ln (x)				(n 1)!				(x x j ) , где
				(n 1)!				j 0
Из этой формулы вытекает, что			f (n 1)	(x)
			f (n 1)	(x)		n
	(x) Ln (x)	max				(x x j ) .

			(n 1)!
		x [a,b]	(n 1)!			j 0

Подробнее о построении интерполяционных полиномов Лагранжа при делении участка на два, три, четыре и шесть частей см. в книге [16].

245

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................................................	3
Часть I. РАСЧЁТ ПЛАСТИН..........................................................................	5
1. НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН......	5
1.1. Основные предпосылки теории расчёта тонких пластин..................	5
1.2. Распределение напряжений и моментов при изгибе пластин...........	7
1.3. Вывод дифференциального уравнения изгиба пластинки...............	10
1.4. Процедура анализа НДС пластин. Аналогии с решением
плоской задачи теории упругости.......................................................	11
1.5. Формулировка граничных условий пластинки.................................	12
1.6. Принцип возможных перемещений...................................................	15
1.7. Методы интегрирования уравнения изгиба прямоугольных
пластин...................................................................................................	17
2. РАСЧЁТ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН .................................................................	21
2.1. Вывод уравнения изгиба круглой пластины.....................................	21
2.2. Интегрирование уравнения изгиба круглых пластин ......................	23
2.3. Определение изгибающих моментов и поперечных сил
круглых пластин ...................................................................................	23
2.4. Граничные условия для круглых пластин.........................................	25
2.5. Прогибы кольцевых пластин..............................................................	25
3. ВАРИАЦИОННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА
ПЛАСТИНОК..............................................................................................	27
3.1. Классификация численных методов расчёта пластин......................	27
3.2. Метод конечных разностей, или метод сеток...................................	28
3.3. Вариационный метод Бубнова – Галёркина......................................	33
3.4. Приложение вариационного метода Ритца – Тимошенко
к расчёту прямоугольных пластин......................................................	36
4. РАСЧЁТ ПЛАСТИНОК МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ........	39
4.1. Идея метода конечных элементов для расчёта пластин ..................	39
4.2. Типы конечных элементов..................................................................	41
4.3. Ячейки жёсткости плоских элементов...............................................	42
4.5. Формирование вектора нагрузки элемента Морли ..........................	73
4.6. Алгоритм программы расчёта пластин методом конечных
элементов...............................................................................................	77
Часть II. РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК ...................................................................	79
5. ОБОЛОЧКИ. ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК.79
5.1. Основные понятия теории оболочек. Виды оболочек......................	79
5.2. Формы описания поверхностей оболочек.........................................	81

246

5.3. Геометрические характеристики срединной поверхности.
Условия Кодацци – Гаусса...................................................................	83
5.4. Параметры Ламэ для поверхности оболочки вращения ..................	88
5.5. Основные гипотезы технической теории расчёта оболочек............	90
5.6. Определение перемещений оболочек................................................	92
5.7. Деформации оболочек.........................................................................	95
5.8. Правила дифференцирования единичных ортов............................	103
6. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК...............................................	108
6.1. Характеристики напряжённого состояния оболочки.....................	108
6.2. Уравнения равновесия оболочек......................................................	111
6.3. Физические уравнения общей теории оболочек.............................	116
6.4. Граничные условия............................................................................	116
6.5. Методы решения задач по расчёту оболочек..................................	117
7. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЁТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ....	121
7.1. Условия безмоментного состояния оболочек.................................	121
7.2. Общие уравнения безмоментной теории оболочек вращения......	122
7.3. Уравнения напряжённо-деформированного состояния
безмоментных оболочек вращения...................................................	123
7.4. Осесимметричные оболочки вращения...........................................	125
7.5. Примеры расчёта оболочек по безмоментной теории....................	129
8. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ....................................	135
8.1. Уравнения напряжённо-деформированного состояния
цилиндрических оболочек.................................................................	135
8.2. Осесимметричное нагружение оболочки ........................................	139

8.3.Напряженно-деформированное состояние вертикальной цилиндрической оболочки при гидростатическом нагружении...140

8.4.Анализ напряжений в оболочке при гидростатическом

нагружении..........................................................................................	144
8.5. Примеры расчёта цилиндрических оболочек..................................	145
9. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК................................................................................................	158
9.1. Матричная форма дифференциального уравнения оболочки.......	159
9.2. Пример расчёта...................................................................................	162
10. ПОЛУМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЁТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК В.З. ВЛАСОВА ...................................................................	165
10.1. Уравнения состояния цилиндрической оболочки
по полумоментной теории. Принятые гипотезы расчёта...............	165
10.2. Разрешающее уравнение полумоментной теории
цилиндрической оболочки. Функция напряжений .........................	167
10.3. Интегрирование основного уравнения полумоментной теории
цилиндрической оболочки.................................................................	169

247

10.4. Приближённые методы анализа напряжённого состояния
цилиндрической оболочки.................................................................	171
11. ОБЩАЯ (МОМЕНТНАЯ) ТЕОРИЯ РАСЧЁТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК................................................................................................	172
11.1. Уравнения состояния цилиндрической оболочки........................	172
11.2. Упрощённая форма разрешающего уравнения.............................	176
11.3. Расчёт коротких цилиндрических оболочек покрытий ...............	178
11.4. Граничные условия для расчёта коротких оболочек
на вертикальные нагрузки .................................................................	180
12. РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.......	185
12.1. Применение МКЭ в теории расчёта оболочек..............................	185
12.2. Свойства конечных элементов оболочек.......................................	186
12.3. Типы конечных элементов цилиндрических оболочек................	188
12.4. Формирование ячеек жёсткости конечных элементов
цилиндрических оболочек.................................................................	190
13. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И СОПРОТИВЛЕНИЕ ОБОЛОЧЕК197
13.1. Модели деформирования оболочек................................................	197
13.2. Условия пластичности стержней....................................................	200
13.3. Ассоциированный закон течения и его геометрическое
представление .....................................................................................	204
13.4. Теоремы теории предельного равновесия.....................................	206
13.5. Уравнения состояния сферических оболочек...............................	210
13.6. Условия пластичности оболочек.
Гиперповерхности текучести............................................................	213
13.7. Статический метод определения предельного давления
на сферическую оболочку..................................................................	216
13.8. Кинематический метод определения предельного давления
на сферическую оболочку c использованием линейного
программирования..............................................................................	218
13.9. Динамика сферических оболочек с учётом пластичности
материала.............................................................................................	222
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................................	230
Приложение 1 ............................................................................................	232
Приложение 2 ............................................................................................	242

248

Для заметок

249

Для заметок

250

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2625 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.06.20248.49 Mб02403.pdf
#
17.06.20248.49 Mб02404.pdf
#
17.06.20248.49 Mб02405.pdf
#
22.06.20248.53 Mб02406.pdf
#
22.06.20248.55 Mб02407.pdf
#
22.06.20248.55 Mб22408.pdf
#
22.06.20248.55 Mб02409.pdf
#
17.06.2024244.74 Кб0241.pdf
#
22.06.20248.57 Mб02410.pdf
#
22.06.20248.57 Mб32411.pdf
#
22.06.20248.58 Mб22412.pdf