2408

Функция цели

D D da 2 D D R2 sin d

находится с учётом осевой симметрии, при этом вычисление интеграла по площади А заменяется интегрированием по образующей L.

Граничные условия оболочки на защемлённом контуре очевидны:

Рис. 13.19

При формировании системы равенств (13.12), неравенств (13.20,б) и функции цели в дискретной форме, которые составляют матрицу метода линейного программирования, срединная поверхность оболочки

разбивается сеткой на малые площадки a R h, где h R - шаг

сетки по меридиану (рис. 13.19,б). Скорости деформаций слоёв оболочки (13.13) определяют в узловых точках сетки разбиения с помощью конечных разностей и выражают через скорости перемещений (13.12). Замена

производных скоростей перемещений u и выполняется левыми и пра-

выми конечными разностями, а производных прогиба w – центральными.

Численные расчёты производились с использованием программы симплекс-метода для трёх оболочек различных размеров. Результаты расчётов приводятся в табл. 13.1.

Достоверность результатов теоретических исследований подтверждена сериейэкспериментов, проведённыхвРадиотехническомНИИв1977-78 гг.

221

Базловым В.П. Как в экспериментах, так и в расчётах выяснилось, что пластическая зона локализуется вблизи места примыкания шайбы к оболочке (рис. 13.20). При этом размеры экспериментально обнаруженной зоны пластических деформаций отличались от расчётных всего лишь на 1-2 мм. Распределение перемещений в этом месте показано штриховкой.

Таблица1 3 .1

Рис. 13.20

13.9. Динамика сферических оболочек

сучётом пластичности материала

Взаключение приводятся результаты исследования предельного сопротивления сферической оболочки, нагруженной равномерным давлением р

высокой интенсивности в течение короткого интервала времени t1

(рис. 13.21) [8].

Рис. 13.21

222

Постоянное внешнее давление р, действующее по нормали к поверхности оболочки, прикладывается в момент времени t=0 и при t=t1 сни-

мается. Напряженное состояние в оболочке соответствует определенным участкам поверхности текучести, показанной на рис. 13.16. Деформации определяются на основе ассоциированного закона течения.

Уравнения движения сферической оболочки, нагруженной нормальным давлением р, имеют вид [8]:

В отличие от условий равновесия (13.11), в уравнениях движения имеются слагаемые , w, характеризующие силы инерции оболочки в

касательной плоскости. Кроме того, добавлен новый параметр R2 ,

N0t12

носящий комбинированный смысл. Он содержит как физико-механические характеристики оболочки: – плотность материала, t1 – длительность действия нагрузки, N0 – предельное значение усилия на единицу длины

элемента в сечении срединной поверхности, так и геометрические размеры оболочки , R .

Деформации оболочки определяются по формулам [8]:

Нагрузка р, прикладываемая к оболочке, должна несколько превышать разрушающую (статическую), иначе движение не возникает вовсе, поскольку в исследовании принята модель жёсткопластического деформирования материала оболочки. Для значений р, немного больших, чем разрушающее давление р0, следует ожидать, что напряженное состояние оболочки будет соответствовать тем же участкам поверхности текучести, что и при статическом решении задачи. Следовательно, в центральной зоне оболочки(при s ) распределениеусилийимоментовсоответствуетреб-

ру линеаризованной поверхности текучести (описанной около точной) [8]: n1 1, m1 1;

223

в пограничной зоне

n1 1, m2 m1 1.

Следует различать две фазы движения оболочки: фазу нагружения (интервал времени 0 1 ) и фазу разгрузки (интервал 0 2 ).

Фаза 0 1 . В соответствии с ассоциированным законом течения и

формулами скоростей деформации и изменения кривизн (13.22) в статике нетрудно получить выражение прогиба w и меридионального смещения по зонам, которые можно принять в качестве кинематически возможных при “среднем” уровне динамической нагрузки:

 в диапазоне углов 0 s

где w0 ( ) – функция прогиба центра оболочки; s , k – значения углов,

соответствующие границе зон и опорному контуру оболочки. Выражения для перемещений удовлетворяют краевому условию

w( k , ) 0, ( ) ( k , ) 0,

условию совместности деформаций на границе зон, а также начальным условиям

w( ,0) w( ,0) ( ,0) ( ,0) 0, 0 k ,

если считать w0 (0) w0 (0) 0 . Принимая во внимание (13.7), из уравнений движения (13.21) можно найти усилия n2 , m1 в зоне 0 s

224

Здесь F( s ) – выражение, содержащееся в фигурных скобках (13.25)

при значении s ; g( s ) – значение функции g( ) при s ; p0 – предельная нагрузка в данной оболочке (в дальнейших расчетах принимается

минимум “верхней границы” по [8]). Вследствие непрерывности усилий m1 и n2 на границе зон, из уравнений (13.21) с учетом (13.25) нетрудно найти их распределение в приопорной зоне:

225

где S2 ( s ) –- обозначение одноименного ряда при ( s ).

Граница зон различных напряженных состояний в оболочке определяется уравнением

полученным из (13.28) с учетом (13.27) и условия m1 1 на контуре. Фаза 1 2 . В этой фазе нагрузка снимается.

Вследствие пластического рассеивания энергии движение становится затухающим. При этом форма движения оболочки сохраняется непрерывной. Следовательно, в зоне 0 s поле скоростей по-прежнему имеет

вид (13.22), однако граница зон s движется; теперь она является функцией

времени.

Находя компоненты ускорения и принимая во внимание p 0, из

уравнений движения (13.21) с учетом граничных условий в вершине оболочки получаем:

226

Аналогично находят распределение усилий и в приопорной зоне

s k