2408

III. Шесть уравнений, образующих группу физических уравнений (см.

формулы (6.10)):

связывающих внутренние усилия и деформации.

Очевидно, при решении задач пластичности оболочек последняя группа уравнений не используется вовсе. В силу вступают соотношения теории пластичности.

Исследование несущей способности сферической оболочки*, нагруженной равномерным давлением, осуществляется на основе условий равновесия сферических оболочек (рис. 13.14):

направлении Q1 Q ; m1 m , m2 m – меридиональный и окружной изгибающие моменты, отнесенные к предельному значению момента M0 0 2; w и – нормальные и меридиональный компоненты смещения

* Выбор сферической оболочки в качестве объекта приложения методов теории пластичности обусловлен пристрастием автора.

211

срединной поверхности оболочки, отнесенные к радиусу оболочки R;

p PR – параметр внешнего давления (рис. 13.14).

N0

Рис. 13.14

Кроме того, справедливы также зависимости между деформациями и перемещениями срединной поверхности, которые для сферической оболочки принимают вид [1]:

Очевидно, как при определении предельных нагрузок оболочек, так и при изложении в дальнейшем динамики оболочек с учётом пластических свойств место физических соотношений (6.10) будут занимать условия пластичности оболочек и ассоциированный закон течения.

212

13.6. Условия пластичности оболочек. Гиперповерхности текучести

Условия пластичности оболочек g ij , т.н. конечные соотношения

междуобобщённымиусилиями, прикоторыхвозникаетпластичностьвоболочках, впервые получены советским учёным Ильюшиным А.А. на основе условия текучести Мизеса – Губера для плоского напряжённого состояния в 1946 г. [8]. В пятидесятых годах прошлого века за рубежом проблемой формирования условий пластичности активно занимались Онат Е., Прагер В., Ходж Ф. Г. (США) и др. Воспользовавшись условием текучести Треска – Сен-Венана и применив теорию пластического течения, вначале они вывели ряд соотношений между обобщёнными характеристиками напряжённогосостоянияцилиндрическойоболочки, прикоторыхвозникает текучесть материала в наиболее напряжённых зонах оболочки. Геометрически указанные зависимости моут быть представлены т. н. поверхностями текучести. При этом вследствие нелинейности условий текучести поверхности имеют сложное очертание. Из-за этого возникают трудности при формулировке ассоциированного закона течения. В дальнейшем Друккер Д.К. [3], ЕрховМ.И. [5], ХоджФ.Г. предложилиаппроксимировать поверхности текучести гиперплоскостями, что равносильно линеаризации нелинейных условий. При этом была дана оценка степени приближённости гиперповерхностей (см. подразд. 13.6).

Линеаризация условий текучести осуществляется путём перехода к расчёту двухслойныхоболочек. Слоиоболочекобладают бесконечномалой толщиной и располагаются на равном удалении от срединной поверхности Такое сечение принято называть идеальным. Для каждого слоя значения интенсивности скорости деформаций принимают равными:

– интенсивность скорости деформаций плиты оболочки, а

Ie 112 222 11 22 122 ,

Ie 112 222 11 22 122 ,

I 11 11 22 22 0,5 11 22 0,5 22 11 122 12

213

– квадратичные формы деформаций [5]. Следовательно, действительное нелинейное (по гиперболе) распределение интенсивности скорости

деформаций ei по толщине оболочки согласно (13.13) заменяется на кусочно-линейное, постоянное в пределах толщины каждой половины

Рис. 13.15

Вследствие этого компоненты девиатора напряжений в тех же пределах будут постоянными:

Т.к. компоненты девиатора напряжений можно выразить непосредственно через напряжения:

то в результате несложных преобразований напряжения в каждом слое оказывается возможным представить как функции параметров обобщённых усилий оболочки:

214

Для вывода условий текучести оболочек следует воспользоваться любым из известных в теории пластичности условием текучести, справедливым для плоского напряжённого состояния. В частности, условие пластичности Треска – Сен-Венана, графически изображаемое в форме шестиугольника в плоскости главных напряжений (рис. 13.12), с помощью определений усилий по (13.15) принимают вид:

Полученные неравенства в абстрактном пространстве четырёх измерений графически являют собой совокупность плоскостей, ограничивающих область пространства, внутренние точки которой характеризуют упругое

состояние оболочки. Указанные плоскости в рассматриваемом пространстве образуют гиперповерхность текучести оболочки (рис. 13.16).

Рис. 13.16

215

В том случае, когда напряжения в оболочке в каком-либо месте достигают предела текучести, одно из указанных неравенств переходит в равенство. Его часто называют уравнением текучести. В совокупности с ассоциированным законом течения уравнение текучести является важнейшей характеристикой пластической фазы деформирования оболочек.

13.7. Статический метод определения предельного давления на сферическую оболочку

На примере расчёта сферической шарнирно опёртой оболочки по несущей способности на действие нагрузки, вызываемой равномерно распределённым давлением p, излагаются основные операции формирования разрешающих уравнений рассматриваемого метода. В соответствии с статическим методом ТПР решение поставленной задачи заключается в определении верхней границы несущей способности, которая находится из условий равновесия оболочки (13.11).

Предполагая, что в пластическом состоянии при действии давления р профиль напряжений достигает граней гиперповерхности текучести [8]

из уравнений равновесия можно определить усилия:

216

Очевидно, по этим формулам находят нижнюю границу предельной нагрузки.

Верхняя граница может быть определена при использовании поверхности текучести (13.17). Соответствующий параметр предельной нагрузки равен:

Теперь следует установить кинематически возможные перемещения оболочки, отвечающие ребру гиперповерхности текучести (13.17). Из ассоциированного закона течения вытекает, что деформации оболочки в состоянии пластичности равны:

соответствующее граничным условиям в вершине и на контуре оболочки:

217

Следовательно, величины, определяемые по формулам (13.18) и (13.19), характеризуют границы диапазона значений предельного давления на сферическую оболочку с шарнирным опиранием по контуру (рис. 13.17).

Рис. 13.17

13.8. Кинематический метод определения предельного давления на сферическую оболочку c использованием линейного программирования

Наряду со статическим методом определения предельных нагрузок оболочек, на практике применяется и кинематический метод c использованием стандартных программ линейного программирования.

Указанным методом были определены предельные нагрузки плотины «Ингури ГЭС» [8], пересечения цилиндрических оболочек [13], конических и сферических оболочек. Ниже приводится пример расчёта несущей способности усечённой сферической оболочки на действие нагрузки, вызываемой давлением жёсткого штампа (рис. 13.18,а) [2]. В данном случае оболочка оказывается под воздействием кольцевой равномерно распределённой силы p , параметр которой характеризует предельную величину

Рис. 13.18

218

В соответствии с кинематическим методом решение поставленной задачи заключается в определении параметра предельного давления ,

исходя из условия достижения минимума внутренней энергии рассеяния (диссипации) оболочки, равной

D *ij *ij dV , V

где *ij , *ij – кинематически допустимые скорости деформаций и

соответствующие им напряжения (см. подразд. 13.5). В дальнейшем звёздочки в обозначени скорости деформаций опущены. При этом мощность внешнего воздействия (давления Р) при скорости перемещения

Указанныйинтегралдлясферическойоболочкивпредельномсостоянии может быть представлен как сумма мощностей

D Мi i N e N e N e М М М ,

отнесённых к единице площади срединной поверхности, поскольку интегрирование по объёму при постоянной толщине оболочки сводится к вычислению интеграла по площади. Здесь Ni , Мi – обобщённые усилия

(результирующие силы и моменты), возникающие в сечениях оболочки в

меридиональном и широтном направлениях; ei , i – соответствующие им

скорости изменения деформаций срединной поверхности. Поскольку гиперповерхность текучести выпукла и векторы скоростей деформаций, которыенаходятсясогласноассоциированномузаконутечения, направлены по внешним нормалям на любом её участке, то величина диссипации D будет превышать значение мощности, накапливаемой оболочкой усилиями

Мi* , не связанными с ассоциированным законом. Вследствие этого от равенства можно перейти к системе неравенств:

Здесь N i , М i и др. – обобщённые усилия в i-х точках кусочно-ли-

нейной гиперповерхности текучести.

Для реализации численного решения рассмативаемой задачи целесообразно воспользоваться двухслойной моделью оболочки. Аналогичная модель широко используется и при анализе предельного состояния стержневых систем [10]. Как известно, величины скоростей деформаций слоёв оболочки, отстоящих на срединной поверхности на расстоянии 2

, находятся по формулам:

219

Последние связаны со скоростями перемещений сферической оболочки геометрическими соотношениями (13.12).

Диссипация энергии пластического деформирования оболочки складывается из диссипаций её слоёв

D D D ,

где

Как отмечено ранее, поверхность текучести Треска – Сен-Венана в случае плоского напряжённого состояния принимается линеаризованной. Поэтому энергия диссипации отдельного слоя оболочки должна удовлетворять системе неравенств:

вытекающей из общего неравенства (13.20,а).

220