2408

По данным значениям легко определить величины (11.15):

Частное решение, соответствующее указанному характеру нагружения, можно принять в форме:

В таком случае функцию fk , удовлетворяющую условиям симмет-

рии относительно меридиональной плоскости 0 , следует взять в следующем виде:

соответственно, то связь между ними можно представить в матричном виде

– матрицаповоротавектораперемещений, 0 – половинацентральногоугла оболочки [12] (рис. 11.2,а).

Аналогичная зависимость между компонентами реакции (V , H )T на

181

где S dMdx12 Q2 – нормальная составляющая напряжений в оболочке. На

основеприведенныхматричныхсоотношенийможноустановитьграничные условия, необходимые при интегрировании разрешающего уравнения

Рис. 11.2

В многоволновой оболочке с бортовыми элементами по II расчётной схеме (рис. 11.1), т.е. в случае наличия бортового элемента между оболочками в виде балки прямоугольного сечения с площадью A0 , высотой

и жёсткостью EI , прогибы элемента можно найти из уравнения изгиба в вертикальной плоскости

гдеG – погонныйвесбалки; T – сдвигающееусилиевоболочкенаеёкромке, направленное вдоль оси балки. Последнее слагаемое в уравнении (11.24) отражаетразностьуровнейбоковойгранисрединнойповерхностиоболочки на контуре и оси балки.

Очевидно, на стыке оболочек вертикальная составляющая реакциии вес элемента должны быть уравновешены G 2V . Отсюда следует, что согласно (11.20) вес балки можно разложить в ряд

182

Кроме того, необходимо принять во внимание и зависимость между деформациями оболочки и балки в уровне верха последней

Вследствие симметрии конструкции в месте сопряжения оболочек горизонтальные перемещения балки, которые в общем случае находятся по формуле (11.22)

y cos 0 wsin 0 ,

отсутствуют. Следовательно, перемещенияоболочкивэтомместевнаправлении касательной связаны с её прогибами

wtg 0 .

Одновременно с этим угол поворота кромки оболочки при 0 ,

определяемый выражением (11.1), также равен нулю. Поэтому справедливо ещё и соотношение вида

wx .

Составив граничныеусловия, переходятк определению коэффициентов A1k ,..., A4k функции (11.21). Функция напряжений F находится из решения

системы уравнений (11.24) и (11.26). Зная её, по формулам (11.18) определяют перемещения оболочки, а по формулам (11.12) – внутренние усилия.

В частности, для оболочки с пролётом 11,8 м и радиусом срединной

на эпюрах (рис. 11.3). Погонный вес балки составляет G 6,5 кН/м. Если

при расчёте цилиндрической оболочки ограничится безмоментной (мембранной) теорией, то соответствующие усилия оказываются значительно меньшими (см. пунктирные линии на эпюрах).

183

12. РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Изложение метода конечных элементов для расчёта оболочек, в рамках принятого в данном курсе лекций объёма материала, ограничено рассмотрением МКЭ для цилиндрической оболочки. Особенности применения МКЭ в теории расчёта оболочек иной формы можно найти в книге Зенкевича[21], атакжевописаниияхразличныхпрограммныхкомплексов(Лира,

SCAD и др.).

12.1. Применение МКЭ в теории расчёта оболочек

Тонкостенныеоболочкиотносятсяктемобъектам, накоторыевпервую очередь ориентирован метод конечных элементов. Объясняется это сложной структурой систем дифференциальных уравнений, описывающих напряжённо-деформированное состояние оболочек, и, как следствие, отсутствием общего метода интегрирования таких систем (см. разд. 6).

При расчёте по МКЭ гладкая поверхность оболочек подвергается дискретизации. Она может быть осуществлена различными способами. Наиболее естественной для цилиндрической оболочки является рехтэкизацияповерхности, т.е. разбиениееёнапрямоугольныевпланеконечныеэлементы – цилиндрические панели (рис. 12.1,а). Дискретизацию оболочки можно произвести и путём триангулизации, раделив поверхность на мелкие треугольные КЭ. Очевидно, для оболочек сложной формы триангулизация предпочтительна (рис. 12.1,б). Конечно, указанные приёмы дискретизации оболочек могут быть использованы одновременно, к примеру, при дискретизации оболочки, служащей деталью кузова автомобиля (рис. 12.1,в).

а б

в

Рис. 12.1

185

и кубичный – для прогибов

Согласно определениям деформаций кругового бруса [10] с учётом принятого изменения перемещений легко найти удлинение и кривизну оси:

Данные выражения удовлетворяют решению рассматриваемой задачи:

0 и EIM const

при 2 R, 3 R , 1 4 5 6 0 . Это означает, что аппроксимации (12.1) точно описывают чистый изгиб бруса.

Если же перемещения элемента как твёрдого тела задать в явной форме

[10]:

то на основе данных разложений перемещений в ряды для коэффициентов аппроксимаций (12.2) можно установить, что

В таком случае осевые и изгибные деформации элемента, равные:

отличны от нуля, в то время как выражения перемещений (12.1) позволяют получить точно нуль.

Спомощью соотношений (12.4) легко оценитьвлияниепологости бруса на точность описания жёстких перемещений. Очевидно, увеличение R,

равносильное увеличению пологости, приводит к уменьшению величин 0 ,0 . При сохранении одной и той же точности представления жёстких

187

смещений оно может быть обеспечено увеличением длины у элемента. Следовательно, приемлемой точности для непологих стержней, в том числе арок, можно добиться путём уменьшения шага сетки разбиения. Аналогичная ситуация встречается и при описании перемещений в оболочках.

Для выхода из создавшегося положения было предложено два способа. В одном случае попробовали увеличивать степень полиномов, а в другом - рекомендовалось добавлять к перемещениям жёсткие смещения в явном виде. Например, если воспользоваться кубическими полиномами для перемещений

1 2 y 3 y2 4 y3 ,

w 5 6 y 7 y2 8 y3 ,

то деформации при такой аппроксимации перемещений стержня оказываются намного ближе к истинным:

Таким образом, увеличение степени полиномов даёт возможность точнее представить аппроксимации (сравните с (12.4)). Но, с другой стороны, повышение степени полиномов увеличивает число степеней свободыконечногоэлемента, следствиемчегоявляетсяповышениепорядка ячейки жёсткости элемента. Однако этот подход принципиально не может использоваться для оболочек. Объясняется это тем, что в оболочках какую бы большую степень полинома ни взять, нулевую энергию при жёстких смещениях получить не удастся, т. к. последние изначально не могут быть представлены в полиномиальном виде. Добиться точного нуля можно либо добавлениемявноговыраженияжёсткихсмещенийпоаналогиисфомулами (12.3), либо непосредственно коррекцией самой ячейки жёсткости.

12.3. Типы конечных элементов цилиндрических оболочек

Поскольку срединная поверхность оболочки является изогнутой, то естественно дискретизацию оболочки следовало бы производить с помощью криволинейных конечных элементов (рис. 12.3).

Однако на начальном этапе разработки метода конечных элементов применительно к расчёту оболочек использовались плоские конечные элементы, точнее, их комбинация*. Например, в одной из первых работ Зенкевича [3] по оболочкам срединная поверхность оболочки аппроксимировалась системой плоских конечных элементов треугoльной формы

(рис. 12.4,а).

* На рис. 12.4 вблизи одной из вершин элемента показаны узловые переменные, принятые для описания деформированного состояния. Востальныхвершинахониимеют теже наименования, но другие номера.

188

Рис. 12.3

а

б

Рис. 12. 4

При применении плоских конечных элементов из прямоугольников (рис. 12.4,б), как и из треугольников, неизбежна неточность в расчёте из-за различия в гeoметрии действительной оболочки и КЭ-модели. Она, как оказалось, можетиметьтакоежеилибольшеевлияниенарезультатрасчета, как и ошибка в аппроксимации полей перемещений.

Очевидно, элементы треугoльной формы подходят в большей степени, поскольку они лучше аппроксимируют произвольную кривую поверхность (см. рис. 12.1,б). Применение треугoльногo элемента по сравнению с прямоугольным снижает «воздействие» гeoметрической ошибки.

Матрица жёсткости плоского элемента в этом случае формируется путём суперпозиции матриц изгиба и плоского напряжённого состояния пластинки. Вкачествеузловыхперемещенийпринималиперемещения u,

189

В дальнейшем пришли к выводу, что расчёт цилиндрических оболочек целесообразно выполнять всё же с помощью КЭ-модели, составленной на основе конечных элементов прямоугольного плана с цилиндрической поверхностью (рис. 12.3,б) [5].

12.4. Формирование ячеек жёсткости конечных элементов цилиндрических оболочек

Ниже приводится описание наиболее распространённого конечного элемента цилиндрической формы, обладающего хорошей сходимостью и чаще всего используемого в расчётах оболочек. Кроме того, дана краткая характеристикаещёдвухтиповэлементов, обеспечивающихболеевысокую точность вычислений.

1. КЭ цилиндрической оболочки, заданный деформациями

Поскольку цилиндрический конечный элемент обладает кривизной поверхности, то задавать или определять возможное поле перемещений следует с учётом сохранения условий совместности деформаций оболочки (см. разд. 5). Условия совместности деформаций для цилиндрической оболочки можно получить из общих уравнений состояния оболочек (5.44) в результате несложных преобразований, полагая в них параметры Ламэ

190