2408

На его основе с помощью формул (10.7) усилия в оболочке можно выразить через функции, которые входят в (10.12). Кроме того, перемещения также могут быть выражены через них. Это позволит без затруднений составить краевые условия и на их основе найти постоянные интегрирования.

З а м е ч а н и я :

1. Корни характеристического уравнения могут быть записаны в общем виде

Анализ величин, входящих в данное выражение, для оболочек средней длины указывает на то, что слагаемые практически не оказывают влияния на величину корней и потому могут быть опущены. Следовательно, корни можно вычислять по формуле

т.е. все корни зависят лишь от одного параметра оболочки b m .

2. Обоснование выражений для усилий согласно (10.7) будет дано в следующем разделе, в котором рассматривается общая (моментная) теория расчёта цилиндрических оболочек.

10.4. Приближённые методы анализа напряжённого состояния цилиндрической оболочки

Очевидно, выполнение расчётов цилиндрических оболочек путём интегрирования уравнений встречает затруднения. Поэтому рядом учёных были предложены другие подходы. В частности, Власов В.З. развил теорию «заменяющей складки», когда анализ оболочки сводится к расчёту складчатой системы. При этом применяются классические методы строительной механики – метод сил или метод перемещений. Обширные исследования состояния цилиндрических оболочек проведены в работах отечественных учёных: Пастернак П.Л. [19] воспользовался методом сил, Милейковский И.Е. [11] – методом перемещений. Другое направление исследований в работах Лауля Х.Х., Канна С.Н. основано на «балочной» теории [19].

171

11. ОБЩАЯ (МОМЕНТНАЯ) ТЕОРИЯ РАСЧЁТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

11.1. Уравнения состояния цилиндрической оболочки

Напряжённо-деформированное состояние коротких цилиндрических оболочек характеризуется взаимовлиянием всех внутренних усилий, возникающих при действии произвольных нагрузок. В общем случае состояние оболочки, как известно, описывается тремя группами уравнений: уравнениями равновесия (10.1), геометрическими зависимостями, взятыми для цилиндрических оболочек без каких-либо допущений, а именно:

Полная система данных уравнений может быть приведена к одному разрешающему уравнению в перемещениях. Последовательость сведения состоит в следующем. Сначала из условий равновесия выводятся поперечные силы; в результате из пяти условий остаются только три:

N1 T Rp1 0 ,

172

После подстановки сюда величин внутренних усилий согласно (8.4) и приведения подобных членов в каждом уравнении с использованием дифференциальных операторов вида:

цилиндрической оболочки в перемещениях принимает вид:

Матрица данной системы уравнений, как явствует из определений операторов (11.2), симметрична, что является следствием теоремы Бетти.

При постоянных ij i, j 1,2,3 , которые считаются коэффициентами

системы, её можно решить как обычную систему линейных алгебраических уравнений.

Для этого, во-первых, следует переписать систему (11.3) в стандартной форме:

11u 12 13w f1,21u 22 23w f2 ,31u 32 33w f3,

Здесь U u, , w T обозначаетвектор-столбецперемещенийпроизволь- ной точки оболочки, F f1, f2 , f3 T – вектор нагрузки,

173

11 12 13

21 22 2331 32 33

– матрица коэффициентов, состоящая из операторов ij i, j 1,2,3 (cм.

(11.2)).

Болееподробновыражение(11.4) записывается черезопределители, т.е.

L11 L21 L31

L12 L22 L32

U L13 L23 L33 F ,

где Lij i, j 1,2,3 – миноры определителя ; как известно, матрица,

составленная из этих миноров, называется союзной матрицей.

В развёрнутой форме частное решение системы уравнений (11.3) принимает вид:

u 1 L11 f1 L21 f2 L31 f3 ,

1 L12 f1 L22 f2 L32 f3 ,

w 1 L13 f1 L23 f2 L33 f3 .

Образуя новые функции уровня нагружения оболочки

перемещения можно записать более компактно, а именно:

174

L13 L23 L33

Раскрыв этот определитель по правилу Саррюса и приняв во внимание определение (*) и ему подобные, выводят разрешающее уравнение моментной теории оболочки, соответствующее частному решению

175

нетрудно установить на основе (11.5,б), полагая правую часть нулевой, т.е.

Приняв, в частности, функции

Для вывода разрешающего уравнения, соответствующего однородной системе

достаточно, как и в решении частной задачи, развернуть определитель и учесть выражение (*) и подобные ему. В итоге приходят к разрешающему уравнению общей (моментной) теории цилиндрической оболочки

11.2. Упрощённая форма разрешающего уравнения

Влияние вкладов ряда слагаемых, содержащихся в формулах миноров (*), на величину перемещений цилиндрических оболочек незначительно. Анализ решений многих задач показал, что слагаемыми, обладающими

176

На этомже основании разрешающее уравнение общей (моментной) теории расчёта цилиндрических оболочек приводится к более краткой форме

где неизвестной является функция уровня нагружения и деформаций .

Компоненты вектора перемещения произвольной точки оболочки могут быть выражены через данную функцию по формулам:

w 2 2 w0 .

Усилия в оболочке, удовлетворяющие условиям равновесия (8.2,б), также выражаются через функцию :

Q1 RD3 ,

Q2 RD3 .

Дифференциальное уравнение (11.10), представленное в форме

4 4 4 4 4 0 ,

где

177

эквивалентно системе четырёх уравнений второго порядка

Если каждую функцию нагружения k (k=1,2,3,4) выразить в виде произведения экспоненты на некоторую новую функцию напряжения

Fk (k=1,2,3,4):

то уравнение (11.10) распадается на группу четырёх независимых уравнений

Подобные по форме уравнения описывают колебания мембраны. Их интегралы хорошо изучены и потому могут быть использованы при выполнении расчётов цилиндрических оболочек на статические нагрузки.

11.3. Расчёт коротких цилиндрических оболочек покрытий

Основные типы конструктивных решений покрытий представлены на рис. 11.1. Первый из них характеризуется многоволновой оболочкой, опирающейся непосредственно на колонны (схема I). Во втором случае опирание происходит через бортовой элемент – балку (схема II). В последнем варианте рассматривается оболочка, плавно переходящая в бортовой элемент, в котором возможно появление кручения (схема III). Оболочка считается короткой, если отношение длины оболочки к радиусу цилиндра не превышает единицы, т.е. при LR 1.

Любая внешняя нагрузка на поверхности оболочки может быть представлена в виде рядов:

178

где m mR L . То же касается и частных решений основного уравнения:

Рис. 11.1

Пользуясь данными разложениями, на основе (11.12) легко определить усилия N1, M1 исихпомощьюубедитьсявсоблюденииграничныхусловий

для шарнирных краёв при x 0, x L .

Для вычисления перемещений при отсутствии внешнего воздействия qx qy qz 0 функцию напряжений следует принять в виде

Fk e2 sin Rk x .

Подставив её в дифференциальное уравнение (11.14), приходят к характеристическому уравнению относительно корней

179

Вводя новые параметры оболочки:

вещественные и мнимые части корней можно представить в следующем виде:

При известных корнях характеристического уравнения функция напряжений принимает вид

где

fk C1ke 1 C2ke 2 C8ke 8 ,

C1k , C2k , … – произвольные постоянные.

Вычисливпроизводныефункциинапряжений, входящиевформулыдля перемещений (11.11), и суммируя их с выражениями (11.16), несложно найти перемещения оболочки:

где штрих над функцией обозначает дифференцирование по дуге, т.е.

f .

11.4.Граничные условия для расчёта коротких оболочек на вертикальные нагрузки

Для примера далее рассматривается формулировка граничных условий для оболочки, проектируемой по второй расчётной схеме (рис. 11.1,б). Приводятся расчётные формулы для случая, когда на оболочку действует равномерно распределённая по поверхности вертикальная нагрузка p ,

проекции которой составляют:

180