2408

Значения углов наклона участков оболочки находят по формуле

М ,

где М – вектор моментов, определяемый по формуле (9.5); DD0 – диагональная матрица (внутренней) податливости, элементы которой равны:

Перемещения точек разбиения оболочки оказывается возможным выразить через матрицу влияния моментов в следующем виде:

X Т .

После подстановки формулы (9.6) в это выражение перемещения точек оболочки можно представить в виде

компактную форму

X r C Р 0 G X ,

161

Вектор продольных сил в точках разбиения оболочки на основе данных определений записывается в виде

N Ehr r G P N LN P ,

где

LN G

– матрица влияния продольных сил, N Ehr 0 r .

Вектор изгибающих моментов в расчётных сечениях оболочки согласно (9.5) с учётом определения перемещений по (9.7) равен:

где

LM F1 ( E 0 G )

– матрица влияния изгибающих моментов, M l2 2 . 18n

9.2. Пример расчёта

При дискретизации оболочки на десять равных частей матрица влияния моментов имеет вид

Интерполяционная матрица Лагранжа, составленная из трёх матриц, имеет тот же порядок, что и матрица влияния, т.е. одиннадцатый*

* Подробное изложение построения матриц Лагранжа см. прил. 2.

162

На основе формул, представленных в данном подразделе, нетрудно составить программу расчёта оболочки, в которой используются также диагональные матрицы приведенных толщин оболочки.

Рис. 9.3

163

10. ПОЛУМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЁТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК В.З. ВЛАСОВА

10.1. Уравнения состояния цилиндрической оболочки по полумоментной теории. Принятые гипотезы расчёта

В предыдущей лекции было отмечено, что длинные цилиндрические оболочки, закреплённые на продольных кромках, при неравномерной или несимметричной нагрузке работают в основном на изгиб в поперечном направлении (рис. 10.1,а). Это означает, что в таком случае в качестве расчётноймоделиоболочкиможнорассматриватьмножествоэлементарных полос в виде арок, соединённых между собой в продольном направлении связями-стерженьками, способными воспринимать только продольные и сдвигающие усилия данного направления (рис. 10.1,б). По этой причине изгибающие и крутящие моменты M1, Н , а следовательно, и поперечные

силы Q1 в условиях равновесия оболочек (8.2,а) следует положить равными

нулю. Это допущение подтверждается экспериментами, в которых отмечается незначительная роль указанных усилий в передаче внешней нагрузки на диафрагмы, устанавливаемые в торцах оболочки.

а

б

Рис. 10.1

165

С учётом этого условия при анализе равновесия цилиндрической оболочки по полумоментной теории следует решить систему следующих уравнений:

T , полученыизобщихусловийравновесияэлементаоболочки(6.2). Нарис. 10.2 элемент показан вместе с рассматриваемыми усилиями.

Рис. 10.2

Подобное напряжённое состояние возникает в цилиндрической оболочке открытого профиля при отношении 2 Вl 8, где В - ширина

оболочки (рис. 10,1,а). Оболочки с указанным соотношением размеров относятся к оболочкам средней длины.

Из общих геометрических зависимостей (см. подразд. 5.7) следует выделить формулы:

166

и использовать их в качестве определений основных деформаций полоски*. Осевые деформации полоски в окружном направлении и деформации

сдвига полагают отсутствующими, т.е.

В определениях деформаций по этим формулам, как и в условиях равновесия (10.1), введена безразмерная координата хR .

Физические соотношения могут быть получены по формулам (6.10) лекции № 6 в результате подстановки деформаций (10.3) и (10.4):

N1 Eh 1 ,

где величина «цилиндрической» жёсткости D Еh312 вычисляется при

0 (это значение коэффициента Пуассона обычно принимается при расчёте железобетонных оболочек).

10.2. Разрешающее уравнение полумоментной теории цилиндрической оболочки. Функция напряжений

Уравнения состояния цилиндрических оболочек можно привести к одному разрешающему уравнению, содержащему единственную неизвестную. Но сначала путём исключения из условий равновесия (10.1) усилий N2 , Q2 , T , а из (10.4,а) с помощью (10.4,б) – перемещений u, , w , при-

влекая к тому же определения усилий по (10.5), после небольших преобразований можно установить два уравнения:

* Формула для кривизны полоски, согласно (10.3,б), совпадает с формулой, определяющей кривизну арки [11].

167

Здесь – дифференциальный оператор (полумоментной теории) цилиндрической оболочки, структура которого имеет вид

под точкой после символа самого оператора и частной производной подразумевается одно из усилий – N1 или М2 .

Система однородных уравнений, полученных из (10.6) в результате приравнивания правой части первого уравнения системы нулю, при постоянной толщине оболочки может быть приведена к одному разрешающему уравнению путём введения функции усилий согласно следующим определениям усилий:

M2 2 2 ,

Q2 3 3 0 ,

где

– ещёодин, болеекороткий, дифференциальный оператор рассматриваемой оболочки.

Разрешающее уравнение имеет вид

Принимая во внимание краевые условия конкретной задачи, выраженные через функцию , можно найти непосредственно функцию усилий .

Вкачествечастногорешениявсегдаможновзятьусилиябезмоментного состояния: М2 Q2 0 *.

* U. Fisterwalder в 1932 году предложил известную конструкцию перекрытий системы «Zeiss – Dywidag», в основе которой лежит теория рассматриваемой оболочки без учёта кинематической предпосылки (10.4,а).

168

10.3. Интегрирование основного уравнения полумоментной теории цилиндрической оболочки

Интеграл дифференциального уравнения четвёртого порядка

12 4 0

h2 4

нетрудно установить, воспользовавшись решением известной задачи динамики стержня с непрерывным распределением массы. Как и там, неизвестную функцию необходимо представить в виде ряда, составленного из произведений двух функций, каждая из которых зависит только от какой-либо одной переменной рассматриваемой задачи, т.е. решение следует принять в виде**

k 1

При этом одну группу функций, например Yk , набирают среди балочных:

причём берут те из них, что отвечают конкретным условиям опирания торцовоболочки. Другаягруппафункцийотыскиваетсяизуравнения(10.8). В результате подстановки (10.9) в (10.8) составляют выражение

значениям по всей длине оболочки, можно воспользоваться вариационным методом Бубнова – Галёркина. Для этого необходимо умножить выражение

(10.11) на Yk x , а затем проинтегрировать его в пределах от нуля до xR lR .

Поскольку балочные функции обладают свойством ортогональности,

т.е.

** Решение дифференциального уравнения (10.8) в виде (10.9) предложено Канторовичем [9].

169

в результате интегрирования будет нулевой. Таким образом, каждое уравнение второй группы искомой функции должно удовлетворять полученному обыкновенному дифференциальному уравнению восьмого порядка.

Последовательность решения такого рода уравнений хорошо известна. Определив корни характеристического уравнения

8 2 6 4 4 0

а

или

4 2 1 2 а4 0 ,

каковыми в рассматриваемом случае являются величины

k c1е 1 c2е 2 c8е 8 .

Если рассматривать область оболочки вдоль образующей вблизи края с положительной координатой ( ), то в решении можно ограничиться четырьмя корнями с положительными вещественными частями:

Соответствующее решение имеет вид

k e 1 c1 cos 1 c2 sin 1 e 2 c3 cos 2 c4 sin 2 .

Т.к. слагаемые содержат произвольные постоянные, то ничего не

изменится, если первое из них умножить на e 1 0 , а второе – на e 2 0 . Воспользовавшись новой координатой для отсчёта углов, начинающихся от края 0 , в виде

0 ,

функцию k можно представить в более удобной форме

k e 1 c1 cos 1 d2 sin 1 e 2 c2 cos 2 d2 sin 2 .

В конечном счёте общее решение основного уравнения принимает вид

170