2408

2) и Q0 P2 , поскольку поперечная сила в сечении, очевидно, терпит

разрыв на величину Р (Q0 – погонная поперечная сила).

Положительные направления усилий M и Q сохраняются прежними

(рис. 8.11).

0

Q ,M0

Рис. 8.11

Воспользовавшись первым граничным условием, с помощью формулы

легко найти связь между моментами и поперечными силами, приложенными в сечении х=0

Q0 2kM 0 0.

С учётом второго граничного условия величина момента равна:

Выражение (**) для угла наклона нормали является вторым интегралом уравнения (8.12). Угол наклона находится путём решения вспомогательной задачи по анализу НДС длинной оболочки, подвергнутой действию усилий Q0 , M 0 , приложенных к её торцу (рис. 8.12).

151

Несложно проверить выражение (**), выполнив интегрирование однородного дифференциального уравнения (8.12)

– физико-геометрический параметр оболочки. Первый интеграл уравнения имеет вид (см. разд. 8 или [4]):

Рис. 8.12

Для определения постоянных следует использовать следующие граничные условия:

1. На значительном удалении от торца оболочки, где приложены усилия Q0 , M 0 , её прогибы столь малы, что при x w 0 . Это означает, что

152

Максимальная величина прогиба в месте приложения силы составляет:

Таким образом, формула (**) достоверна.

Возвращаясь к решению основной задачи, теперь на основе формулы (8.31) можно установить распределение прогибов вдоль оси оболочки в зависимости от силы Р, приняв во внимание (8.30):

w 8 Pk3 kx .

D

Характер графика изменения прогибов оболочки по мере удаления от места приложения опоясывающей нагрузки показан на рис. 8.13.

Рис. 8.13

153

Из него видно, что перемещения оболочки очень быстро «затухают»; в частности, для оболочки с размерами R 0,5м, 0,01м при значениях

можно полагать нулевыми.

Очевидно, если длина оболочки l 2k , то нагрузка, приложенная на

одном конце, не оказывает никакого влияния на другом; такие цилиндрические оболочки относятся к длинным.

Обладая данным решением, несложно установить усилия и прогибы оболочки, подверженной действию опоясывающей нагрузки, непрерывно распределённой вдоль образующей на конечном отрезке заданной длины.

Пример 3. Расчёт цилиндрических оболочек, усиленных шпангоутами.

При расчёте оболочки, подкреплённой кольцами (шпангоутами) (рис. 8.14,а), используются те же формулы, что и при расчёте оболочки,

Рис. 8.14

Ключом, открывающим путь к решению рассматриваемой задачи, является условие совместности деформаций оболочки в сечении, где находится кольцо, в виде равенства прогибов, полученных ранее при расчётах оболочки на воздействие кольцевых моментов M 0 и поперечных

сил Q0 в одном случае и на внутреннее давление – в другом. Условие совместности деформаций оболочки записывается в виде

wМ0 wр,

154

если считать кольцо жёстким, или

wМ0 wр wХ ,

когдакольцо деформируемо. Прогиб wХ обусловленсилой взаимодействия Х, возникающей между кольцом и оболочкой (рис. 8.15).

Рис. 8.15

Обращаясь к первому случаю, следует приравнять друг другу прогибы, определяемые формулой (8.36) и решением уравнения (8.29,б)

Величина поперечной силы в месте сопряжения оболочки с кольцом равна:

Значение изгибающего момента в том же сечении также можно выразить через силу взаимодействия Х, воспользовавшись условием отсутствия наклона касательной к поверхности оболочки в рассматриваемом сечении

w 0 .

x

Приравняв выражение углов наклона (8.37,б) нулю, т.е.

2 1k2 Q0 2kM0 0 ,

D

находят соотношение

M0 Q0 / 2k .

С учётом определения (8.39) оно принимает вид M0 X / 4k . Подста-

155

находят величину силы взаимодействия

Из определения коэффициента затухания перемещений оболочки следует, что

k4 4RE2D ,

и силу теперь можно выразить намного короче, а именно:

Тогда и погонная поперечная сила, и изгибающий момент в месте сопряжения кольца с оболочкой записываются более компактно:

Если кольцо при нагружении деформируется, то в условии совместности деформаций необходимо предварительно найти прогибы кольца, вызываемые силой Х. При их вычислении исходят из определения напряжений в кольце согласно

y NA XRA ,

где А – площадь поперечного сечения кольца; N – усилие в нём. Прогибы кольца равны:

wX N XR2 .

ЕА ЕА

В рассматриваемом случае условие совместности деформаций имеет

вид

Отсюда следует, что

взаимодействия Х при наличии упругой податливости подкрепляющего кольца оболочки. При уменьшении толщины оболочки и увеличении площади сечения кольца его величина приближается к единице.

Усилия в оболочке по мере удаления от кольца снижаются. Их распределение находят по формулам (8.35).

156

Пример 4 . Найти изгибающие моменты в оболочке радиусом 30 см

столщиной стенки 1 см. Длина оболочки l 0,6 м. Модуль упругости стали

Е2105 МН/м, коэффициентПуассона 0,3. Цилиндрическаяжёсткость оболочки равна:

k 0,236 102 1/м.

Граничное значение длины, при превышении которой оболочка относится к длинным находится, по следующей формуле (см. рис. 8.13):

Рассчитываемая оболочка относится к длинным, поскольку l 0,6 м 0,266 м.

При наличии жёсткого кольца величина силы взаимодействия равна:

Изгибающий момент в месте сопряжения кольца с оболочкой равен:

Ординаты эпюры моментов по длине оболочки вычисляют по формуле

(8.35):

M x 2kM 0 (kx) .

Первая нулевая точка эпюры находится в сечении

Рис.8.16

Вблизи второй нулевой точки на расстоянии 3,33+13,33=16,66 см от кольца моменты практически исчезают.

157

9. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Уравнения состояния цилиндрических оболочек, представленные в разд. 8 в дифференциальном виде, при численном расчёте необходимо перевести в дискретную (матричную) форму. Основанием этого, по аналогии с дискретной моделью стержня в виде многозвенной шарнирной цепи с упругоподатливыми шарнирами, может служить расчётная модель цилиндрической оболочки в виде набора колец малой ширины, объединённых между собой упругими связями. Одна группа связей в виде спиральных пружин препятствует взаимному повороту колец по направлению оси оболочки, а другая – в виде линейных – в окружном. Вследствие этого основными параметрами напряжённого состояния являются изгибающие моменты M1 M z в продольном направлении и

растягивающие усилия N2 M – в окружном (рис. 9.1). Похожая схема

использовалась В. З. Власовым в качестве модели при расчёте цилиндрической оболочки по «полумоментной» теории (см. рис. 10.1).

Рис. 9.1

Дискретная форма уравнений в бóльшей степени, чем аналитическая, отвечает процедуре выполнения математических операций на компьютере. Для полной автоматизации расчетов процедуры формирования самих уравнений также следует осуществлять в дискретной форме. Необходимо подчеркнуть важнейшую особенность самой процедуры перевода дифференциального уравнения состояния оболочки в матричную форму. Она заключается в том, что в процессе преобразований осуществляется интегрирование уравнения в матричной форме.

158

Рассматриваемую в этом разделе модель оболочки, как и модель В. З. Власова, можно считать одним из частных вариантов метода конечных элементов (см. разд. 12).

9.1. Матричная форма дифференциального уравнения оболочки

Уравнение состояния оболочки имеет вид (см. выражение (8.29,а)

где p(z) и D – соответственно, распределенная нагрузка, приходящаяся на единицу длины, и цилиндрическая жесткость оболочки; x(z) – прогиб оболочки в сечении с текущей абсциссой z.

Рис. 9.2

Если в уравнении (9.1) перенести слагаемое с неизвестным х направо

приобретает форму, удобнуюдляпредставленияегов матричномвиде(рис. 9.2,б, где h0 – толщина оболочки в основании).

159