2408

В соответствии с ходом интегрирования составляется характеристическое уравнение

Этим корням отвечают следующие линейно независимые функции:

еkx cos kx sin kx еkx cos kx sin kx ,

являющиеся решениями однородного уравнения. Их совокупность может быть представлена как одна функция

удовлетворяющая уравнению и содержащая к тому же произвольные постоянные С1, С2 , С3, С4 . График данной функции представлен двумя

парами асимптотически убывающих кривых, показанных на рис. 8.5. Скорость приближения к нулю может быть оценена с помощью отношения амплитуд

взятых через отрезок, равный полуволне синусоиды sin kx sin , т.е. через k / . Следовательно, функция состоит из двух частей: первой с

коэффициентом ekx , быстро убывающей по мере удаления от края x l , и второй, убывающей от противоположного конца с коэффициентом e kx .

Рис. 8.5

141

На этом основании при постановке граничных условий достаточно длинной оболочки можно ограничиться составлением двух независимых уравнений для определения двух постоянных С1, С2 , вместо системы

четырёх – в общем случае, когда влиянием краёв друг на друга пренебречь нельзя (см. ниже примеры расчёта).

Б) вторая половина решения, соответствующая правой части уравнения

труда. Даже когда нагрузка меняется линейно – р3 l х , как в рассмат-

риваемом случае гидростатического давления, легко убедиться, что решение ненамного сложнее, а именно:

Причем частное решение может быть представлено в общем случае полиномом степени не выше третьей.

Таким образом, общий интеграл неоднородного дифференциального уравнения (7.7) имеет вид

w w0 w еkx C1еikx C2е ikx е kx C3еikx C4е ikx R2 l х .

E

Изгибающие моменты в соответствии с полученным решением равны

Произвольные постоянные C1, C2 , C4 , C3 находят их четырёх граничных условий, причём на каждом крае цилиндра ставят по два условия. В

142

рассматриваемом случае постоянные C1, C2 , C4 , C3 определяются из следующих условий:

На основе данных условий с помощью выражений для перемещения (8.9) и усилий M1, Q1 можно составить четыре уравнения, из которых

находятся постоянные интегрирования. В частности, из краевого условия

w 0 R2 l 1 C3 1 0

E

легко найти C3 R2 l , а условие

E

w 0 R2 k C3 C4x E

приводит к постоянной

Аналогично, два оставшихся условия позволяют установить C1, C2 .

В итоге оказывается, что прогибы оболочки изменяются по высоте резервуара по закону

На основании данного решения изгибающие моменты и продольные усилия в окружном направлении следует вычислять по формулам:

Всплеск величины изгибающего момента вблизи опоры характеризует т.н. краевой эффект, возникающий в оболочках при наличии заделки в основании.

143

8.4. Анализ напряжений в оболочке при гидростатическом нагружении

Распределение внутренних усилий в оболочке находят по формулам (8.15)-(8.16). Наибольшие значения нормальных напряжений в продольном и окружном направлениях

возникают на внутренней и наружной поверхностях оболочки. В свою очередь, максимальная величина изгибающего момента в сечении стенки резервуара вблизи днища равна

геометрические размеры которой указаны на рис. 8.6, получены при следующих механических характеристиках материала оболочки (железобетона): Е 200 ГПа, 0 *. Объёмный вес воды в резервуаре

1000 кг/м3 .

k 37,22 3,14 116,87 cм.

Пунктиром на рис. 8.6 показан график изменения усилия N2 в случае отсутствия защемления оболочки в основании. При этом моменты М1 во-

общеневозникают. Отсюдаследуетвыводотом, чтовзаделкеуопорыдавление воды воспринимается за счёт появления моментов и поперечных сил.

Для коротких резервуаров, когда их высота соизмерима с длиной полуволны , влиянием краёв друг на друга пренебрегать нельзя. Тогда постоянные находят из четырёх уравнений.

* В теории расчёта железобетонных оболочек при выводе общих соотношений коэффициент Пуассона обычно принимают равным нулю.

144

В разд. 9, посвящённом численному методу анализа НДС оболочки, дополнительно дана оценка влияния изменения по высоте толщины оболочки на прогибы и усилия при различных внешних нагрузках.

Рис. 8.6

8.5. Примеры расчёта цилиндрических оболочек

Пример 1. Расчёт цилиндрической части корпуса батискафа при всестороннем равномерном внешнем давлении

В рассматриваемом случае внешнего всестороннего давления на цилиндрическую оболочку корпуса батискафа, включая и крышки на торцах, вследствие круговой симметрии тела оболочки и приложенной нагрузки относительно оси цилиндра (рис. 8.7) напряжённо-деформи- рованное состояние оболочки, как и при действии гидростатического давления, характеризуется отсутствием поперечных сил и крутящих моментов в окружном направлении.

Рис. 8.7

145

Поскольку внешнее давление q нормально к срединной поверхности

изгибающие моменты M y в окружном направлении постоянны (рис. 8.8).

Для остальных внутренних усилий должны быть сохранены условия равновесия (8.2,a), т.е.

Nx 0,

x

Qx Ny Rq 0, (8.2,г)

x

M x Qx 0 .x

В данной записи прежние цифровые индексы в обозначениях усилий заменены на буквенные, и в дальнейшем приняты следующие обозначения:

Рис. 8.8

Очевидно, что и продольные силы Nx также постоянны. Это вытекает

из первого из приведенных условий. Кроме того, из третьего условия следует, что поперечные силы Qx и изгибающие моменты M x в направ-

лении образующей цилиндра связаны между собой той же дифференциальной зависимостью, что и аналогичные усилия в технической теории расчёта балок.

НДС рассматриваемой цилиндрической оболочки корпуса батискафа также можно описать одним дифференциальным уравнением четвёртого

146

порядка, если систему (8.2,г), как и прежде, представить в перемещениях (через прогибы w оболочки); при этом уравнение усложняется по сравнению с (8.7).

Для вывода уравнения состояния в первую очередь необходимо определить величину силы Nx в продольном направлении. Она постоянна и

легко находится из условия равновесия одной из частей оболочки в видеX 0 на ось цилиндра

Знак «минус» здесь соответствует деформациям сжатия. Воспользовавшись физическими уравнениями теории оболочек для

нормальных усилий:

и знанием модуля величины Nx согласно (8.19), легко установить связь

между деформациями оболочки в основных направлениях.

Очевидно, из определения усилия Nx нетрудно вывести формулу для деформаций оболочки в направлении образующей

Деформациюоболочки вокружномнаправлении y вследствиесимметрии деформирования можно выразить через прогибы

Учитывая это, теперь и величину нормальной силы в окружном направлении также можно выразить через прогибы

Двапоследнихусловияравновесиясистемы(8.5), какизвестно, сводятся к одному дифференциальному уравнению

147

Если выразить изгибающие моменты M x через прогибы, то на основе

данного уравнения с привлечением (8.22) можно вывести уравнение равновесия оболочки в перемещениях.

В общем случае в соответствии с физическими уравнениями теории оболочек моменты находятся по формулам:

M x D x y ,

(8.24)

M y D y x ,

где D – цилиндрическаяжёсткостьоболочки. Очевидно, присимметричном нагружении кривизна y оболочки в окружном направлении равняется

Дважды продифференцировав это выражение и подставив результат в (8.6), после группировки слагаемых выводят разрешающее уравнение цилиндрической оболочки в перемещениях

Полученное уравнение можно рассматривать как обобщение уравнения

(8.7).

Интегрирование уравнения (8.28) можно выполнить различными способами, в том числе и численно, заменив непрерывные производные соответствующими дискретными выражениями, известными из работ по строительноймеханике[5]. Трудоёмкостьрешениясущественноснижается,

* Значок р над моментом М указывает на внешнее воздействие, которым оно вызвано.

148

если пренебрегают влиянием нормальных усилий Nx , т.е. опускают в уравнении второе слагаемое

Сравнительныерасчётыоболочексогласно(8.28) и(8.29,б) показывают, что влияние Nx на НДС оболочки действительно невелико**.

Замечание. Уравнение (8.29,б), как и уравнение (8.7), по форме ничем не отличается от уравнения балки постоянного сечения на упругом основании [4]). Несложно установить параметры модели (мнимой) «балки», соответствующие исходным физикомеханическим характеристикам цилиндрической оболочки. Для этого необходимо выделить из оболочки двумя сечениями вдоль образующей полоску с расчётной шириной, равной единице, в окружном направлении; длина полоски определяется длиной самой оболочки (рис. 8.8,а).

Реакция основания «балки», заключённая в параметре

равна r bw (b – коэффициент постели основания балки).

Изусловияравновесияполоскиединичнойширины( s R 1) наось Oz вытекает

(рис. 8.9,б), что

Рис. 8.9

** В разд. 9 для решения данных уравнений использована эффективная процедура численного интегрирования.

149

С учётом данного определения V из равенства (*) вытекает, что

Отсюда находят некий «коэффициент постели оболочки»

b E 2

R

и соответствующий ему параметр – коэффициент затухания перемещений оболочки

4 4bEI 4 4ER2D.

Очевидно, что при расчёте оболочки согласно (8.12) должна быть выполнена замена жесткости балки на изгиб EI на цилиндрическую жесткость оболочки D .

Таким образом, для интегрирования уравнения оболочки могут быть использованы известныеметодикианалитическогоичисленногорасчётабалокнаупругомосновании[9]).

Пример 2. Расчёт на опоясывающую нагрузку

Указанная нагрузка представляет собой постоянное сосредоточенное силовое воздействие Р, распределённое по внешнему контуру в сечении х = с и приложенное по нормали к поверхности оболочки (рис. 8.10).

Рис. 8.10

Очевидно, при таком воздействии деформации оболочки будут симметричными и локальными.

Начало системы координат совмещается с любой точкой оболочки, взятой на поверхности в месте приложения силы в сечении х=0. Положительное направление оси 0х может быть принято в любую сторону; ось 0z направляют перпендикулярно к оси цилиндра, а направление оси 0у принимают так, чтобы образовать правую систему координат.

Граничными условиями рассматриваемой задачи при решении уравнения (8.28) оболочки служат:

150