2408

При отсутствии нагрузки вдоль образующей, т.е. при p1 0 и постоян-

находятся из граничных условий.

Б) Расчёт сферических оболочек на действие ветровых нагрузок

Действие ветровой нагрузки в первом приближении достаточно охарактеризовать единственной проекцией вектора внешней нагрузки, направленной по нормали к поверхности

p3 p3i cosi i 1,2,...,n , (7.16)

где p3i – функция распределения нагрузки, зависящая от координаты х в

цилиндрической системе координат или от – в сферической.

Следует обратить внимание на то, что данная функция, характеризующаянагрузку, при i 1 являетсянеуравновешенной(рис. 7.7,а), втовремя как при иных (целых) коэффициентах она самоуравновешена (рис. 7.7,б).

а б

Рис. 7.7

Всоответствииспринятымраспределениемнагрузкиследуетожидать, что

иусилия N1, N2 , S будут функциями только одной переменной – x или :

N1 N1i cosi ,

N2 N2i cosi ,

S Si sin i .

131

Подставив эти усилия в условия равновесия (7.8):

и сократив затем первое и третье условия на cosi , а второе – на sin i , приходят к уравнениям, не содержащим переменной .

А это означает, что рассматриваемые усилия не зависят от координаты . Известно, что система трёх уравнений состояния (7.17) произвольной оболочки вращения имеет общее решение, основу которого составляет

некоторая «функция напряжений».

Ограничиваясь решением частной задачи, имеющей практическое значение, а именно случаем ветровой нагрузки p3 const , направленной по

нормали к сферическойповерхности, усилиявоболочке можно определить, не прибегая к функции напряжений.

Действительно, из последнего уравнения системы (7.17) легко выразить усилие

Подставив его в два других уравнения системы и поделив на Rsin ,

Структура данной системы такова, что при сложении уравнений

а затем и вычитании

132

онараспадаетсяна дванезависимых дифференциальных уравнения первого порядка. Если обозначить:

Для интегрирования любого из них применяется следующий подход. Задавшись, например, решением первого уравнения в виде произведения двух функций

и определив производную этого произведения

само уравнение можно будет записать в виде

Данное уравнение удовлетворяется тождественно, если функции U , V связаны соотношениями:

в чём легко убедиться путём дифференцирования данного выражения. Второе уравнение интегрируется по аналогии с первым и также может быть записано в замкнутой форме

133

Таким образом, в соответствии с (7.21) решение первого уравнения системы (7.20) принимает вид

По аналогии с ним находят и решение второго уравнения системы.

Усилия в оболочке N1i , Si определяют на основе полученных выражений согласно (7.19).

134

8. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

Цилиндрическиеоболочкиприменяютсявразличныхобластяхстроительства и машиностроения (покрытия промышленных предприятий, вокзалов, рынков, полые сваи фундаментов, трубы газопроводов, резервуары для воды, нефтиидругихжидкостей, корпусаракет, тоннелиметроипр.). Вразрезеони могут иметькруговое, эллиптическоеи иноеочертание(рис. 8.1).

Рис. 8.1

8.1. Уравнения напряжённо-деформированного состояния цилиндрических оболочек

Срединная поверхность цилиндрической оболочки формируется путём вращения образующей (прямой) вокруг оси (рис. 8.2).

Рис. 8.2

Параметры Ламэ для круговой цилиндрической оболочки находят по формулам (5.13):

135

Очевидно, главными радиусами кривизн срединной поверхности являются величины R1 , R2 R , где R – радиус оболочки.

Уравнения равновесия оболочки могут быть выведены из общих условий равновесия оболочек (6.4), если принять в них значения параметров Ламэ по формуле (8.1). В цилиндрической системе координат уравнения записываются в следующем виде:

На рис. 8.3 показан элемент оболочки, находящийся в равновесии под действием внутренних усилий, присутствующих в данных уравнениях.

Рис. 8.3

Система пяти уравнений легко сводится к эквивалентной системе трёх уравнений, для чего достаточно из четвёртого и пятого условий выразить величины поперечных усилий:

136

и подставить их во второе и третье условия (8.2,а). В итоге преобразований приходят к более обозримой системе:

R N1 T Rp1 0,

x

R Q1 Q2 N2 Rp3 0.

x

Деформации элемента срединной поверхности можно установить на основе общих геометрических зависимостей, выведенных в подразд. 5.7:

где – угол поворота касательной к поперечному сечению оболочки при деформации; формула для получена на основе второй формулы (5.25).

Физические соотношения могут быть получены из общих формул (6.10) в результате подстановки выражений указанных выше деформаций:

137

Есливоспользоватьсяданнымивыражениямииподставитьихвусловия равновесия(8.2,б), то последние могут бытьпредставлены в перемещениях:

Интегрирование полученной системы трёх дифференциальных уравнений (8.5) при некоторых допущениях можно выполнить в аналитической форме. В подразд. 10.2 рассматривается расчёт оболочек по т.н. полумоментной теории В.З. Власова, в которой пренебрегают влиянием изгибающих моментов в направлении оси х. В разд. 11 выводится разрешающее уравнение общей (моментной) теории цилиндрических оболочек, в котором учитывается взаимовлияние всех без исключения внутренних силовых факторов. Небольшие упрощения, обусловленные структурой уравнения, позволяют найти решения ряда практических задач по расчёту коротких оболочек в аналитическом виде.

При действии симметричных нагрузок также можно найти аналитическое решение системы уравнений, которые сводятся к одному, но более высокого порядка (см. подразд. 8.2).

138

8.2. Осесимметричное нагружение оболочки

Примером данного нагружения является гидростатическое действие жидкости на стенки вертикального резервуара (рис. 8.4,а).

а б

Рис. 8.4

Вследствие симметрии внешней нагрузки все усилия будут постоянны по окружности; при этом сдвигающие силы T T12 T21 и поперечная сила

Q2 , а также крутящие моменты Н будут равны нулю. Оставшиеся усилия, показанные на рис. 8.4,б, в сочетании с нагрузкой p3 р образуют равновесную систему:

N1 0,

x

Она получена из условий равновесия элемента оболочки в виде сумм проекций на оси 0х1, 0z1 и условия в виде M y1 0 .

Остальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. Выполнивдифференцированиепоследнеговыражениясистемы(8.2,в) и

приняв во внимание предыдущее условие, легко установить, что

2M1 N2 p3 .x2 R

С учётом физических соотношений

139

вытекающих из общих зависимостей (8.4) для цилиндрической оболочки, после небольших преобразований можно вывести уравнение деформированного состояния оболочки при осесимметричном нагружении в виде

8.3. Напряженно-деформированное состояние вертикальной цилиндрической оболочки при гидростатическом нагружении

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения четвёртого порядка (8.7) при действии осесимметричной гидростатической нагрузки, которая распределена по линейному закону

может быть осуществлено различными методами, в том числе и численными.

В этом подразделе рассматривается аналитический способ интегрирования данного уравнения. В разд. 9 приводится процедура численного решения рассматриваемой задачи с помощью ПЭВМ.

Следуетзаметить, чтоуравнениевида(8.7) встречаетсявсопротивлении материалов при изучении поведения балок на упругом основании. Аналитическое решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из двух частей:

А) Интеграл w0 однородного дифференциального уравнения имеет вид

для удобства интегрирования данное уравнение приводится к стандартной форме

– физико-геометрический параметр оболочки. Решение однородного уравнения ищется в виде

w0 ekx .

140