2408

7. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЁТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

7.1.Условия безмоментного состояния оболочек

Винженерной практике в ряде случаев оказывается, что в оболочках вращения при определённых внешних воздействиях не возникают деформации изгиба поверхности и связанные с ними внутренние усилия в виде изгибающих и крутящих моментов. Условия, при которых наблюдаются эти состояния, нетрудно обосновать исходя из общей теории оболочек. В рассматриваемом разделе указанные условия объясняются простейшими физическими соображениями. В частности, ясно, что:

при действии нагрузок, приложенных по касательной в любой точке поверхности оболочки, следует ожидать, что и внутренние усилия будут иметь то же направление и тем самым вызывать либо сжатие, либо растяжение произвольного элемента оболочки (рис. 7.1); если даже сосредоточенные нагрузки и действуют по нормали к поверхности, то безмоментное состояние возможно на достаточном удалении от них;

конечно, и поверхность оболочки должна быть гладкой и непрерывной, без резких изломов, без скачкообразного изменения толщины (в общемслучае– жёсткости), вследствиечеговозникаютдеформацииизгиба;

на боковых гранях оболочки ничто не должно препятствовать перемещению кромок по нормали к поверхности оболочки, причём крепления опор должны обеспечивать сохранение формы оболочки при нагружении.

Рис. 7.1

Следует ожидать, что расчёт оболочек по безмоментной теории окажется проще расчёта по общей теории, когда указанные условия не соблюдаются и приходится принимать во внимание взаимовлияние нормальных усилий и моментов.

121

7.2. Общие уравнения безмоментной теории оболочек вращения

Вывод уравнений равновесия безмоментного состояния оболочек осуществляется на основе условий равновесия, полученных для общего случая (см. разд. 6). Как и ранее, при выводе уравнений необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент оболочки abсd , вырезанный двумя парами нормальных плоскостей , d , , d , соответственно, и

сформировать условия равновесия элемента при действии вектора нагрузки P р1, р2 , р3 , составив суммы проекций усилий на оси сферической

системы координат (рис. 7.2).

Рис. 7.2

При этих условиях расчёт оболочек выполняют по безмоментной теории, полагая изгибающие и крутящие моменты М1, М2 , Н21 Н12 Н , а

также поперечные силы Q2 , Q2 равными нулю, т.е. принимая изначально

во всех уравнениях равновесия (6.20). На этом основании уравнения безмоментной теории оболочек при равенстве сдвигающих усилий S12 S21 S принимают вид:

1. Х 0, N1В N2 В 1А SA2 ABp1 0 ,

122

Остальные три условия в виде M 0 относительно осей координат

удовлетворяются тождественно, поскольку моменты и поперечные силы M1, M 2 , Н, Q2 , Q2 исключаются из рассмотрения. Таким образом,

основными факторами напряженного состояния оболочки являются нормальные усилия N1, N2 и сдвигающее усилие S .

Вдополнениекусловиямравновесия(7.2) следуетпринятьвовнимание геометрические уравнения (см. разд. 5):

ифизические соотношения (6.10).

7.3.Уравнения напряжённо-деформированного состояния безмоментных оболочек вращения

Уравнения состояния безмоментной теории оболочек вращения целесообразно записать в сферических координатах , . В этом случае в

уравнениях равновесия (7.2) следует принять:

где R1 – радиус кривизны срединной поверхности вдоль меридиана; R2 – расстояние от поверхности до оси вращения, измеряемое по нормали к поверхности(радиускривизнывширотномнаправлении); r r – радиус

окружности, полученный в результате сечения оболочки плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Следовательно, коэффициенты Ламэ

в данном случае зависят только от угловой координаты ; они не изменяются в широтном направлении ( ) вследствие симметрии поверхности.

123

Формирование уравнений равновесия безмоментного состояния оболочек вращения осуществляется на основе условий равновесия (см. подразд. 7.2). При составлении условий равновесия следует принять во внимание равенства (7.4,а) и (7.4,б); в таком случае можно установить, что:

Рис. 7.3

Сучётом определения(7.6) уравненияравновесия записываютсяв виде:

124

Точно так можно получить и геометрические уравнения в совокупности с физическими соотношениями:

Интегрирование системы шести линейных дифференциальных уравнений (7.7), (7.8) безмоментной теории оболочек вращения начинается с решения системы трёх первых уравнений, поскольку задача определения усилий является, очевидно, статически определимой. После вычисления усилий переходят к интегрированию последних трёх уравнений. В результате чего находят и перемещения оболочки (см. рис. 7.2,б). Примеры расчёта оболочек на часто встречающиеся на практике виды нагрузок приводятся ниже.

7.4. Осесимметричные оболочки вращения

При действии нагрузки, симметричной относительно оси 0z, в уравнениях равновесия (7.7) производные по обращаются в нуль. Составляющая внешней нагрузки в широтном направлении также отсутствует ( p2 0 ). Если бы такая нагрузка действовала, то она приводила

бы к возникновению скручивания оболочки, т.е. к появлению моментов Н и сдвигающих сил S , что заведомо недопустимо. С учётом указанного допущения уравнение равновесия (7.7,б) удовлетворяется автоматически.

Два оставшихся уравнения несложно решить. Для этого из уравнения (7.7,в) необходимо выразить усилие N2 и подставить его в (7.7,а). В

результате выводят уравнение

rN1 N2R1сos rR1 p1 0 .

Умножив последнее на sin и приняв во внимание (7.3), находят sin rN1 rN1сos rR1 p1 sin p3сos 0 .

125

Подчёркнутые слагаемые можно привести к одному, воспользовавшись определением производной произведения rN1 sin , а именно:

rN1 sin sin rN1 rN1сos .

В итоге уравнение равновесия оболочки вращения

воспользовавшись уравнением (7.7,в).

Для лучшего усвоения теории следует пояснить физический смысл интеграла (7.9). С этой целью достаточно умножить выражение (7.9) на 2

составляющую меридионального усилия N1 , действующего на уровне

параллельного круга, соответствующего углу . Следовательно, величина 2 r N1 sin характеризует проекцию равнодействующей нормальных сил

на уровне указанного круга (рис. 7.4).

В правой части выражения (*), после внесения под знак интеграла множителя 2 , можно установить, что величина

2 rR1d

0

равна площади элементарного кольца, соответствующего бесконечно малому углу . Величины p1 sin , p3сos представляют собой проекции

сил р1, р3 на вертикаль. Следовательно, подынтегральная функция является вертикальной составляющей нагрузки, действующей на элементарное кольцо. Тогда интеграл этой функции определяет полную вертикальную нагрузку, приходящуюся на оболочку с части поверхности, расположенной выше параллели, на уровне которой вычисляется меридиональное усилие N1 . Таким образом, выражение (7.9) можно считать условием равновесия

рассматриваемой верхней части оболочки в виде Z 0 . Это даёт возможность найти постоянную интегрирования с.

126

где R – радиуссферы(рис. 7.5,а). Текущийрадиус r , входящийвуравнения состояния, равен

r Rsin .

Проекциивекторавнешнейнагрузки, каковойявляетсясобственныйвес q , на оси координат, находятся без труда:

p1 qsin , p3 q cos .

Рис. 7.5

C учётом этих данных, выражение (7.9) принимает вид

В вершине купола ( 0 ) усилия находят по формуле

N1 N2 qR2

Характер изменения полученных усилий по высоте купола показан на рис. 7.5,б.

В отличие от усилия N1 , значение N2 меняет знак на уровне горизонтальнойплоскости, расположеннойнашироте n , положениекоторойлегко

128

7.5. Примеры расчёта оболочек по безмоментной теории

несложно вывести из общих уравнений (7.2), зная параметры Ламэ для круговой цилиндрической оболочки

(7.11) вытекают из определения квадрата длины линейного элемента цилиндрической поверхности (рис. 7.6):

Рис. 7.6

Очевидно, окружное (кольцевое) усилие N2 зависит только от нормального давления p3 . Сдвигающее усилие определяется путём интегрирования

(7.10,б):

129

Подобным образом находят и усилие

Геометрические уравнения для этого состояния оболочки выводят из соотношений (7.3) с учётом равенств (7.11), заменяя при этом на x , а

на ; в сочетании с физическими зависимостями они принимают вид:

Проекции вектора произвольной внешней нагрузки могут быть разложены в ряды Фурье:

p1i p1i cosi ,

i 0

p2i p2i sin i ,

i 0

p3 p3i cosi ,

i 0

где p1i , p2i , p3i – известные кэффициенты, зависящие только от х.

Далее достаточно найти решение задачи для одного из членов ряда, например n-го. Обладая им, несложно получить полное решение для всей совокупности членов ряда путём суммирования отдельных решений.

Изпоследнегоусловия N2 R p3 системыуравнений(7.10) следует, что окружное усилие N2 зависит только от внешнего давления, направленного

по нормали к поверхности оболочки

N2 p3n R cos n .

Дифференцируя это выражение по и подставляя производную в уравнение (7.10,б), находят сначала

S p2n p3nn Rsin n ,

x

откуда

S sin n p2n p3nn dx C1 .

Вычислив производную S по и подставив её в выражение (7.14), можно определить усилие и вдоль образующей цилиндра:

130