2408

Положительный знак момента соответствует положительным нормальным и касательным напряжениям вблизи наружной поверхности оболочки.

Суммируя касательные напряжения, можно определить погонные поперечные силы на гранях:

Положительный знак поперечных сил определяется знаком соответствующихкасательныхнапряжений. Нарис. 6.1,бпоказаныположительные направления усилий.

Из закона парности касательных напряжений в общем случае не вытекает парность сдвигающих усилий S и крутящих моментов H . Только для оболочек, у которых радиусы кривизны в обоих направлениях одинаковы, например для сферических, закон парности усилий

S S12 S21, H H12 H21 (6.6)

соблюдается.

В(технической) теориитонкихоболочек, рассматриваемойвданномпособии, отношение толщины оболочки к минимальному радиусу кривизны

цей им можно пренебречь. В дальнейшем при определении усилий по фор-

мание, а потому втехническойтеорииоболочек справедливы равенства(6.6).

6.2. Уравнения равновесия оболочек

Для вывода уравнений равновесия необходимо вырезать бесконечно малый элемент оболочки, ограниченный двумя парами нормальных плоскостей , d , , d , соответственно, и рассмотреть его

равновесиепридействиинагрузки Р р1, р2 , р3 наповерхности(рис. 6.3). На линиях d , d длины сторон ab и bс получают приращения

Вd d и Аd d , соответственно.

111

а

б

Рис. 6.3

На грани ab действуетнормальноеусилие N1Вd . На противоположной

грани cd того же направления оно в общем случае получает приращение, которое определяется как произведение

112

Последнее слагаемое имеет высший порядок малости по сравнению с остальными. Поэтому им можно пренебречь. Подчёркнутые слагаемые определяют произведение производной величины N1В на d d , т.е.

N1В d d .

Таким образом, усилие на противоположной грани оказывается равным сумме

N1Вd N1В d d .

Аналогично определяются и другие усилия на гранях оболочки. Очевидно, суммарное действие внешней нагрузки должно уравно-

вешиваться внутренними усилиями, возникающими на боковых гранях элемента (см. рис. 6.3).

Дляэлементаоболочки, находящегосяподдействиемпространственной системы сил, необходимо составить шесть условий равновесия. Первое из них будет условием равновесия элемента в виде

Приопределениислагаемыхданногоусловияподсчитываютсяразности всех усилий, которые проецируются на ось ах (см. рис. 6.3). Например, разность нормальных усилий на противоположных кромках элемента составляет:

N1Вd N1В d d N1Вd N1В d d .

Аналогично находятся и другие слагаемые.

В результате подобных операций можно составить и два других условия, а именно:

Приформированииуравнения Мх 0 следуетвоспользоватьсярис. 6.4. Условия равновесия элемента в виде

M x 0 , Н21В M2 A M1 A Н12 В Q2 AB 0 ,

M y 0, Н12 A M1B Н12 B Н21 A Q1AB 0

вместе с условием M z 0 образуют ещё одну группу уравнений.

113

Вследствие кривизны элемента компоненты крутящих моментов вокруг оси аz равны:

С учётом равенств (6.6) легко убедиться в том, что уравнение (6.7) удовлетворяется тождественно. Очевидно, это является следствием закона парности касательных напряжений.

Таким образом, равновесие оболочки описывается пятью уравнениями, которые содержат 10 неизвестных усилий. Следовательно, задача по расчёту оболочек статически неопределима (в малом).

Если принять во внимание условие (6.6), то число неизвестных

4.M x 0 , B1 HB2 M2 A M1 A Q2 AB 0,

5.M y 0, 1A HA2 M1B M2 B Q1AB 0,

115

6.3. Физические уравнения общей теории оболочек

На основе первой гипотезы теории расчёта оболочек, как и пластинок, зависимость напряжений от деформаций принимается в виде:

M1 D 1 2 ,

M2 D 2 1 ,

H Н12 Н21 D 1 ,

т.е. выражения для внутренних обобщённых усилий получают на основе их определений согласно (6.1)–(6.5) в результате вычисления интегралов. Здесь E – модуль деформации материала; – коэффициент Пуассона; D – цилиндрическая жёсткость оболочки.

По форме данные уравнения совпадают с аналогичными уравнениями теории пластин. Разница состоит в том, что выражения для деформаций имеют более сложный вид (ср. (5.43) с формулами (4.22)-(4.26).

6.4. Граничные условия

При интегрировании системы дифференциальных уравнений (6.8), (6.10), (5.43), описывающих напряжённо-деформированное состояние оболочек любого вида, необходимо в каждом случае формулировать граничные условия. Ниже приводятся характеристики напряжений и усилий, перемещений и деформаций, соответствующие тому или иному условию опирания оболочки на контуре.

1. Например, если вдоль координатной линии =const край оболочки шарнирно опёрт и неподвижен (рис. 6.6,а), то в этом случае отсутствуют

116

перемещения края по всем трём направлениям, т.е. u w 0, а также изгибающие моменты M1 0.

2. Если край свободен по линии сonst (рис. 6.6,б), то тогда в любой точке на крае должны сохраняться равенства:

u w 0,

M2 N2 0.

3. Если шарнирно опёртый край может смещаться в касательной плоскости (рис. 6.6,в), то в таком случае должны быть выполнены

следующие условия:

w 0,

M 2 N2 S 0.

Рис. 6.6

6.5. Методы решения задач по расчёту оболочек

Напряжённо-деформированное состояние оболочки описывается тремя группами уравнений. Ниже приводится их сводка.

I. Первая группа состоит из условий равновесия оболочек (их пять – см. (6.8)):

Х 0, N1В N2 В 1А SA2 Q1k1AB ABp1 0 ,

Y 0 , N2 A N1 A B1 SB2 Q2k2 AB ABp2 0,

M x 0 , B1 HB2 M2 A M1 A Q2 AB 0,

M y 0, 1A HA2 M1B M2 B Q1AB 0.

117

Данные условия содержат десять неизвестных усилий. Следовательно, задача по расчёту оболочек является статически неопределимой. Если принять во внимание условие (6.6), то число неизвестных сокращается до

Общеерешениеполной системы уравнений общей теории оболочекпри заданных граничных условиях представляет собой сложную математическую проблему.

Одним из путей её решения является упрощение постановки задачи на основе введения дополнительных предпосылок, касающихся ожидаемого распределения внутренних усилий и перемещений в конкретной оболочке. Если ожидаемое поведение (в соответствии с принятой предпосылкой) подтверждается экспериментами с реальной оболочкой, то разработанную теорию расчёта можно считать оправданной и принимать её к руководству. Например, при определённых условиях нагружения в некоторых оболочках возможно безмоментное состояние ( M1 M 2 H 0 ). И тогда из группы

уравнений равновесия выпадают уравнения, содержащие моменты; геометрические уравнения, по которым находятся кривизны, также опускаются, а физические соотношения дают зависимости деформаций и усилий только в

118

срединной поверхности. Полученная таким способом система уравнений может быть проинтегрирована в общем виде (пример см. в разд. 7).

Аналогичные подходы используются и при разработке практических методов расчётов оболочек частного типа, например цилиндрических (см.

разд. 8-10).

Возвращаясь к общей теории расчёта оболочек, следует указать на принципиальную возможность разрешения проблемы и в этом случае. Полная система уравнений общей теории состоит из пяти условий

стности деформаций (5.44), связывающих шесть параметров деформации1, 2 и др. В итоге получается система из восьми уравнений с шестнад-

цатьюнеизвестными. Уравнениясовместностидеформацийможнопредставить через усилия, принимая во внимание физические зависимости (6.10). Тогда разрешающая система восьми уравнений будет содержать только усилия, число которых равно десяти. Для того чтобы система была определённой, т.е. чтобы число неизвестных равнялось числу уравнений, достаточно выполнить следующее преобразование. Рассматривая равновесие элемента оболочки при действии усилий S12 , S21, H12 , H21 , которые

обусловлены только сдвигом в срединной поверхности (см. рис. 6.5), легко убедиться в соблюдении тождества (см. шестое условие равновесия (6.7))

S12 H21 S21 H12 S .

R2 R1

Откуда следует, что обе части данного тождества представляют одну и ту же функцию, которая обозначена через S .

В свою очередь, крутящие моменты H12 , H21 формально можно выра-

зить как сумму и разность каких-либо двух функций Н и Р , т.е. полагать, что H12 H Р, H21 H Р, и тогда

Функция Р , являющаяся разностью моментов H12 H21 , практически равнанулю; следовательно, H12 H21 Н . Витогепоследних преобразований четыре величины S12 , S21, H12 , H21 оказались сведены к двум S , H .

Таким образом, число неизвестных в разрешающей системе восьми уравнений стало равным восьми – теперь система определённа.

Конечно, формирование полной системы уравнений аналитического вида ещё не означает, что обеспечена возможность найти её решение в общем виде. При наличии разрешающей системы уравнений состояния проблема решения становится сугубо математической. В разд. 10 и 11

119

излагается один общий метод математического решения уравнений широкого круга задач расчёта цилиндрических оболочек. В большинстве случаев для многих реальных задач проблема расчёта оболочек в аналитической форме до сих пор остаётся нерешённой.

В настоящее время любую оболочку можно рассчитать на основе метода конечных элементов с применением ПЭВМ, т.е. косвенно осуществить решение общей системы уравнений с определённой степенью точности, но на совершенно других основаниях, притом численно (см. разд. 12).

120