
2408
.pdf
2 , отнесённым к радиусам кривизн координатных линий другого направ-
ления, т.е. к величинам 1 , 2 , соответственно. Сами же углы 1 и 2 ,
R2 R1
согласно(5.39), являютсяугламисдвигавзаимноперпендикулярныхкромок элемента срединной поверхности (рис. 5.14). Отнесённые к радиусам кривизны, они, с позиций геометрии, очевидно, не что иное, как кривизны. Следовательно, величины 1, 2 тоже характеризуют кривизны. Тщатель-
ный анализ формулы (5.42) показывает, что величина характеризует
деформацию кручения элемента срединной поверхности оболочки. Схема деформаций сдвига элементарного объёма оболочки может быть проиллюстрирована на примере деформаций куба (рис. 5.14,а).
а б
Рис. 5.14
Очевидно, любая из сумм 1 2 , 2 1 , т.е. величина , определяет
R1 R2
относительный крутильный поворот противоположных кромок элемента. При этом две угловые точки контура срединной плоскости, расположенные по концам одной из диагоналей квадрата, опускаются, а две другие – поднимаются. Сама срединная плоскость искривляется. Вследствие того, что вертикальные ребра куба как нормальные элементы должны оставаться нормальнымикискривленнойсрединнойплоскости, неизбеженихповорот: два противоположных по диагонали ребра поворачиваются, сближаясь верхними концами, а два других – нижними. В результате этого по мере удаления от срединной плоскости происходит рост сдвига параллельных слоёв; в срединном же слое сдвиг отсутствует.
Общее представление о характере деформирования куба даёт картина, изображённая на рис. 5.14,б [11].
101
Резюме по подразд. 5.7
1. Параметры деформаций в каждой точке срединной поверхности, определяемые шестью формулами, являются функциями трёх независимых аргументов – перемещений оболочки u, и w :
|
|
1 u |
|
|
|
|
1 A |
|
|
w |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
А |
|
|
|
AB |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
B u |
|
w |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
u |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 A |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
А |
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
1 В |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
В |
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 A |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 В |
|
1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
А |
|
|
AB |
В |
|
|
AB |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
2. Первые три компоненты деформаций ( 1,
(5.43)
.
2 , ) называются танген-
циальными или мембранными. Они характеризуют степень растяжения (сжатия) и сдвига срединной поверхности оболочки. Параметры 1 , 2 ,
называются параметрами изгибной деформации срединной поверхности. С их помощью можно установить деформации растяжения и сдвиги, которые возникают в эквидистантном слое.
Так как поверхность оболочки при деформировании сохраняется сплошной (разрывы или складки срединной поверхности недопустимы), то функции u, и w должны быть непрерывными. Этого нельзя утверждать
относительно деформаций 1, 2 , и кривизн 1, 2 , . Однако параметры деформаций 1, 2 , , 1 , 2 , должны удовлетворять определённым
зависимостям, обеспечивающим сплошность (непрерывность) срединной поверхности. Указанные зависимости, как и в теории упругости, называются условиями совместности деформаций; их три. Они могут быть получены путём исключения перемещений u, и w из выражений для
деформаций (5.43). Ниже они приводятся:
102
|
В |
2 |
|
В |
|
|
|
|
А |
|
2 |
|
А |
|
1 А |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
А |
|
|
|
|
А |
|
В |
2 |
|
В |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А |
1 |
|
|
А |
|
|
В |
|
|
2 |
В |
|
1 В |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.44) |
|
1 |
|
В |
|
|
|
|
В А 1 |
А |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
В 2 В |
|
|
|
А |
|
|
|
В |
А |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
А 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
АВ |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Привыполнениирасчётов оболочек пользуютсялинейным(5.41), ане гиперболическим(5.37) закономизменениядеформацийсдвигаэлементапо толщинеоболочки, поскольку, какивтеориирасчётакривыхстержней, при малыхотношениях R различиевзаконахнезначительно. Этосправедливо
и в отношении деформаций растяжения (сжатия).
5.8. Правила дифференцирования единичных ортов
При выводе формул, приведенных в настоящем подразделе, были использованы правила дифференцирования единичных ортов. Ниже дано обоснование этих правил. Как известно, в любой точке срединной поверхности оболочки можно показать тройку ортогональных единичных
векторов е1, е2 , еn , два из которых – е1, |
е2 |
– направлены по касательным к |
|||||||||||
координатным линиям , |
, а третий еn – по нормали к поверхности (см. |
||||||||||||
рис. 5.7,б). Вместе они образуют вектор е (е1, |
е2 , еn ) . |
||||||||||||
Производные единичных векторов, составляющие вектор |
|||||||||||||
|
|
е1 |
, |
е2 |
, |
еn |
, |
е1 |
, |
е2 |
, |
еn |
|
е |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
как и сами векторы е1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е2 , |
еn , также являются векторными величинами. На |
этом основании они могут быть разложены по ортам триэдра е1, е2 , еn . Такое разложение можно представить в матричном виде
|
е |
(5.45) |
е |
103
с использованием дифференциального оператора в форме матрицы
|
е |
е1 |
|
е |
е1 |
|
е |
е1 |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
е |
|
е2 |
|
е |
|
е2 |
|
е |
|
е2 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
е |
|
е |
|
е |
|
е |
|
е |
|
|
|
|||
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
е |
|
е |
|
е |
|
е |
|
е |
|
|
, |
|||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
е |
|
е |
|
|
е |
|
е |
|
|
е |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
е |
|
|
n |
|
е |
|
|
n |
|
е |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
если любой элемент данной матрицы считать проекцией, определяемой скалярным произведением.
Задача заключается в выводе формул, связывающих производные ортов с параметрами Ламэ и кривизнами поверхности оболочки. С этой целью следует вспомнить определение орт как производных векторной функции скалярного аргумента:
|
|
е |
|
|
r |
, |
е |
|
r |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
s |
2 |
|
s |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В соответствии с правилом дифференцирования |
сложной функции |
||||||||||||||||||||||
r r , можно написать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
|
r |
|
, |
е |
|
r |
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
s |
2 |
|
s |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где, как известно, s1 А , |
s2 В . |
|
Воспользовавшись |
последними |
|||||||||||||||||||
равенствами, находят: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
1 |
|
r |
, |
е |
|
|
1 |
r . |
|
|
(5.46) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
А |
2 |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вектор нормали, очевидно, определяется векторным произведением |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
еn е1 е2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Т.к. вектор производной |
|
е1 |
ортогонален орту е , а |
е2 |
– вектору е , то |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|||||||||||
в соответствии со скалярным произведением векторов |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
е |
е1 е е2 0 . |
|
|
|
|
(5.47) |
||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
104

По той же причине справедливо и равенство |
|
|||||||
е |
е1 е |
е2 |
0 . |
(5.48) |
||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|||
Несложноегеометрическоепостроение(рис. 5.15) позволяетустановить |
||||||||
модуль вектора |
|
еn |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.15
А поскольку векторы е1 и еn коллинеарны, то
еn А е1 .
R1
Следовательно,
е |
|
еn |
А |
, |
е |
|
еn е |
|
еn 0 . |
||
R |
|||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично выводятся и равенства:
еn |
В |
е |
, е |
|
еn 0, |
е |
|
еn |
B |
, |
е |
|
еn 0 . |
|
R |
R |
|||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Производные е2 , е1 находятся из условия
2r 2r .
(5.49)
(5.50)
105

Действительно, если принять во внимание определение векторов по (5.46), то это равенство принимает вид
Ае1 |
|
Ве2 |
. |
(5.51) |
|
|
|||
|
|
|
На основе полученного равенства путём раскрытия производных в одной части с сохранением другой приходят к двум соотношениям:
|
А е1 |
|
А |
|
е |
|
Ве2 |
, |
|
|
|
(5.52) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
е2 |
|
|
1 |
|
Ае1 |
|
|
|
1 В |
е . |
|
(5.53) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Из первого легко найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
е1 |
|
|
1 |
|
|
А |
е |
|
|
1 |
|
Ве2 |
, |
(5.54,а) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
А |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а из второго – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е2 |
|
|
1 |
|
|
Ае1 |
|
|
|
1 |
|
В |
|
е . |
|
(5.54,б) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Без труда находится произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
е |
е2 е |
1 |
|
Ае1 |
е |
|
|
1 |
|
|
В |
е |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 В |
|
|
|
|
|
|
|
1 В |
|
|
|
2 |
(5.55) |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
е1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 В |
|||||||||||||||
е |
|
е е |
|
е |
|
|
е . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 В |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 В |
|
|
|
|
|
1 В 2 |
Последнее слагаемое в этом выражении равно нулю, поскольку орты е1, е2 ортогональны; по той же причине равно нулю и второе слагаемое, но
теперь речь идёт о векторах е1, е1 .
Скалярное произведение е1 е1 |
1, поэтому согласно (5.55) |
|
|||||
е |
е2 |
|
1 |
|
А. |
(5.56) |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
В |
|
||
Аналогично устанавливается |
|
|
|
|
|
|
|
е |
е1 |
|
|
1 |
В . |
(5.57) |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
А |
|
106
Всилу ортогональности векторов еi , |
еj |
i, j 1,2,n; |
i j справедливы |
||||||||||||||||||||
равенства |
|
|
|
|
|
еi еj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
k 1,2 |
|
|
|
||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
еj |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1,2 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
i |
k |
|
|
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
еj |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
i, j |
|
|
k 1,2 . |
|
|||||
е |
|
|
|
е |
|
|
|
|
i |
|
|
1,2,n; i j, |
(5.58) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
k |
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя равенство (5.59) в сочетании с (5.49), (5.50), (5.58), можно получить последние шесть из восемнадцати проекций, входящих в матрицу
. В итоге становится известной вся структура оператора дифференцирования , а именно:
|
|
0 |
|
|
1 А |
|
А |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В |
|
R |
|
|||||||||||||||
|
1 А |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
R |
|
|
|
(5.59) |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 В |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
А |
|
|||||||||||||||
|
|
1 В |
|
|
|
В |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
А |
|
|
|
R |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
2 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107

6.УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК
6.1.Характеристики напряжённого состояния оболочки
Перед формированием условий равновесия оболочек, по аналогии с пластинами, следует определить равнодействующие напряжений, распределённых по боковым граням бесконечно малого объёма, выделенного из тела оболочки (рис. 6.1). Обозначения напряжений, их индексация совпадают с обозначениями, принятыми в теории упругости [3].
Рис. 6.1
Очевидно, бесконечно малый элемент оболочки, ограниченный двумя парами нормальных плоскостей , d , , d , соответственно, при
действии нагрузки, представленной разложением вектора равнодействующей Р ( p1, p2, p3) на оси триэдра, находится в равновесии с
усилиями, возникающиминабоковыхгранях. Величиныусилийнабоковых гранях элементарного участка оболочки, отнесённые к единице длины грани, могут быть получены в результате суммирования соответствующих напряжений. При непрерывном распределении напряжений суммирование сводится к интегрированию функции напряжений по высоте боковой грани; при этом длина грани равна длине элемента в направлении координатной линии ds1 Ad или ds2 Вd . Нарис. 6.2 показаныусилиятольконадвух
108

гранях элемента оболочки (измеряемые в Н/м); остальные опущены. Очевидно, эти усилия являются реакциями отброшенной части оболочки.
Рис. 6.2
Нормальное усилие N1 на грани соnst определяется путём интегрирования
|
|
|
|
N1Вd 2 1 |
1 |
z |
Вd dz ; |
|
|||
|
|
R2 |
|
2 |
|
|
|
отнесённое к единице длины грани (в таком случае, очевидно, погонное и измеряемое в Н/м) оно равно:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
N1 |
1 |
1 |
|
dz , |
(6.1) |
||
R2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
где – толщина оболочки, 1 – нормальные напряжения, распределённые
по боковой грани соnst .
Отличие подынтегрального выражения в данном определении от соответствующей величины в формуле для усилия в пластине объясняется тем, что вследствие искривлённости поверхности оболочки длина ds элемента(отрезка се), отстоящегонанекоторомрасстоянии z отсрединной поверхности, увеличивается на величину cd z d по сравнению с длиной
отрезкa ds2 аb Вd координатной |
линии |
|
, |
взятой на срединной |
|||
поверхности (см. рис. 5.12). |
|
|
|
|
|
|
|
С учётом указанных соотношений длину отрезка се можно выразить |
|||||||
через параметры оболочки по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вd |
|
|
|
z |
|
|
ce ab cd Вd |
z 1 |
|
|
Вd . |
|||
|
|
R2 |
|||||
|
R2 |
|
|
|
|
|
109
Положительное направление усилия совпадает с направлением нормального напряжения 1 на боковой грани.
Точно также можно определить и другие усилия, возникающие на гранях элемента оболочки:
в частности, погонное нормальное усилие на грани соnst равно:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
N2 |
2 |
1 |
|
dz . |
||
R1 |
||||||
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
Равнодействующиекасательныхнапряжений 12 , 21 набоковыхгранях, т.е. сдвигающие усилия, равны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
S12 |
12 |
1 |
|
|
dz , |
(6.2) |
|||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
S21 |
21 |
1 |
|
|
|
dz . |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R2 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейный закон распределения нормальных напряжений по толщине оболочки, обусловленный принятой в технической теории геометрической гипотезой, даёт возможность определить изгибающие моменты, возникающие на гранях элемента:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
М1 1 |
1 |
|
|
zdz , |
(6.3) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
R2 |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
M2 2 |
1 |
|
|
zdz , |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R1 |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
а также крутящие моменты
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
||
H12 |
12 |
1 |
|
zdz , |
(6.4) |
|||
|
||||||||
|
|
|
|
R1 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
H21 |
21 |
1 |
|
|
zdz . |
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R2 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
110