2408

2 , отнесённым к радиусам кривизн координатных линий другого направ-

ления, т.е. к величинам 1 , 2 , соответственно. Сами же углы 1 и 2 ,

R2 R1

согласно(5.39), являютсяугламисдвигавзаимноперпендикулярныхкромок элемента срединной поверхности (рис. 5.14). Отнесённые к радиусам кривизны, они, с позиций геометрии, очевидно, не что иное, как кривизны. Следовательно, величины 1, 2 тоже характеризуют кривизны. Тщатель-

ный анализ формулы (5.42) показывает, что величина характеризует

деформацию кручения элемента срединной поверхности оболочки. Схема деформаций сдвига элементарного объёма оболочки может быть проиллюстрирована на примере деформаций куба (рис. 5.14,а).

а б

Рис. 5.14

Очевидно, любая из сумм 1 2 , 2 1 , т.е. величина , определяет

R1 R2

относительный крутильный поворот противоположных кромок элемента. При этом две угловые точки контура срединной плоскости, расположенные по концам одной из диагоналей квадрата, опускаются, а две другие – поднимаются. Сама срединная плоскость искривляется. Вследствие того, что вертикальные ребра куба как нормальные элементы должны оставаться нормальнымикискривленнойсрединнойплоскости, неизбеженихповорот: два противоположных по диагонали ребра поворачиваются, сближаясь верхними концами, а два других – нижними. В результате этого по мере удаления от срединной плоскости происходит рост сдвига параллельных слоёв; в срединном же слое сдвиг отсутствует.

Общее представление о характере деформирования куба даёт картина, изображённая на рис. 5.14,б [11].

101

Резюме по подразд. 5.7

1. Параметры деформаций в каждой точке срединной поверхности, определяемые шестью формулами, являются функциями трёх независимых аргументов – перемещений оболочки u, и w :

циальными или мембранными. Они характеризуют степень растяжения (сжатия) и сдвига срединной поверхности оболочки. Параметры 1 , 2 ,

называются параметрами изгибной деформации срединной поверхности. С их помощью можно установить деформации растяжения и сдвиги, которые возникают в эквидистантном слое.

Так как поверхность оболочки при деформировании сохраняется сплошной (разрывы или складки срединной поверхности недопустимы), то функции u, и w должны быть непрерывными. Этого нельзя утверждать

относительно деформаций 1, 2 , и кривизн 1, 2 , . Однако параметры деформаций 1, 2 , , 1 , 2 , должны удовлетворять определённым

зависимостям, обеспечивающим сплошность (непрерывность) срединной поверхности. Указанные зависимости, как и в теории упругости, называются условиями совместности деформаций; их три. Они могут быть получены путём исключения перемещений u, и w из выражений для

деформаций (5.43). Ниже они приводятся:

102

3. Привыполнениирасчётов оболочек пользуютсялинейным(5.41), ане гиперболическим(5.37) закономизменениядеформацийсдвигаэлементапо толщинеоболочки, поскольку, какивтеориирасчётакривыхстержней, при малыхотношениях R различиевзаконахнезначительно. Этосправедливо

и в отношении деформаций растяжения (сжатия).

5.8. Правила дифференцирования единичных ортов

При выводе формул, приведенных в настоящем подразделе, были использованы правила дифференцирования единичных ортов. Ниже дано обоснование этих правил. Как известно, в любой точке срединной поверхности оболочки можно показать тройку ортогональных единичных

этом основании они могут быть разложены по ортам триэдра е1, е2 , еn . Такое разложение можно представить в матричном виде

103

с использованием дифференциального оператора в форме матрицы

если любой элемент данной матрицы считать проекцией, определяемой скалярным произведением.

Задача заключается в выводе формул, связывающих производные ортов с параметрами Ламэ и кривизнами поверхности оболочки. С этой целью следует вспомнить определение орт как производных векторной функции скалярного аргумента:

104

Рис. 5.15

105

Действительно, если принять во внимание определение векторов по (5.46), то это равенство принимает вид

На основе полученного равенства путём раскрытия производных в одной части с сохранением другой приходят к двум соотношениям:

Последнее слагаемое в этом выражении равно нулю, поскольку орты е1, е2 ортогональны; по той же причине равно нулю и второе слагаемое, но

теперь речь идёт о векторах е1, е1 .

106

Используя равенство (5.59) в сочетании с (5.49), (5.50), (5.58), можно получить последние шесть из восемнадцати проекций, входящих в матрицу

. В итоге становится известной вся структура оператора дифференцирования , а именно:

107

6.УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК

6.1.Характеристики напряжённого состояния оболочки

Перед формированием условий равновесия оболочек, по аналогии с пластинами, следует определить равнодействующие напряжений, распределённых по боковым граням бесконечно малого объёма, выделенного из тела оболочки (рис. 6.1). Обозначения напряжений, их индексация совпадают с обозначениями, принятыми в теории упругости [3].

Рис. 6.1

Очевидно, бесконечно малый элемент оболочки, ограниченный двумя парами нормальных плоскостей , d , , d , соответственно, при

действии нагрузки, представленной разложением вектора равнодействующей Р ( p1, p2, p3) на оси триэдра, находится в равновесии с

усилиями, возникающиминабоковыхгранях. Величиныусилийнабоковых гранях элементарного участка оболочки, отнесённые к единице длины грани, могут быть получены в результате суммирования соответствующих напряжений. При непрерывном распределении напряжений суммирование сводится к интегрированию функции напряжений по высоте боковой грани; при этом длина грани равна длине элемента в направлении координатной линии ds1 Ad или ds2 Вd . Нарис. 6.2 показаныусилиятольконадвух

108

гранях элемента оболочки (измеряемые в Н/м); остальные опущены. Очевидно, эти усилия являются реакциями отброшенной части оболочки.

Рис. 6.2

Нормальное усилие N1 на грани соnst определяется путём интегрирования

отнесённое к единице длины грани (в таком случае, очевидно, погонное и измеряемое в Н/м) оно равно:

где – толщина оболочки, 1 – нормальные напряжения, распределённые

по боковой грани соnst .

Отличие подынтегрального выражения в данном определении от соответствующей величины в формуле для усилия в пластине объясняется тем, что вследствие искривлённости поверхности оболочки длина ds элемента(отрезка се), отстоящегонанекоторомрасстоянии z отсрединной поверхности, увеличивается на величину cd z d по сравнению с длиной

109

Положительное направление усилия совпадает с направлением нормального напряжения 1 на боковой грани.

Точно также можно определить и другие усилия, возникающие на гранях элемента оболочки:

в частности, погонное нормальное усилие на грани соnst равно:

Равнодействующиекасательныхнапряжений 12 , 21 набоковыхгранях, т.е. сдвигающие усилия, равны:

Линейный закон распределения нормальных напряжений по толщине оболочки, обусловленный принятой в технической теории геометрической гипотезой, даёт возможность определить изгибающие моменты, возникающие на гранях элемента:

а также крутящие моменты

110