2408

Поскольку нормальные напряжения z 0 , то деформации срединной

поверхности, согласно физическим соотношениям теории упругости, находят по формулам [4]:

где – коэффициент Пуассона.

Отсюда определяется обратная зависимость напряжений от

можно видеть, что

u w ,

z x

w.z y

Интегрируя последние соотношения с учётом граничных условий на срединной поверхности оболочки (u u0 , 0 при z 0 ), легко

установить характер изменения перемещений точки С, взятой на некотором удалении z от поверхности (см. рис. 5.9), а именно:

91

где wx , wy – углы наклона нормали СМ с осями триэдра,

расположенными в касательной плоскости.

В следующем подразделе приводится иной вывод формул для перемещений произвольной точки оболочки, исходя из рассмотрения геометрической картины деформирования (рис. 5.10).

5.6. Определение перемещений оболочек

Уравнение срединной поверхности оболочки в начальном состоянии записывается в виде

rr , .

Вдеформированном состоянии положение произвольной точки М срединной поверхности можно определить через радиус-вектор

r , , ,

где

, ue1 e2 wen

–вектор перемещений точки оболочки, представленный компонентами u, , w по направлениям осей триэдра e1, e2 , en (см. рис. 5.10).

Рис. 5.10

Пусть r обозначает радиус-вектор точки С, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии z. Очевидно,

Согласно гипотезе Кирхгоффа – Лява

92

где z – радиус-вектор той же точки после деформирования (точки С); en – единичный вектор нормали к деформированной поверхности, связанный с двумя другими ортами известным соотношением en e1 e2 *.

Принимая во внимание зависимости (5.17), (5.18), вектор перемещения

любой точки оболочки при деформировании можно выразить через перемещение её проекции на срединную поверхность в следующем виде:

Чтобыперейтиккоординатнойформезаписирассматриваемоговектора перемещений, следует выполнить несложные преобразования. Сначала, пользуясь определением единичного вектора

который направлен по касательный к координатной линии на деформированной срединной поверхности, и зависимостями (5.17) и (5.18), легко установить, что

где

А dd

– коэффициент Ламэ деформированной срединной поверхности, квадрат которого, согласно определению (5.9), равен скалярному произведению производной

на саму себя. Принимая во внимание правила вычисления производных единичных векторов, в частности**

*В этой и других формулах подразд. 5.6 значок дуги « » над каким-либо символом указывает на принадлежность вектора или иного параметра к деформированному состоянию оболочки.

**См. матрицу (5.60) в подразд. 5.8.

93

выражение для производной можно записать в следующем виде:

Составив скалярное произведение dd dd и пренебрегая в нём величинами второго порядка малости, находят

При выводе данной формулы принято во внимание свойство орто-

гональности единичных векторов e1 e2 e1 en e2 en 0 .

С помощью выражений (5.21), (5.22) единичный орт e1 на деформи-

рованной срединной поверхности (см. 5.20) можно выразить через тот же орт в начальном состоянии

Умножая векторно один орт на другой и пренебрегая членами второго порядка малости, вычисляют орт нормали в деформированном состоянии

смысл которых выяснится немного позже. При деформировании оболочки вектор перемещения любой точки, удалённой от срединной поверхности на отрезок z, теперь, согласно (5.19) и (5.24), можно определить с помощью величин , в виде

Проектируя полученное векторное равенство на оси триэдра, выводят формулыдляопределенияперемещенийлюбойточкиоболочкивскалярной

94

Отсюда вытекает, что величины , являются проекциями орта

вокруг осей e1 и e2 . Следовательно, величины , есть не что иное, как

углы поворота нормали к срединной поверхности по направлениям координатных линий поверхности оболочки.

Из сравнения формул (5.27) с аналогичными выражениями для перемещений пластин:

uz wx ztg z ,

z wy ztg z ,

где , – углы наклона нормали к срединной поверхности пластинки с

осями координат (см. разд. 1), следует, что, в отличие от пластин, перемещения в оболочках, естественно, зависят от формы поверхности оболочки.

5.7. Деформации оболочек

Длины линейных элементов, взятых вдоль координатных линий, на начальной поверхности оболочки равны:

где d , d – приращения криволинейных координат (рис. 5.11).

Рис. 5.11

95

После деформирования линейные элементы удлиняются

Здесь А, В - коэффициенты Ламэ (5.21) на деформированной

срединной поверхности.

Относительное удлинение в направлении координатной линии обозначается

Согласно определению длины элемента в направлении линии до и после деформирования (5.28), его деформация в этом направлении с учётом равенства (5.22) выражается через перемещения по формуле

Очевидно, квадрат коэффициента Ламэ (5.22) на деформированной срединной поверхности теперь можно представить в виде

А2 А2 1 1 2 ,

откуда вытекает зависимость между коэффициентами Ламэ в начальном и деформированном состоянии оболочки

А А 1 1 .

Аналогично определяется деформация линейного элемента оболочки вдоль линии

выражения (5.23) для единичных векторов для деформированного положения оболочки, находят деформации сдвига

96

Теперь можно перейти к выводу формул для кривизны элемента слоя оболочки, расположенного параллельно срединной поверхности и удалённого от неё на одинаковом расстоянии z*. Если, в частности, рассматривать нормальное сечение оболочки плоскостью, проведённой через касательную к координатной линии , то можно увидеть, что кривая линия ce ,

являющаяся сечением слоя, подобна кривой ab , взятой на срединной поверхности (рис. 5.12).

Рис. 5.12

Очевидно, радиусы кривизн эквидистантного слоя вдоль координатных линийотличаютсяотсоответствующихрадиусовсрединнойповерхностина отрезок z

Второе равенство аналогично первому и относится к радиусу кривизны слоя в направлении линии .

Очевидно, отрезкам ab и cd координатной линии , расположенным

между двумя нормалями к срединной поверхности, соответствует одинаковое приращение координаты ; следовательно, длина линейного эле-

мента равна

s2z Bz .

Аналогично, и для линейного элемента линии другого направления (по линии ) – s1z Аz . Здесь Аz , Вz – параметры Ламэ эквидистантного слоя оболочки.

* Данные слои или поверхности оболочки называются эквидистантными. Всем параметрам, относящимся к этому слою, приписывается верхний индекс z.

97

Длины линейных элементов можно выразить и через радиусы кривизн, составив равенства:

где A / R1, B / R2 – центральные углы дуг элементов. После

подстановки углов в выражения для длин приходят к новым определениям длин элементов:

Сравнивая полученные выражения длин с их первоначальными определениями, выводят зависимость между параметрами Ламэ на срединной поверхности и в эквидистантном слое оболочки:

Чтобы ввести понятие и определить величину кривизны оболочки при деформировании, необходимо обратиться к рассмотрению деформаций эквидистантного слоя по направлениям координатных линий. Их значения можно определить на основе формул, аналогичных (5.30) (для удлинений срединнойповерхности). Вчастности, длядеформациислоявдольлинии можно составить формулу

используя выражения для перемещений согласно (5.30) ипараметры Ламэ – (5.33) для эквидистантного слоя. Выполнив необходимые операции по подстановкеидифференцированию, послегруппировкислагаемыхсучётом условий Кодацци (5.11) выводят формулу для удлинения элемента слоя вдоль координатной линии , содержащую параметр деформаций срединного слоя:

Обозначив величину, стоящую в круглых скобках этой формулы, через

деформацию элемента можно представить более компактно

98

и к тому же в виде, похожем на известную из курса сопротивления материалов запись деформации слоя изначально криволинейной балки. Отсюда вытекает, что величина 1 определяет кривизну слоя оболочки,

отстоящего на расстоянии z от срединной поверхности, в направлении линии .

Аналогично определяется деформация слоя и вдоль координатной линии :

где кривизна 2 вычисляется по формуле

Подобным образом находят также деформации сдвига элемента эквидистантного слоя, выраженные через перемещения срединной поверхности

(рис. 5.11):

Для сокращения записи здесь введены новые параметры, характеризующие сдвиг элемента, а именно :

Если воспользоваться определением деформаций сдвига срединной поверхности согласно (5.31), то с помощью параметров 1, 2 их можно

выразить более кратко, а именно:

На рис. 5.13 крышки над символами , , ds относятся к параметрам деформаций слоя оболочки, отстоящего от срединной поверхности на расстоянии z.

99

тем самым раскрыв геометрический смысл величин 1, 2 , которые, очевидно, являются углами сдвига 1, 2 элемента, взятого на срединной поверхности.

Рис. 5.13

цей, легко установить, что деформации сдвига параллельного слоя равны:

Каков же смысл этой величины? Анализ структуры формулы (5.40) говорит о том, что каждое 1, 2 служит добавкой к значениям углов 1 и

100