2408

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

____________________________

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пензенский государственный университет архитектуры и строительства» (ПГУАС)

В.А. Монахов

ТЕОРИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Рекомендовано Редсоветом университета в качестве учебного пособия для студентов,

обучающихся по направлению подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений»

Пенза 2016

Монахов В.А.

М77 Теория пластин и оболочек: учеб. пособие по направлению подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» / В.А. Монахов. – Пенза: ПГУАС, 2016. – 252 с.

В учебном пособии, наряду с изложением основ теории расчёта пластин и оболочек, дан анализ напряжённо-деформированного состояния пластин и оболочек при различных воздействиях. Рассмотрены аналитические и численные методы решения уравнений состояния пластин и оболочек.

Учебное пособие подготовлено на кафедре механики и предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений», при изучении дисциплины «Теория пластин и оболочек».

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, 2016

© Монахов В.А., 2016

2

Во второй части книги обоснован вывод трёх групп уравнений, относящихся к условиям равновесия оболочек, физическим уравнениям общей теории оболочек и условиям совместности деформаций оболочек. В дальнейшем на их основе выведены уравнения напряжённо-деформиро- ванного состояния безмоментных оболочек и с их помощью выполнены расчёты оболочек вращения на статические нагрузки, в том числе на нагрузки, периодически изменяющиеся в окружном направлении. Значительное внимание в книге уделяется анализу напряжённо-деформи- рованного состояния цилиндрических оболочек, наиболее распространённых на практике. Наряду с решениями уравнений состояния цилиндрической оболочки по безмоментной теории, в пособии рассмотрены примеры расчёта оболочек аналитическими и численными методами по общей моментной теории.

Два последних раздела учебного пособия посвящены современным проблемам расчёта оболочек. В разд. 12 описана расчётная модель цилиндрической оболочки, построенная в соответствии с методом конечных элементов. Приведеныразличныеподходы, предпринятыеисследователями для аппроксимации возможных перемещений конечного элемента цилиндрической формы, и даны оценки степени точности полученных решенийвзависимостиотчисластепенейсвободыКЭ. Впоследнемразделе пособия изложены результаты исследований напряжённо-деформи- рованного состояния оболочек при статическом и динамическом нагружении с учётом пластических свойств материала оболочек. В частности рассмотрены вопросы предельного равновесия и сопротивления цилиндрических и сферических оболочек, в решении которых автор принимал непосредственное участие.

4

Часть I. РАСЧЁТ ПЛАСТИН

1. НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИН

Пластиной (плитой) называется тело призматической или цилиндрической формы, высота (толщина) которого намного меньше других размеров (рис. 1.1).

0,012 B 0,2.

Возможные прогибы пластины также малы по сравнению с толщиной; верхний предел величины прогиба составляет w 0, 2 . Если соотношения

в размерах плиты не отвечают указанным условиям, то она относится к разряду плит средней толщины или толстых плит.

1.1. Основные предпосылки теории расчёта тонких пластин

Техническая теория расчёта пластин основана на двух допущениях, упрощающих исследование:

I. Статическая гипотеза – нормальные напряжения, возникающие при деформировании вследствие взаимного нажатия горизонтальных слоёв пластинкидругнадруга, наплощадках, параллельныхсрединнойплоскости,

считаются нулевыми z 0.

Это означает, что бесконечно тонкий слой находится в условиях плоскогонапряжённогосостояния. Ктомужеикасательныенапряжения xz , уz

относятся к второстепенным. Они также принимаются равными нулю.

II. Кинематическая гипотеза – прямая, перпендикулярная срединной поверхности в начальном положении, остаётся перпендикулярной к поверхности и в деформированном состоянии (гипотеза прямых нормалей Кирхгофа) (рис. 1.2).

На рис. 1.2 показаны прогиб w точки M0 срединной плоскости в сечении, параллельном оси Ох, и перемещение w произвольной точки C0, отстоящей

5

на расстоянии z 2; угол наклона нормали, обусловленный изгибом пластинки, обозначен через .

Рис. 1.2

Данная гипотеза, по существу, вытекает из первого предположения. Действительно, из условия отсутствия касательных напряжений xz , уz 0

следует, что деформации сдвига xz yz 0 . Как известно, в технической

теории изгиба балок принята аналогичная гипотеза плоских сечений [5]. Поскольку нормальные напряжения z 0, то деформации срединной

плоскости согласно физическим соотношениям теории упругости находят по формулам [3]:

где – коэффициент Пуассона (для стали 0, 3 ); Е – модуль упругости

материала (для стали Е 200 ГПа), Отсюда нетрудно установить обратную зависимость напряжений от

деформаций:

ху G xу 2 1Е xy .

6

характер изменения перемещений точки С, взятой на некотором удалении z от срединной плоскости, а именно:

где , – углы наклона нормали с осями координат1.

1.2. Распределение напряжений и моментов при изгибе пластин

Деформации (1.1) элемента срединной плоскости пластинки в направлении осей координат (рис. 1.3) с учётом (1.3) можно найти по формулам:

1 На рис. 1.2 показан случай, соответствующий граничному условию u0 0 .

7

Величины изгибающих моментов и поперечных сил, действующих на боковых гранях элемента пластинки, определяют путём интегрирования функций напряжений по толщине пластинки, т.е.

жёсткость пластинки; – её толщина; – коэффициент Пуассона (рис. 1.5).

Рис. 1.5

9

1.3. Вывод дифференциального уравнения изгиба пластинки

При рассмотрении равновесия элемента тонкой пластинки, подверженной действию внешней распределённой нагрузки р, нормальной к срединной плоскости, кроме изгибающих моментов следует учитывать также поперечные силы Qx , Qy .

Несмотря на то, что в соответствии с первой предпосылкой теории расчёта пластинок деформации хz yz пренебрежимо малы, поперечные

силы Qх, Qy имеют тот же порядок малости, что и величина нагрузки q.

Иначе как тогда объяснить возможность сохранения условия равновесия элемента в направлении оси Оz в виде Fz 0:

Qxх dxdy Qyу dxdy pdxdy 0 ,

или

Условие равновесия элемента Мx 0 после отбрасывания слагаемых высшего порядка имеет вид

Аналогично, из условия Му 0 следует, что

В результате исключения поперечных сил из приведенных условий равновесия приходят к одному условию

Подставив сюда величины моментов согласно (1.6), условие равновесия пластинки можно выразить через прогибы

10