2545

Рис. 2.14

51

3. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Огромное значение в доказательстве теорем строительной механики имеет принцип возможных перемещений, представленный Лагранжем в 1788 г. в книге «Аналитическая механика» и сформулированный для абсолютно твердых тел. Для того чтобы этот принцип проник в механику упругого тела, необходимо было ввести в

рассмотрение работу внешних и внутренних сил для упругих тел.

3.1. Работа внешних сил

Началом широкого энергетического направления в разработке вопросов строительной механики и расчета статически неопределимых систем следует считать момент опубликования теоремы Клапейрона о действительной работе упругих сил (1852). Формула Клапейрона не только учитывает постоянное возрастание внутренних сил в процессе деформирования тела, но дает и для любого упругого тела зависимость работы от напряжения.

Определим работу внешней статически приложенной к некоторой упругой системе нагрузки Р.

Будем полагать, что материал этой системы удовлетворяет закону Гука, а перемещения отдельных точек и сечений прямо пропорциональны величине вызывающей их нагрузки. Например, для системы, изображенной на рис.3.1, эту зависимость можно выразить равенством

где – перемещение по направлению силы Р;

– некоторый коэффициент, зависящий от материала, схемы и размеров сооружения.

Рис. 3.1

Дадим приращение нагрузке dP. Это приращение вызовет возрастание перемещения на d . При этом

Элементарная работа силы P на вертикальном перемещении d равна

52

Интегрируя это выражение в пределах полного изменения силы от 0 до Р, получим формулу для работы внешней статически приложенной силы:

Рис. 3.2

В случае, когда к системе приложена пара сил с моментом М (рис.3.3), то работа вычисляется по формуле

Рис. 3.3

Таким образом, сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение, моменту М – угловое, а для равномерно распределенной нагрузки будем рассматривать площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.

Работа внешней силы при статическом действии нагрузки равна половине произведения значения этой силы на величину соответствующего ей перемещения.

53

При статическом действии на упругую систему нескольких сил работа этих сил равна половине суммы произведений каждой силы на величину соответствующего перемещения от всей группы сил. Например, для балки, изображенной на рис.3.4:

A 12 (P1 1 P1 2 M1 1 M2 2 ) .

Рис. 3.4

В последнем произведении стоит знак «минус», так как направление угла поворота 2 поперечного сечения балки, противоположно направ-

лению момента M2 .

Это положение в строительной механике носит название теоремы Клапейрона. Теорему Клапейрона можно использовать и для вычисления действительной работы внутренних сил.

3.2. Работа внутренних сил

Вырежем из стержня элементарный участок длиной dx (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Здесь внутренние усилия в сечениях можно рассматривать в качестве внешних сил, воздействующих на рассматриваемый элементарный участок. Закрепив его левое сечение, приложим к его правому концу последовательно продольную силу N, изгибающий момент М и поперечную силу Q

(рис.3.6,а,б,в).

54

Рис. 3.6

Относительная деформация под действием силы N равна:

Под влиянием продольной силы правое сечение переместится на величину x .

Под действием изгибающих моментов (см. рис.3.5) взаимный угол поворота торцевых сечений будет равен углу поворота правого сечения

(рис.3.6,б):

d dx Mdx , (3.13)

На рис.3.6,в поперечная сила Q заменена системой равномерно распределенных касательных усилий dF. Сдвиг торцовых сечений элемента dx

где – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения и учитывающийнеравномерностьраспределениякасательныхнапряжений.

55

Тогда работа статически приложенной поперечной силы равна:

При одновременном действии на выделенный элемент dx продольной силы N, изгибающего момента М и поперечной силы Q полная работа будет равна:

Интегрируя выражение (3.16) в пределах длины l каждого участка и суммируя по всем элементам заданной стержневой системы, получаем:

На основании закона сохранения энергии работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации V, которая накапливается системой

Параметры внутренних усилий входят в выражение для потенциальной энергии системы во второй степени, в результате чего потенциальная энергия деформации всегда положительна. Величина потенциальной энергии упругой системы зависит только от начального и конечного состояния системы и не зависит от того, какими путями эта система приведена в конечное состояние.

Экстремальные свойства потенциальной энергии используются для решения сложных задач строительной механики (см. разд. 9).

3.3. Теорема о взаимности работ

Доказательство принципа взаимности работ для любого упругого тела в 1872 г. дал Бетти. Он рассматривал два состояния тела, находящегося под совместным действием поверхностных и объемных сил и, выразив работу через напряжения и перемещения, показал, что множители, относящиеся к обоим состояниям, входят в выражение виртуальных работ симметрично. При этом он принимал во внимание также работу силы инерции. Впоследствии доказательство этой теоремы стали делать гораздо проще, основываясь на том обстоятельстве, что между силами и перемещениями существует

56

линейная связь и что рассматриваемая система консервативна, т.е. затрата работы при переходе из одного состояния в другое остается одной и той же, каковы бы ни были промежуточные состояния.

Обозначим перемещение системы по направлению m от действия силы (нагрузки, смещения и т.п.) n mn . Перемещение mn может быть либо

линейным перемещением, либо угловым поворотом, в зависимости от того, является сила m сосредоточенной силой или сосредоточенным моментом. Под силой n понимается любая нагрузка, действующая на сооружение, например несколько сосредоточенных сил.

Рассмотрим два состояния упругой системы. В первом состоянии на неедействуетстатическаясилаP1, вовторомсостоянии– статическаясила P2 .

Первое состояние

Второе состояние

Рис. 3.7

Здесь 11 – перемещение по направлению силы P1 от действия силы P1;22 – перемещение по направлению силы P2 от действия силы P2 ;12 – перемещение по направлению силы P1 от действия силы P2 ;

21 – перемещение по направлению силы P2 от действия силы P1. Работу силы P1 на вызванных ею перемещениях обозначим A11 .

57

Рассмотрим следующую последовательность нагружения балки. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила P1.

Когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и ее внутренние усилия соответствуют первому состоянию

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила P2

(рис.3.8). В результате система получает дополнительную деформацию и в ней возникают дополнительные усилия, равные деформациям и внутренним усилиям во втором состоянии. При этом сила P1 остается постоянной

и проводит дополнительную работу

Рис. 3.8

Полная работа всех сил при последовательном нагружении равна:

С другой стороны работу внешних сил можно подсчитать как полусумму произведений этих сил на соответствующие перемещения:

Приравняв правые части двух последних соотношений, получим:

58

Значение P1 12 представляет собой работу силы P1 первого состояния на перемещениях по ее направлению, вызванных силами второго состоя-

Т.е. работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Этот вывод носит название теоремы о взаимности работ или теоремы Бетти (Бéтти Энрико (Betti Enrico, 1823-1892), итальянский математик).

Каждое выражение под интегралом можно рассматривать как произведение внутреннего усилия (например M1 ), возникающего в сечении

стержня от сил первого состояния, на деформацию (например MEJ2 dx ) элемента dx , вызванную силами второго состояния.

59

3.4. Теорема о взаимности перемещений

Свойство взаимности, относящееся к упругому телу, было открыто в 1864 г. Максвеллом, доказавшим теорему о взаимности перемещений для шарнирно-стержневой упругой системы, у которой все стержни работают только на растяжение и сжатие:

тп пт .

Максвелл также доказал для фермы следующую лемму: если при действии силы «единица», приложенной между двумя узлами В и С, в некотором стержне S получается условие S = р, то при заданном удлинении этого стержня S 1удлинение отрезка ВС будет также равно р. Применяя современные обозначения, можно сказать,

что для такой системы получается при Р = 1 соотношение r1P P1 . Это соотношение будет использовано в смешанном методе расчета (см. подразд. 5.7).

Рассмотрим упругую систему (рис. 3.9) в двух состояниях. В первом состоянии к системе приложена сила P1 1, во втором – сила P2 1.

Первое состояние

Второе состояние

Рис. 3.9

Обозначим 21 перемещение, вызванное силой P1 первого состояния по направлению силы P2 , а 12 – перемещение по направлению силы P1,

Полученное равенство носит название теоремы о взаимности переме-

щений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

60