2545

или

Так как скалярное произведение векторов U0kU0i и U0iU0k одинаково

(в слагаемых будут переставлены только сомножители), то перепишем последнее соотношение в виде:

j 1

Последнее равенство выражает условие взаимной ортогональности любых двух форм собственных колебаний из состава спектра данной системы. Это значит, что возможная работа сил инерции одной формы колебаний на перемещениях другой формы колебаний равна нулю.

Выражение

называется взаимной обобщенной массой форм k и i. Она равна нулю. А при k = i, k i получаем, что

j 1

в) Решение уравнений вынужденных колебаний путем разложения по собственным формам

Вектор перемещений U (t) представим как сумму произведений

(рис.10.16):

k 1

Здесь qk – обобщенная координата, определяемая из решения дифференциального уравнения

291

Рис. 10.16

Переход от (10.100) к (10.125) становится возможен в силу ортогональности собственных форм колебаний. Действительно, подставив (10.112) в (10.100) и умножив все уравнение слева на транспонированный вектор

k-й формы колебаний VkT , получим:

Но

V1...

VkT MV VkT M Vk [0...VkT MVk ...0]. (10.129)...

Vn

Аналогично

К тому же (VkT MVk ) 1VkT KVk M 1K 2k E .

292

Уравнения (10.125) решаются как уравнения колебаний с одной степенью свободы. После нахождения qk (t) возврат к истинным значениям

U (t) осуществляется по формуле (10.124):

U V q(t) V1 q1(t) V2 q2 (t) ... Vn qn (t). (10.131)

Для большинства нагрузок вклад в решение (10.131) различных форм колебаний уменьшается с ростом номера частоты k; поэтому в практических расчетах учитывают 3-5 первых форм колебаний. Силы инерции определяются из уравнений (10.97). Далее можно вычислить любое усилие S в любом элементе на каждом временном шаге.

г) Методы прямого интегрирования уравнений движения Кроме разложения по собственным формам уравнение динамического

равновесия (10.100) эффективно решается методами прямого интегрирования:

1)методом центральных разностей;

2)методом постоянного (на шаге) ускорения Ньюмарка;

3)методом линейного изменения ускорения с модификацией Вилсона. Покажем использование метода центральных разностей для решения

задачи динамики.

1. Векторы ускорения и скорости представим в конечно-разностном виде:

293

Если векторы Ut и Ut 1 известны, то легко вычисляется и вектор перемещений Ut 1 :

Для начала расчета нужно знать U0 t по известному значению U0 и U0 . Считая, что перемещение имеет параболическую зависимость от времени, по формуле Тейлора получим:

Для решения задачи необходимо, чтобы матрица масс не имела нулевых элементов на главной диагонали.

2. Метод постоянного ускорения Ньюмарка.

В качестве второго метода решения дифференциальных уравнений движения рассмотрим метод Ньюмарка. В этом методе предполагается, что ускорение остается постоянным в пределах шага по времени t (рис.10.17,а), т.е.

294

Используя выражения (10.140) и (10.141), получим формулы для

Из выражений (10.145) и (10.144) можно найти скорость и ускорение в момент времени (t t ), зная скорость и перемещение в момент времени t и перемещение в момент (t t ). Перемещение U (t t) определим из

дифференциального уравнения движения, составленного для момента времени (t t ):

295

Метод Ньюмарка – абсолютно устойчивый метод, т.е. он дает устойчивые решения при любом шаге t . Однако для точного решения шаг должен быть как можно меньшим.

Итак, уравнения метода Ньюмарка в основном цикле имеют вид:

10.12.Современные расчетные комплексы на базе МКЭ

иперспективы развития методов расчета

Способы определения матриц жесткости элементов, сложения их в матрицу жесткости конструкции и решения уравнений равновесия хорошо поддаются автоматизации. Поэтому МКЭ широко используется в различных программных комплексах для определения напряженно-деформиро- ванного состояния конструкций. С помощью этих вычислительных комплексов, базирующихся на варианте МКЭ в перемещениях, выполняется подавляющее большинство расчетов на прочность, устойчивость и колебания. Среди множества программных комплексов можно отметить такие, как ANSYS, COSMOS/M, NASTRAN, ЛИРА, SKAD, STARK и др.

МКЭ отличает широкая область применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительная простота учета взаимодействия конструкций с окружающей средой (механические, температурные, коррозионные воздействия, граничные условия и т.д.), высокая степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета. Метод имеет простую физическую интерпретацию и тесно связан с методом перемещений, который широко используется в строительной механике.

«Несмотря на множество достоинств, этот метод вряд ли может быть последним словом в численном анализе в том виде, в котором он существует в настоящее время. Его следует рассматривать как одну из многочисленных ступеней развития средств численного исследования при проектировании» (Р. Галлагер – один из теоретиков МКЭ).

296

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном учебнике автор старался изложить материал так, чтобы наиболее наглядной была физическая сторона каждого метода и каждого примера. Изучающий предмет студент должен вручную (или с помощью простого математического пакета) попробовать работу любого из рассмотренных методов и способов решения задач, прочувствовать работу несущих конструкций. Более сложные математические выкладки строительной механики, присущие двух- и трехмерным объектам расчета (пластинчатым, и объемным конструктивным элементам), а также нелинейные задачи, задачи теории ползучести, механики разрушения, гашения колебаний, оптимизации и т.п. целесообразно осваивать с помощью специальной учеб- но-методической и научной литературы.

После изучения строительной механики инженер способен анализировать работу конструкций при проектировании, строительстве и эксплуатации и может дополнительно освоить какой-либо расчетный комплекс (SCAD, ЛИРА и т.п.) для расширения своих возможностей.

297

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Леонтьев, Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем [Текст] / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.: АСВ, 1996. – 542 с.

2.Дарков, А.В. Строительная механика [Текст] / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. – М.: Высшая школа, 1976. – 607 с.

3.Смирнов, А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений [Текст] / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошкиков. – М.: Стройиздат, 1984. – 415 с.

4.Смирнов, А.Ф. Строительная механика. Стержневые системы [Текст]

/А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошкиков. –

М.: Стройиздат, 1980. – 512 с.

4.Бурчаков, Ю.И. Строительная механика [Текст] / Ю.И. Бурчаков, В.Е. Гнедин. – М.: Высшая школа, 1983. – 255 с.

5.Игнатьев, В.А. Основы строительной механики [Текст] / В.А. Игнатьев, В.В. Галишникова. – М.: АСВ, 2009.

6.Клейн, Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики [Текст] / Г.К. Клейн [и др.]. – М.:Высшая школа, 1980. – 384 с.

7.Бабанов, В.В. Строительная механика. Определение усилий в статически определимых балках и рамах от неподвижной нагрузки [Текст]: метод. указания / В.В. Бабанов, В.М. Воронина, А.Г. Егоян. – Л.: ЛИСИ, 1982. – 67 с.

8.Снитко, Н.К. Строительная механика [Текст] / Н.К. Снитко. – М.: Высшая школа, 1980. – 431 с.

9.Секулович, М. Метод конечных элементов [Текст] / М. Секулович. –

М.: Стройиздат, 1993. – 664 с.

10.Киселев, В.А. Строительная механика. Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений [Текст] / В.А. Киселев. – М.: Стройиздат, 1969. – 431 с.

11.Трушин, С.И. Метод конечных элементов [Текст] / С.И. Трушин. –

М.: АСВ, 2008. – 256 с.

12.Dacko M., Mossor A.,Wojda S. Analiza statyczna structury pretowei metoda elementov skonczonych. Inz. I Bud. nr 2, 1976.

13. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст] /

О. Зенкевич. –М.: Мир, 1975. – 542 с.

14.Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы [Текст] / Р. Гал-

лагер. – М.: Мир, 1984. – 428 с.

15.Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов [Текст] / К. Бате, Е. Вилсон. – М.: Стройиздат, 1982. – 448 с.

16.Постнов, В.А. Численные методы расчета судовых конструкций [Текст] / В.А. Постнов. –Л.: Судостроение, 1977. – 280 с.

17.Масленников, А.М. Основы динамики и устойчивости стержневых систем [Текст] / А.М. Масленников. – М.-СПб.: АСВ, 2000. – 203 с.

18.Леонтьев, Н.Н. История развития строительной механики [Текст] / Н.Н. Леонтьев, Р. Аль Малюль. – М.: МГСУ, 2009. – 46 с.

298

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Матрицы и операции с ними

Матрицы – это упорядоченные массивы чисел (таблицы), которые понимаются как единое целое. Например,

– матрица порядка 2x4 (2 строки, 4 столбца).

x1x2

Матрица X x3 имеетпорядок5 1 иназываетсявектором-столбцом.x4

x5

Квадратная матрица – это матрица, имеющая равное количество строк и столбцов, например:

Матрица называется симметричной, если элементы, лежащие на противоположных сторонах главной диагонали, равны aij a ji . Например,

Матрица, у которой ненулевые элементы имеются только на главной диагонали и выше (или ниже), называется треугольной.

299

Продолжение прил. 1

Матрицей, транспонированной по отношению к матрице А, называется матрица AT , столбцами которой являются строки матрицы А. Например,

4

A1 2 , A1T 4 2 7 , 7

Для симметричной матрицы AT A.

Ранг квадратной матрицы – это количество линейно независимых столбцов (или строк). Например, ранг матрицы А

равен 3, т.к. все три столбца являются элементами единичной матрицы. Ранг матрицы определяется с помощью линейных комбинаций строк

или столбцов.

Действия с матрицами :

1.Умножение матриц на число

2 3 A 1 4

2. Сложение (вычитание) матрицы.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый порядок.

300