2545

10.9. Пример расчета плоской конструкции МКЭ

Конструкция состоит из плоского диска и одного стержня (рис.10.13,а). Конструкцию можно разделить на следующие конечные элементы: диск можно «разбить» на три плоских треугольных конечных элемента (I,II,III), иодинконечныйэлементбудетэлементомстержневоготипаIV (рис. 10.13,б).

Рис. 10.13

Пронумеруем узлы и узловые перемещения (рис. 10.14).

Рис. 10.14

Для упрощения процесса формирования матриц жесткости элементов примем:

С помощью формул (10.75) вычислим матрицы жесткости плоских треугольных конечных элементов.

281

В данном случае плоский диск состоит из конечных элементов двух типов (рис. 10.15, а, б).

Рис. 10.15

Буквой k обозначим матрицу жесткости, соответствующую перемещениям, показанным на рис. 10.15, а буквой k – матрицу жесткости, соответствующую перемещениям рассчитываемой системы (см. рис. 10.14).

Тогда можно записать

282

и т. д.

Матрицы жесткости элементов примут вид: 5 6 7 8 1 2

54 2 3 1 1 1

62 4 1 1 1 3

34 2 3 1 1 1

42 4 1 1 1 3

74 2 3 1 1 1

82 4 1 1 1 3

283

Матрицу жесткости всей конструкции получим, складывая элементы матриц, соответствующие одинаковым номерам степеней свободы (номерам узловых перемещений, рис.9.14).

Уравнение МКЭ в форме метода перемещений имеет вид:

Р К U .

Составим эти выражения, учитывая, что

u1 u2 u5 u6 u11 u12 0;

и, следовательно, исключив строки с этими перемещениями из системы уравнений, получим:

P3 0 5u3 2u4 2u7 2u8 0 u9 1u10;P4 100 2u3 7u4 2u7 6u8 1u9 0 u10;

P7 0 2u3 2u4 8u7 2u8 3u9 1u10;P8 100 2u3 6u4 2u7 8u8 1u9 1u10;

P9 0 0 u3 1u4 3u7 1u8 3u9 0 u10;P10 100 1u3 0 u4 1u7 1u8 0 u9 2 u10.

Решение данной системы уравнений дает следующие значения перемещений:

284

Зная перемещения узлов, можно для каждого отдельного элемента

10.10. Расчет стержневых систем на устойчивость МКЭ

Для сжато-растянуто-изогнутого стержня потенциальная энергия де-

В (10.80) два первых слагаемых известные компоненты осевой и изгибной деформации (рис.10.15,а), а третий член, который является нелинейным, учитывает изменение геометрии стержня от прогиба (рис.10.15,б). Для этого третьего компонента выражение получается из следующих соображений (рис.10.15,б):

Рис. 10.15

285

Разлагая выражение в правой части в ряд, получаем:

Здесь учитываются только два члена ряда. Второе слагаемое соотношения (10.82) и является третьим членом выражения (10.83).

Перепишем соотношение для потенциальной энергии (10.78) с учетом

(10.79) и (10.70):

Потенциальная энергия деформации призматического стержня равна:

По первым двум слагаемым выражения (10.87) ранее была построена матрица жесткости сжато-изогнутого стержня шестого порядка. Для третьего слагаемого формулы можно записать:

286

Здесь k Г – матрица, учитывающая изменение геометрии системы. Она называется геометрической матрицей жесткости. При

Выражение для потенциальной энергии деформации стержня теперь можно записать в виде:

При этом уравнение равновесия конструкции примет вид:

С помощью уравнения (10.93) можно решать задачу продольнопоперечного изгиба для стержневых систем или производить расчет по деформированной схеме.

Если при одной и той же нагрузке возможны два бесконечно близких равновесных состояния, то система находится в критическом состоянии и возможна потеря устойчивости. Пусть начальный вектор перемещений U1,

второй возможный вектор перемещений U1 U . Тогда

287

Условие потери устойчивости находится из нетривиального решения однородной системы уравнений – равенства нулю определителя:

Уравнение (10.96) позволяет определить весь спектр критических нагрузок и соответствующие им формы потери устойчивости.

10.11. МКЭ в задачах динамики

а) Дифференциальное уравнение динамического равновесия. Собственные формы и частоты

При применении метода конечных элементов рассчитываемая конструкция покрывается сеткой и в качестве обобщенных координат qi

используются перемещения узлов Ui и производные от них. Распреде-

ленная в исходной конструкции масса приводится к сосредоточенным узловым массам. К узловым силам Pi , которые могут изменяться во

времени, добавляются силы инерции

Решение матричного уравнения (10.100) можно провести путем разложения движения по собственным формам. В этом случае необходимо определить частоты собственных колебаний.

Для определения частот и форм собственных колебаний положим

288

После подстановки (10.103) в (10.102) и сокращения на sin(t 0 ) имеем:

или

Решение системы однородных алгебраических уравнений (10.105) запишем в виде равенства нулю определителя:

Рассмотрим подробнее матрицу масс. Для масс, сосредоточенных в узлах, матрица масс является диагональной матрицей, т.е. все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

Например, для системы, элементы которой могут перемещаться в пространстве, матрица масс имеет вид:

289

При этом векторы перемещений и ускорений запишутся так:

Частотное уравнение (10.107) имеет n корней, где n – число степеней свободы системы. Частотное уравнение можно решать приближенно, итерационно изменяя параметр (или ) с малым шагом и отслеживая знак определителя. Шаги, на которых определитель меняет знак, приближенно соответствуют корню векового уравнения.

б) Ортогональность собственных форм колебаний

Скалярное произведение векторов X и Y определяется выражением

i 1

Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Рассмотрим некоторую k-ю форму собственных колебаний. Для собственных колебаний k-й формы перемещение любой точки определяется зависимостью

где j – номер точки.

Вектор перемещений k-й формы собственных колебаний можно записать в виде:

Здесь вектор U0k – вектор амплитудных коэффициентов k-й формы. Вектор сил инерции

В амплитудном состоянии sin равен единице, и вектор инерционных сил равен

а вектор перемещений узлов – U0k .

Для i-й формы колебаний векторы сил инерции и вектор перемещений Ji M i2U0i и U0i , соответственно. Составим условие взаимности работ этих двух состояний:

290