2545

Решив матричное уравнение в Mathcad, получим:

Внутренние усилия от узловой нагрузки имеют величину:

S k AT Z .

Эпюра изгибающих моментов S в кН мпоказана на рис. 9.22.

Рис. 9.22

251

Окончательная эпюра моментов находится путем сложения двух эпюр:

Mок S S0.

Эта эпюра показана на рис. 9.23.

Рис. 9.23

252

10.МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

10.1.Идея метода

Внастоящее время большинство практических задач по определению напряженно-деформированного состояния конструкций решается с помощью двух численных методов – метода сеток (метод конечных разностей)

иметода конечных элементов.

При использовании метода сеток все дифференциальные уравнения и краевые условия заменяют приближенно уравнениями в конечных разностях, которые получают путем замены в них производных через разностные отношения или значения функций в отдельных точках. Эти точки являются узлами сетки, которую определенным образом накладывают на рассчитываемую конструкцию. При этом решение системы дифференциальных уравнений преобразуется к системе алгебраических уравнений большей размерности.

Вметоде конечных элементов разбиение конструкции на отдельные элементы производится как бы до составления дифференциальных уравнений равновесия этих элементов. Использование энергетического подхода в сочетании с экстремальными свойствами потенциальной энергии деформации и приближенным решением вариационной задачи приводит к разрешающей системе линейных алгебраических уравнений.

Впоследнее время большинство расчетных программ и программных комплексов составлено именно на основе метода конечных элементов.

Развитие МКЭ шло по двум направлениям. С одной стороны, МКЭ развивался как некоторая разновидность вариационно-разностного метода решения задач математической физики. С другой стороны, он разрабатывался на основе методов строительной механики стержневых систем, в частности метода перемещений. Начала этих направлений заложены в работах Р. Куранта, Мак Генри, А.Хренникова еще в 40-х годах 20 века. Постепенно оба эти направления стали объединяться. Важный вклад был внесен М.Дж. Тернером, Дж. Аргиросом, Р.В. Клафом. Впервые термин «конечный элемент» появился в статье Р.В. Клафа, посвященной решению плоской задачи теории упругости.

Основная идея метода заключается в следующих действиях. Представим рассчитываемую конструкцию в виде элементов простой формы, соединенных между собой в отдельных точках – узлах. При этом искомые непрерывные величины (перемещения, деформации, напряжения) внутри каждого конечного элемента выражаются с помощью аппроксимирующих функций через узловые значения этих величин. Распределенные внешние нагрузки заменяются эквивалентными узловыми силами. Пусть состояние конструкции описывается с помощью некоторого энергетического функ-

253

ционала Э (U). При дискретизации конструкции на конечные элементы энергетический функционал представляется в виде суммы

i 1

где Эi (Ui ) – значение функционала Э(U) в замкнутом объеме i-го конечного элемента;

Ui – вектор узловых перемещений i-го элемента;

n – количество конечных элементов. Условия стационарности функционала

приводят к системе алгебраических уравнений, решение которой дает значение искомых узловых неизвестных.

Под влиянием нагрузки все точки деформируемого тела получают перемещения. Определение точного положения всех точек системы чрезвычайно трудная задача. Задача значительно упрощается, если мы ограничиваемся определением перемещений конечного числа точек, называемых узлами. Перемещения остальных точек будут определяться на основе интерполяции. Определив перемещения, можно найти деформации и напряжения.

10.2. Полная потенциальная энергия

и ее экстремальные свойства

При решении многих задач строительной механики в рассмотрение вводится функционал, содержащий одновременно работу как внутренних, так и внешних сил, действующих на конструкцию или отдельный элемент. Этот функционал носит название потенциальной энергии упругой системы и определяется в виде

Полную потенциальную энергию упругой системы можно трактовать как работу, совершаемую внутренними и внешними силами, при переходе системы из деформированного в начальное недеформированное состояние.

254

При этом внутренние силы будут совершать действительную положительную работу VП, а внешние силы – возможную отрицательную работу

АП , вычисляемую как полное произведение обобщенной внешней силы на пройденный ею путь:

Полная потенциальна энергия обладает одним замечательным свойством: в действительном состоянии равновесия она минимальна. Покажем это на примере простой балки, находящейся под действием обобщенной силы Р.

Рис. 10.1

Пусть – функция прогибов балки в направлении оси y; М(x) – эпюра

изгибающих моментов. Тогда, пренебрегая работой поперечных сил, полную потенциальную энергию изгиба балки можно представить в виде

Посмотрим, как будет изменяться потенциальная энергия, если мы будем по произвольному закону менять (варьировать) изогнутую ось балки. Пусть, например, все ординаты изогнутой оси мы увеличим в n раз, где n – произвольное число, несколько большее 1 (или несколько меньшее 1). Тогда

2 n;2 n;

M2 nM .

Следовательно,

255

Т.е. потенциальная энергия – это функция второй степени от коэффициента пропорциональности n 2 . График зависимости Э – n показан на рис. 10.2.

Рис. 10.2

По этому графику видно, что потенциальная энергия имеет минимальное значение при n=1, т.е. в действительном состоянии равновесия балки. Отсюда следует важный вывод о том, что из всех возможных деформированных состояний то состояние имеет место, которое сообщает потенциальной энергии минимальное значение. Экстремум функционала потенциальной энергии определяется с помощью вариации

При этом если функции, доставляющие минимум функционалу, должны быть определены только в некоторых узловых точках, то условие экстремальности (10.8) преобразуется к виду:

где Ui – вектор узловых перемещений i-го элемента.

10.3. Шарнирно-стержневые системы,

работающие только на растяжение-сжатие

Рассмотрим растянутый стержень, показанный на рис. 10.3. Зная координаты (х1,y1), (х2,y2) концов 1 и 2 стержня, можно определить его длину l и направляющие косинусы и синусы с и s.

256

Перемещения стержня определяются составляющими (и1, v1) и (и2, v2) перемещений его концов. Сгруппируем их в одну матрицу-столбец, называемую вектором обобщенных перемещений:

Рис. 10.3

Удлинение стержня равно проекции разности перемещений его концов на ось стержня:

Этот же результат можно записать в форме:

257

где k – симметричная матрица жёсткости стержня,

Если конструкция представляет собой систему элементов, то её можно представить в виде отдельных элементов, соединенных в узлах. Составляющие перемещений всех узлов конструкции образуют вектор обобщенных перемещений конструкции. Элементы соединяются между собой в одно целое. Это выражается в том, что составляющие перемещений данного элемента являются выбранными составляющими перемещений конструкции. Упругая энергия конструкции определяется как сумма упругих энергий её элементов, отсюда следует, что

где ki – матрица жесткости i-го элемента (которая может быть дополнена нулевыми столбцами и строками с тем, чтобы матрица ki имела размеры, равные числу степеней свободы конструкции или размеры матрицы K).

Матрица жесткости всей конструкции

представляет собой сумму матриц жесткости её элементов. Предположим, что к конструкции в узлах приложены силы Р1, Р2,…,

Рn, соответствующие перемещениям и1, и2, …, иn, таким образом, что каждая статически приложенная сила Рi может на перемещении иi выполнить

работу 12 Pi ui. Если иi – перемещение узла в направлении оси х, то Рi пред-

ставляет собой сосредоточенную силу в этом узле, направленную вдоль оси х. Если иi – перемещение узла в направлении оси y, то Рi – сила в этом узле, направленная вдоль оси y. Эти силы группируются в вектор обобщенных внешних сил, действующих на конструкцию:

P1

P

P 2 . (10.22)

Pn

258

Работа внешних сил равна :

Работа внешних сил превращается в упругую энергию деформации

Выражения (10.27) представляют собой уравнение равновесия для незакрепленной конструкции. В опорных узлах и в узлах с заданными смещениями необходимо задать величины некоторых перемещений ul .

Такие перемещения мы будем называть фиксированными или известными. После подстановки их значений в уравнения (10.27) члены уравнений, содержащие эти перемещения, переносятся в левую часть, а правая будет содержать только подвижные (неизвестные) перемещения. В уравнениях (10.27) следует опустить те уравнения, в которых силы Рj соответствуют фиксированным перемещениям.

Из оставшихся уравнений определяем подвижные (неизвестные) перемещения. После этого из уравнений для Рj можно определить реакции опор конструкции R j

l 1

В МКЭ уравнения равновесия (10.26) обычно получают, используя экстремальные свойства функционала полной потенциальной энергии деформации упругой системы. Полная потенциальная энергия упругой

259

системы – это работа, совершаемая внешними и внутренними силами при переходе системы из деформированного в недеформированное состояние:

где VП потенциальная энергия деформации, равная работе внутренних сил системы;

AП работа внешних сил.

При этом внутренние силы будут статически убывать, и их работа будет иметь коэффициент 1/2, а внешние силы будут сохранять постоянное значение, и их работа будет иметь коэффициент 1. Следовательно,

Согласно принципу Лагранжа, для системы, находящейся в состоянии действительного равновесия, полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. Это условие записывается в виде:

260