2545

После определения перемещений Z внутренние усилия S могут быть найдены по формуле (9.41), в которую нужно подставить значение E из выражения (9.40):

Заметим, что в стержнях, загруженных внеузловой нагрузкой, к усилиям (9.41) нужно добавить те усилия S0, которые возникают в стержне от уравновешенной системы сил (см. рис. 9.7, б). Таким образом, для загруженных стержней будем иметь:

В методе перемещений достаточной проверкой правильности полученного решения является статическая проверка, заключающаяся в проверке выполнения условий равновесия узлов системы. Поэтому для проверки результатов расчета нужно подставить полученный вектор S усилий в исходное уравнение равновесия (9.39), т.е. умножить его слева на статическую матрицу A и результат сравнить с вектором узловых сил P, на действие которых производится расчет:

Втом случае, если конструкция рассчитывается на s вариантов загружения, то P и S будут уже не векторами, а матрицами, содержащими

по s столбцов.

Заметим, что получение обратной матрицы K-1 требует большего числа вычислений, чем прямое решение системы уравнений (9.44). Доказано, что имеет смысл обращать матрицу A лишь при большом числе вариантов загружения, т.е. когда отношение числа загружений s к порядку п системы уравнений (9.44) превышает 0,6: s / n > 0,6.

Вреальных задачах число загружений всегда много меньше числа неизвестных; поэтому в существующих программах расчета обычно не используется обращение матрицы K, а рассматриваются различные способы прямого решения системы уравнений (9.44).

Заметим также еще раз, что матричное уравнение (9.44) полностью тождественно системе канонических уравнений классического варианта

метода перемещений: каждый элемент kij матрицы жесткости системы K равен коэффициенту rij, представляющему собой реактивное усилие в связи i по направлению перемещения zi от смещения связи j на единицу.

9.7. Примеры расчета

Пример №1. В качестве первого примера рассмотрим расчет рамы (рис. 9.13) на действие заданной узловой нагрузки.

241

Матрица коэффициентов уравнений равновесия, или статическая матрица:

Для формирования матрицы внутренней жесткости запишем матрицы жесткости каждого стержня рамы:

244

Матрица внутренней жесткости может быть теперь представлена в виде:

Здесь k [K]..

Уравнения равновесия перепишем в виде:

A[K]AT Z P ,

или

KZ P .

Решим систему уравнений:

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.16.

245

На рис. 9.19 показаны узлы системы с приложенными к ним силами. Составим уравнения равновесия узлов рамы (рис. 9.21).

Рис. 9.21

Узел А:

Fkx 0, N2 Q1 5 0;

Fky 0, N1 Q2 9 0.

Узел Б:

Fkx 0, N2 N4 Q3 0;

Fky 0, N3 Q2 Q4 15 0;

M 0, M2 M3н M4 18 0.

Узел С:

Fkx 0, N4 Q5 0;

Fky 0, N5 Q4 0.

248

Заменим поперечные силы концевыми моментами (см. рис. 9.20):

Имеем 11 неизвестных внутренних усилий:

N1, M1, N2 , M2 , N3, M3н, M3k , N4 , M4 , N5, M5.

Расположим усилия S1...S11 в следующем порядке:

Составим таблицу, соответствующую матричному уравнению равно-

весия:

AS P 0.

Или для программного комплекса Mathcad:

249

Матрица внутренней жесткости стержневой системы k=[K] имеет вид:

Как известно, в данном примере Е=2 1011Н/м2, F=20 10-4 м2, I=11 10-6 . Решим систему матричных уравнений относительно узловых

перемещений:

Z A k AT 1 P .

250