2545

выполняются условия линейной деформируемости. Тогда согласно (9.4) или (9.5) уравнения равновесия могут быть записаны в следующем виде:

Геометрические уравнения согласно (9.8) записываются следующим образом:

Раскрывая скобки и сопоставляя члены левой и правой частей выражения (9.29), нетрудно убедиться, что это равенство будет иметь место только в том случае, если выполняется условие

Это означает, что геометрические уравнения (9.27) могут быть записаны в виде

Отсюда с необходимостью вытекают соотношения двойственности статических и геометрических уравнений линейно деформируемой стержневой системы, т.е.

Доказательство двойственности можно произвести в матричной форме. Возможная работа внешних сил

231

9.4. Общая характеристика методов расчета статически неопределимых систем

В статически неопределимых стержневых системах число неизвестных превышает число уравнений равновесия. Поэтому для системы уравнений равновесия, записанной в матричной форме:

AS P , (А)

матрица А будет прямоугольной, размерами n m, где т – число неизвестных усилий; п – число уравнений равновесия.

Число лишних связей л определяет необходимое количество дополнительных уравнений, которые должны быть составлены на основании условий совместности деформаций.

Введем в рассмотрение вектор Z z1 z2 ... zn T , компоненты которого

определяют п возможных перемещений заданной стержневой системы. Тогда на основании свойства двойственности статических и геометрических уравнений можно составить следующую систему уравнений:

AT Z E , (В)

где E e1 e2 ... en T – вектор деформаций.

Нетрудно видеть, что в совокупности уравнения (А) и (В) образуют систему из (п + т) уравнений относительно (п + 2 т) неизвестных: т усилий S, т деформаций ei и n перемещений Z.

Недостающие уравнения в количестве т можно составить с помощью матрицы внутренней жесткости, отражающей физическую сторону задачи:

[K]E S. (С)

Совокупность уравнений (А), (В) и (С) описывает математическую модель задачи расчета статически неопределимой стержневой системы:

232

Данная формулировка задачи расчета статически неопределимых систем является наиболее общей и определяет матричный метод расчета этих систем, который будет изложен ниже. Этот метод существенно ориентирован на использование вычислительной техники и требует решения некоторых вопросов, связанных с алгоритмизацией вычислительного процесса. В учебном курсе в этом смысле удобно использовать Mathcad.

С этой точки зрения более удобным оказывается другой машинный метод расчета, носящий название метода конечных элементов; подробное изложение этого метода будет приведено позднее в разд. 10. В настоящее время существует целый ряд версий этого метода, реализованных в различных вычислительных комплексах и широко применяющихся в практике проектирования.

Существование машинных методов расчета отнюдь не отменяет необходимости изучения традиционных классических методов расчета статически неопределимых систем, предназначенных для так называемого ручного счета.

Для классического подхода к расчету статически неопределимых стержневых систем характерно стремление к максимально возможному сокращению числа разрешающих уравнений (Д). В зависимости от того, каким путем достигается это сокращение, различают два основных метода – метод сил и метод перемещений.

В методе сил в качестве неизвестных принимаются усилия в лишних связях, для определения которых составляются уравнения, имеющие смысл уравнений совместности деформаций. В методе перемещений вводятся дополнительные связи, препятствующие возможным перемещениям заданной системы, которые и являются неизвестными этого метода. Из предыдущего изложения (разд. 4, 5) можно увидеть, что количество разрешающих уравнений в этих классических методах строительной механики существенно меньше числа уравнений (Д) матричного метода расчета.

Идея одновременного применения метода сил и метода перемещений для расчета заданной стержневой системы осуществляется в смешанном методе (см. разд. 5).

9.5. Матричный метод перемещений. Основные понятия.

Внешние и внутренние силы стержневой системы

Матричная форма решения не позволяет определить искомые величины в виде непрерывных функций, а дает лишь их числовые значения для фиксированных сечений сооружения. В связи с этим необходимо уточнить определение расчетной схемы сооружения, под которой мы будем понимать ансамбль прямых стержней постоянного сечения, соединенных между собой жесткими или шарнирными узлами, при условии, что все

233

внешние воздействия заменены эквивалентными силами, приложенными в этих узлах.

При наличии в заданной системе прямолинейных стержней с переменной жесткостью (рис. 9.6,а) будем заменять их стержнями со ступенчато изменяющейся жесткостью, рассматривая каждую такую ступень в качестве отдельного стержня, а сечения, где скачкообразно меняются жесткости, – в качестве узлов (рис. 9.6,б). Очевидно, что точность расчета будет повышаться с увеличением числа разбиений. При расчете криволинейных стержневых систем: арок, колец, криволинейных ригелей (рис. 9.6,а) и т.д. – будем заменять их ломаной вписанной фигурой (см., например, рис.9.6,б), составленной из прямых линий, число узлов которой, принимаемых за узлы расчетной схемы, определит точность расчета.

Рис. 9.6

234

Узловые нагрузки Pi (силы и моменты) будем считать соответствующими возможным перемещениям узлов zi и действующими в направлении этих перемещений. Число возможных перемещений узлов системы или степень ее кинематической неопределимости можно назвать также степенью свободы системы. Она совпадает, естественно, с числом возможных внешних узловых сил. Так для рамы, изображенной на рис. 9.7,а, число степеней равно девяти (см. рис. 9.7,б) (вертикальные перемещения z2 и z7

ввиду их малости на рисунке не показаны). Знак узловых сил считается положительным, если их направления совпадают с направлениями, выбранными для возможных перемещений zi .

Рис.9.7

Переход от заданных внешних воздействий к узловым силам осуществляется с помощью основной системы метода перемещений, в которой все узлы закреплены от перемещений и каждый стержень представляет собой независимую от других однопролетную балку. Например, для рамы (рис.9.7,а) основная система метода перемещений представлена

235

на рис. 9.8,а. Если эта рама загружена на участке 2-3 (рис. 9.8,а), то с помощью табл. 5.1 (рис. 9.8,б) найденные в ее опорах реакции приложим как узловые силы к заданной системе (рис. 9.8, в).

Рис.9.8

Аналогичным образом могут быть приведены к эквивалентным узловым силам и другие воздействия на заданную систему, что будет показано далее при рассмотрении примеров расчета.

Поскольку направления положительных узловых сил, по условию, совпадают с направлениями выбранных возможных перемещений узлов, можно ввести понятие о диаграмме P–z, на которой номерами показываются выбранные положительные направления перемещений и узловых сил. Для рассматриваемой рамы (рис. 9.7) такая диаграмма перемещений приведена на рис. 9.9.

236

При выводе матриц внутренней жесткости внутренний момент мы будем считать положительным, если в начале местной системы координат он вращает стержень по часовой стрелке, а в конце стержня – против часовой стрелки. Узел под действием положительного момента вращается против часовой стрелки. При принятом правиле знаков для моментов перерезывающая сила в каждом стержне i-k остается постоянной и определяется по формуле

Qj = (Mi – Mk) / lj. (9.36)

На рис. 9.11 приведена диаграмма S–е для рамы, показанной на рис. 9.7.

На рис. 9.12 изображены узлы этой рамы с действующими на них силами. Этот рисунок нужен для составления статических уравнений (для заполнения статической матрицы).

Следует отметить, что на диаграмме S–е в рамах при нумерации сечений концы каждого стержня должны иметь последовательные номера, что упростит в дальнейшем задачу составления матрицы внутренней жесткости [K] рассматриваемой системы.

Таким образом, приступая к расчету заданной системы матричным методом перемещений, необходимо:

1. Определить степень кинематической неопределимости или степень свободы системы, т.е. возможные перемещения ее узлов, и в

Рис. 9.10 соответствии с этим построить диаграмму P–z.

238

2. Заданные внешние воздействия привести к узловым силам и

сформировать матрицу (или вектор) внешних сил P .

3. Уточнить характер искомых внутренних усилий и сечения, в которых они возникают, и построить диаграмму S–е.

Рис. 9.11

Рис. 9.12

9.6. Последовательность расчета матричным методом

перемещений

Из изложенного выше следует, что расчет любой системы начинается с рассмотрения условий равновесия и формирования статической матрицы А. Если при этом матрица А окажется квадратной, т.е. заданная система будет статически определимой, то из уравнения

239

что и завершает расчет.

В том случае, если матрица А получится прямоугольной при т > п, т.е. заданная система окажется статически неопределимой, то помимо уравнений (9.38) нужно будет рассмотреть и геометрические (9.9), и физические (9.17) уравнения.

Выпишем поэтому еще раз эти уравнения, отражающие три стороны статически неопределимой задачи:

1. Уравнения равновесия

Подставив в формулу (9.47) выражение (9.49) для внутренних сил S и заменив вектор деформаций E через его значение (9.48), получим систему разрешающих уравнений относительно перемещений Z:

Матрица K, устанавливающая связь между внешними факторами системы (узловыми внешними силами и перемещениями узлов), называется

матрицей внешней жесткости или матрицей жесткости конструкции.

Эта матрица всегда является квадратной матрицей порядка п и поэтому может иметь обратную матрицу K-1. Это означает, что система уравнений (9.44) может быть решена в виде:

Таким образом, для определения перемещений узлов системы необходимо построить только три матрицы: статическую матрицу A, матрицу внутренней жесткости [K] и вектор внешних узловых сил P, что не требует сложной работы.

240