2545

Причем, как показывают экспериментальные исследования, каждая из этих расчетных схем является наиболее рациональной для решения соответствующей задачи.

Расчетная схема одного стержня может быть представлена линией, соединяющей центры тяжести сечений. Эта линия может быть как прямой (рис. 1.5,а) (из прямых стержней составлены рамы и балки), так и кривой (арки) (рис.1.5,б). Сечение стержня определяет его геометрические и жесткостные характеристики: площадь поперечного сечения А, жесткость на растяжение и сжатие ЕА, жесткость на изгиб EJ и т.д.

Рис. 1.5. Идеализация бруса в расчетной схеме

Рассмотрим основные способы идеализации связей между элементами стержневых систем.

Под связью будем подразумевать некоторое устройство, снижающее число степеней свободы на единицу. При составлении расчетных схем сооружений одиночная связь изображается в виде, показанном на рис.1.6,а.

Рис. 1.6. Одиночная связь двух стержней

Если такая связь соединяет стержень с основанием (рис. 1.7), то она называется шарнирно-подвижной опорой.

Рис. 1.7. Одиночная связь стержня и основания

11

Одиночная связь исключает возможность взаимного перемещения элементов по направлению этой связи. В статическом отношении одиночная связь характеризуется усилиями взаимодействия V (рис. 1.6,б, 1.7,б).

Простой шарнир (рис. 1.8,а) представляет собой идеализацию подвижного (всмыслеповоротов) сочленениядвухэлементовплоскойстержневойсистемы.

Рис. 1.8. Шарнирное сочленение двух элементов плоской стержневой системы

Если в качестве одного из элементов выступает основание (рис. 1.9,а), эта связь называется шарнирно-неподвижной опорой. Усилия, передаваемые от этой связи на стержень, показаны на рис. 1.9,б. Другие способы изображения этой опоры приведены на рис. 1.9,в, г, д.

Рис. 1.9. Шарнирное соединение стержня с основанием

С точки зрения кинематики введение простого шарнира эквивалентно постановке двух одиночных связей, уничтожающих две степени свободы взаимной неподвижности, – двух линейных перемещений. В статическом отношении простой шарнир характеризуется двумя составляющими сил взаимодействия (рис.1.8,б) или двумя реакциями (рис. 1.9,б).

Шарнирные узлы могут иметь и более сложное строение, если в узле сходится три и более стержня. В таком случае шарнир называется сложным или кратным. Каждый сложный шарнир эквивалентен (кратен) определенному числу простых шарниров.

Рис. 1.10. Шарнирное сочленение нескольких элементов плоской стержневой системы

12

Например, на рис. 1.10,а изображен простой шарнир, на рис. 1.10,в кратность шарнира равна двум, на рис. 1.10,г кратность шарнира равна трем. Т.е. кратность шарнира К определяется числом стержней n, сходящихся в узле

На рис. 1.10д приведен случай, когда шарнир объединяет три стержня и кратность шарнира в этом соединении равна

K 3 1 2 .

Жесткий узел (рис. 1.11,а) характеризуется полным уничтожением степеней свободы взаимной подвижности элементов. При повороте такого узла сечения обоих стержней в месте соединения поворачиваются на одинаковые углы. Статические характеристики жесткого узла приведены на рис. 1.11,в. Случаи жесткого опорного узла изображены на рис. 1.11,в, г.

вг

Рис. 1.11. Жесткий узел и жесткое защемление

Промежуточное значение между шарнирным и жестким соединением узлов занимает модель упругоподатливого узла (рис. 1.12,а, б).

Рис.1.12. Упругоподатливый узел

1.3. Классификация расчетных схем стержневых систем

Широкое распространение в практике проектирования строительных конструкций получили стержневые системы в виде:

а) балочных систем (балки) (рис. 1.13),

13

е) висячих систем (рис. 1.18),

Рис. 1.18. Висячая система

ж) комбинированных систем (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Комбинированная система

Все рассматриваемые системы являются плоскими. Из числа пространственных систем выделим рамные каркасы (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Пространственный каркас

Существует еще два критерия классификации стержневых систем: кинематический и статический.

По кинематическому признаку стержневые системы могут быть разделены на три категории: геометрически неизменяемые, или кинематически неподвижные, геометрически изменяемые, или кинематически подвижные, и мгновенно изменяемые. В свою очередь, геометрически неизменяемые системы могут иметь необходимое число связей или избыточное число связей.

Геометрически неизменяемая система – это система соединенных между собой тел, не допускающая относительного перемещения ее частей без их деформаций. Системы, у которых конечные взаимные

15

перемещения элементов возможны без их деформаций, называются геометрически изменяемыми.

Мгновенно изменяемая система представляет собой исключительный случай геометрически неизменяемой системы: в ней без изменения длин элементов и их деформаций допускаются бесконечно малые перемещения.

В практике строительства в основном используют геометрически неизменяемые системы. Исключение могут представлять некоторые типы подвесных систем.

По статическому признаку стержневые системы разделяются на статически определимые и статически неопределимые. Статически опреде-

лимые системы – это системы, усилия в элементах которых могут быть определены с помощью одних уравнений равновесия.

Если для определения усилий в системе уравнений равновесия недостаточно и необходимо учитывать деформации элементов, то такие системы относятся к классу статически неопределимых.

1.4. Кинематический анализ сооружений

Основной целью проведения кинематического анализа является выяснение вопроса о том, является ли данная система геометрически неизменяемой, геометрически изменяемой или мгновенно изменяемой. Решение этого вопроса связано с установлением степеней свободы расчетной схемы, для которой введем обозначение W.

Степенью свободы системы называется ее кинематическая характеристика, представляющая наименьшее число независимых параметров, с помощью которых можно определить положение и движение всех точек системы в любой момент времени.

Введем понятие «диск». Под диском будем понимать отдельный стержень или совокупность элементов расчетной схемы, образующих заведомо геометрически неизменяемую систему. Это означает, что диск имеет в плоскости три степени свободы – два линейных перемещения и поворот как жесткого целого. Для определенности положим, что жесткий диск является внутренне статически определимой системой, т.е. при заданной нагрузке на жесткий диск усилия в любом его сечении могут быть определены из уравнений равновесия.

Если система содержит D жестких дисков, то при отсутствии связей между ними число степеней свободы такой системы будет равно: W 3D . Каждый простой шарнир уничтожает две степени свободы взаимной подвижности дисков, а каждая одиночная связь – одну. Обозначим через Ш приведенное число шарниров, а через C0 – число одиночных связей, включая

опорные, тогдачислостепенейсвободырассматриваемойсистемыравно:

16

При этом, если W 0, система является геометрически изменяемой и не может служить расчетной схемой строительной конструкции.

Если W 0 , то система имеет избыточное число связей. Здесь однозначно можно утверждать, что система является статически неопределимой, однако определенно сказать, что она неизменяема, нельзя. Поэтому условие W 0 является необходимым условием геометрической неизменяемости и необходимым и достаточным признаком статической неопределенности.

При W 0 система формально содержит достаточное количество связей, чтобы считать ее геометрически неизменяемой и статически определимой. Однако выполнение этого условия не гарантирует геометрической неизменяемости конструкции.

Для окончательного решения вопроса о геометрической неизменяемости необходимо провести структурный анализ расчетной схемы.

Структурный анализ расчетной схемы сооружения основан на приведении ее к простейшим видам двух- и трехдисковых соединений, для которых могут быть установлены четкие правила определения кинематического признака. При этом опорная поверхность (земля) тоже может рассматриваться как отдельный диск.

Двухдисковые соединения. Один диск имеет три степени свободы. Два отдельных диска имеют шесть степеней свободы. Это означает, что для объединения двух дисков в одну неизменяемую конфигурацию достаточно ввести три кинематические связи (рис.1.21).

Рис. 1.21. Двухдисковые соединения

Точку пересечения направлений двух одиночных связей будем называть фиктивным шарниром. Следовательно, взаимная неподвижность двух дисков обеспечивается введение одного действительного или фиктивного шарнира и одиночной связи.

Три связи можно вводить произвольным образом, избегая лишь особых случаев: они не должны пересекаться в одной точке (получается только один фиктивный шарнир, вокруг которого возможен поворот на малый угол, т.е. система будет мгновенно изменяемой (рис. 1.22,а)) и не должны быть параллельны (рис.1.22,б).

17

Таким образом, если трехдисковое соединение может быть приведено к шарнирному треугольнику, действительному или фиктивному, то эта конфигурация геометрически неизменяемая.

Особыми случаями здесь могут быть случаи вырождения треугольника в прямую (рис.1.5,а) или стягивания его в точку (рис. 1.25,б). В этих случаях образуются мгновенно изменяемые системы. При этом в случае, представленном на рис. 1.25,а (три шарнира на одной прямой), точка В имеет возможность малых конечных перемещений, в случае 1.25,б – возможен малый поворот вокруг шарнира А.

Рис. 1.25. Мгновенно изменяемые системы

1.5. Примеры кинематического анализа стержневых систем

Пример 1.1 (рис. 1.26,а). Произвести проверку геометрической неизменяемости многопролетной балки.

Для рассматриваемого примера D=3, Ш=2 (шарниры С и Е), С0 =5 (две

связи в опоре А) и по одной в опорах В,D и F). Следовательно,

W 3 3 2 2 5 0 .

19

Т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется. Так как это условие не является достаточным, проведем структурный анализ схемы образования системы.

Выделим основной диск, неизменяемость которого определяется непосредственно из его закрепления. Таким диском в данной задаче является балка АВС (диск D1 ). Диск D1 в точках А и В прикреплен к земле тремя

связями, не параллельными и не сходящимися в одной точке, поэтому геометрически неизменяем. Диск D2 в точке С связан с диском D1 шарниром

или двумя одиночными связями, а третьей связью – с землей в точке D. Таким образом, соединение дисков D1 и D2 является геометрически неиз-

меняемым. Диск D3 имеет аналогичное прикрепление. Следовательно, за-

данная система является геометрически неизменяемой и статически определенной (W 0).

Пример 1.2 Произвести проверку геометрической неизменяемости многопролетной балки (рис. 1.27,а).

Рис.1.27. Кинематический анализ многопролетной балки

Здесь D=2 (AB и ВСDE), Ш=1 (шарнир в т.В), C0 5 (две связи в опоре А и по одной в опорах C, D и Е),

W 3 2 2 1 5 1,

т.е. система является один раз статически неопределимой. Произведем структурный анализ системы.

Диск D2 (рис. 1.27,б) является основным, так как он связан с землей

тремя вертикальными связями в точках C,D и Е и одной горизонтальной – в точке А через диск D1 . Диск D2 является геометрически неизменяемым и

один раз статически неопределимым, т.е. он имеет одну «лишнюю» связь. Диск D1 также является геометрически неизменяемым, так как в точке А

он связан с землей двумя связями, а в точке В опирается на диск D2 с

помощью шарнира или двух одиночных связей. Таким образом, в целом рассматриваемая система геометрически неизменяема.

20