2545

ж)

Рис. 7.21

Получаем, что частота вертикальных колебаний равна:

181

Пример № 4. Определить частоту собственных горизонтальных колебаний рамы (рис. 7.22,а).

Рис. 7.22

Перемножив кососимметричную эпюру МР (см. рис.7.22,а) на симметричную М1 (см. рис.7.22,б), получим:

7.5. Колебания систем с конечным числом степеней свободы

7.5.1.Дифференциальные уравнения движения

На рис.7.23 показана система с n степенями свободы, т.к. в данном случае каждая точечная масса здесь обладает одной степенью свободы.

182

Для решения этой системы уравнений применим способ разложения по собственным формам колебаний. Представим, что любое перемещение yi (t) может быть записано в виде суммы n функций

k 1

причем каждая из функций yik (t) , в свою очередь, определяется выражением

Здесь Yik – амплитудный коэффициент;

Фk – неизвестная пока функция времени, соответствующая k-й собственной форме колебаний.

Произвольной k-й собственной форме соответствует решение:

Подставляя эти решения в систему уравнения (А), для каждой k-й формы колебаний будем иметь

(i1m1Y1k i2m2Y2k ... inmnYnk )Фk (t) YikФk (t) 0 . (7.36)

Разделяя переменные, придем к уравнению вида

Правая часть этого уравнения – величина постоянная. Обозначим ее через 2k , тогда и левая часть равна 2k , т.е.

которое показывает, что колебания происходят по гармоническому закону, а k – частота собственных колебаний k-й формы. Следовательно,

амплитудные коэффициенты Yik – это перемещение масс m1,m2 ,...,mn , которые определяют функции yik , соответствующие k-й собственной (глав-

ной) форме колебаний. При этом все точки системы совершают гармоническое колебание с одной и той же частотой, а отношение любых двух амплитудных коэффициентов остается постоянным.

184

Это система линейных однородных алгебраических уравнений относительно амплитудных коэффициентов k-й формы собственных колебаний. Нетривиальное решение находим, приравнивая определитель этой системы нулю:

называется «собственное значение».

Раскрыв определитель, получим уравнение частот (или вековое уравнение) в виде:

Это уравнение имеет n корней, каждый из которых соответствует частоте собственных колебаний. Затем на основе соотношения

определяем n частот собственных колебаний, т.е. спектр. Совокупность частот называется спектром и обладает упорядоченностью:

Наименьшая частота спектра называется основной частотой, а все остальные – высшими.

185

Так как из однородной системы уравнений (7.33) нельзя определить абсолютные значения Yi , то вычисляются их относительные значения для

каждой частоты. Для этого один из амплитудных коэффициентов принимается равным 1, а остальные вычисляются из линейной системы ( n 1) уравнений.

Полученные векторы

называются собственными векторами.

После этого можно составить уравнение движения каждой i-й массы:

Пример №1. Вычислить частоты свободных колебаний невесомой балки с двумя одинаковыми массами (рис.7.24,а), расположенными в третях пролета. Составить уравнения движения масс.

Рис. 7.24

Данная система – система с двумя степенями свободы. Канонические уравнения свободных колебаний:

(m1 11 )Y1k m2 12Y2k 0, . m1 21Y1k (m2 22 )Y2k 0.

186

Уравнение частот имеет вид:

Вековое уравнение, полученное из этого определителя, имеет вид

2 (m1 11 m2 22 ) m1m2 ( 11 22 122 ) 0 .

Для решения этого уравнения построим эпюры от единичных инерционных сил, приложенных в направлении колебаний каждой массы (рис.7.24,б,в), и вычислим перемещения 11, 12 , 22. Перемножив единич-

ные эпюры, получим:

Подставив перемещения в вековое уравнение, получим:

187

Собственные формы колебаний, соответствующие 1-й и 2-й частотам, показаны на рис. 7.25.

1-я главная форма колебаний

2-я главная форма колебаний

Рис. 7.25

Законы движения массы 1 и массы 2:

2

y1 Y1k Ak sin kt Bk cos kt

k1

Y11 A1 sin 1t B1 cos 1t Y12 A2 sin 2t B2 cos 2t ;

y2 Y21 A1 sin 1t B1 cos 1t Y22 (A2 sin 2t B2 cos 2t).

Подставив Yik и k в уравнения движения масс, получим:

188

Подставим начальные условия в уравнения движения:

Таким образом, при данных начальных условиях (рис.7.26) уравнения колебательного движения примут вид:

y1 0,5cos(5,69t) 0,5cos(22,05t), y2 0,5cos(5,69t) 0,5cos(22,05t).

Рис. 7.26

Таким образом, из уравнений свободных колебаний можно:

1)вычислить частоты собственных колебаний, соответствующие главным формам;

2)построить графики стоячих волн колебаний, соответствующие каждой частоте;

3)составить уравнения колебательного движения каждой массы, в зависимости от начальных условий.

7.5.3. Примеры расчета рам на свободные колебания

Пример №2. Определить частоты собственных колебаний рамы с двумя сосредоточенными массами (рис.7.27). l 4,5 м, h 3 м, m1 150 кг,

m2 100 кг, EI const, l / h 1,5; m1 / m2 1,5.

Рис. 7.27

189

Каждая масса здесь имеет 1 степень свободы, т.е. это система с двумя степенями свободы. Канонические уравнения колебаний:

m1 11 Y1k m2 12Y2k 0; m1 21Y1k m2 22 Y2k 0.

Для определения корней векового уравнения надо вычислить перемещения 11, 12 , 22 от единичных инерционных воздействий, как от нагрузки

(рис.7.28).

Рис. 7.28

Т.к. рама статически и кинематически неопределима, для построения эпюр от J1 1и J2 1 решим задачу методом перемещений:

M1 M z1(1) Z1(1) M J1 ;

M2 M z1(2) Z1(2) M J 2.

190