2545

балку с распределенной массой можно привести к системе с одной (рис.7.7,б,в), тремя (рис. 7.7,г,д) и т.д. степенями свободы. Вопрос о количестве масс решается в каждом случае отдельно. От этого в некоторой степени зависит точность динамического расчета.

В дальнейшем будем рассматривать системы с конечным числом степеней свободы.

171

7.4. Уравнение движения (динамического равновесия) для системы с одной степенью свободы

Составим уравнения динамического равновесия массы на основе принципа Даламбера. Силу инерции, действующую на массу, обозначим

Составим выражение, определяющее перемещение сосредоточенной массы на балке, изображенной на рис.7.8:

Здесь 1p – перемещение точки 1 по направлению рассматриваемого перемещения от силы P(t) ;

11 – единичное перемещение точки 1 от силы J 1.

Рис. 7.8

172

Отметим одно важное свойство свободных колебаний с одной степенью свободы: колебания всех точек системы происходят с одной и той же частотой, причем соотношение перемещений любых двух точек системы будет оставаться постоянной величиной в любой момент времени. Такие колебания мы будем называть собственными, а формы колебаний, описывающих конфигурацию системы, – собственными или главными формами колебаний. Следовательно, свободные колебания с одной степенью свободы всегда являются собственными колебаниями.

Если учитывать силы сопротивления движению, например

– частота затухающих колебаний. Период затухающих колебаний равен:

График затухающих колебаний показан на рис. 7.9.

Меру затухания можно определить как отношение двух последовательных амплитуд колебаний

173

Мера затухания равна отношению величины рассеянной энергии W к величине работы упругих сил W , пропорциональной площади заштрихованного треугольника. Это отношение называется коэффициентом погло-

щения энергии

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

В случае, когда возмущающая нагрузка изменяется по гармоническому закону

где частота возмущающей силы, уравнение колебаний примет вид:

Так как с течением времени первое слагаемое уравнения (7.21) стремится к нулю, то приходим к установившимся вынужденным колебаниям

(рис. 7.11):

Здесь сдвиг фазы вынужденых колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Рис. 7.11

175

Так как 1p P y ст , то динамический коэффициент равен: для неконсервативных систем

Очевидно, что при имеем явление резонанса (рис.7.12).

/

Рис. 7.12. Зависимость динамического коэффициента от соотношения частот

Примеры на колебания систем с одной степенью свободы

Пример №1. Используя динамический коэффициент для вибрацион-

176

Решение:

Определим статический прогиб от веса двигателя (рис.7.14).

Мдин (2,286Р0 l G) a b 26743 Н м

Рис. 7.16

177

Пример №2. Определить приближенно динамическое напряжение в

Прогиб от силы G, приложенной в середине пролета

(рис.7.18,а):

y1 Gl3 . 48EI

Прогиб от равномерно распределенной нагрузки:

Центробежная сила от неуравновешенной части:

Р0 m 2 300981 302 1 275 кГ 2750 Н.

178

Эпюра изгибающих моментов от статической нагрузки:

Рис. 7.19

Напряжение в середине пролета от статической нагрузки:

МСТ 2300000 9200 H/см2 . W 250

Дополнительный изгибающий момент от динамической нагрузки:

Дополнительное динамическое напряжение при работе двигателя:

дин 658900 2636 Н/см2 . 250

Полное напряжение:

9200 2636 11836 Н/см2 .

Т.е. напряжения увеличились на:

92002636 100 29% .

Пример №3. Определить частоту свободных колебаний двухшарнирной рамы (рис. 7.20,а) с одной сосредоточенной массой в середине ригеля. Массой стоек по сравнению с массой ригеля пренебречь.

179

Решение.

Рис. 7.20

В связи с наличием горизонтальной связи в верхнем левом узле масса m может совершать только вертикальные колебания. Частота свободных колебаний рамы может быть найдена из соотношения

Для определения aa строим эпюру моментов от J 1. Т. к. рама статически неопределима, для решения используем метод сил:

X1 11 1p 0.

180