2545

Раскрыв определитель, получим квадратное, относительно Р, уравнение:

Определим значения Р1 и Р2, соответствующие точкам бифуркации и конфигурации стержневой системы в окрестностях этих точек. При l1=l, l2=2l, c1=c, c2=2c получим:

6.4. Динамический метод исследования устойчивости

Для изучения динамического метода исследования устойчивости необходимо использовать уравнения колебаний механической системы. Поэтому разбор этого метода выполним после изучения раздела «Динамика».

6.5. Устойчивость упругих систем при многопараметрическом нагружении

Часто нагрузки, действующие на упругую систему, связывают однопа-

раметрической зависимостью P1 P; P2 P; P2 P,...

141

Однако упругая система может быть подвержена одновременному действию нескольких, независимо изменяющихся нагрузок. В этом случае различные сочетания нагрузок создают некоторую пограничную поверхность, отделяющую область устойчивости от области неустойчивости.

Рассмотрим двухпараметрическое нагружение системы с одной

Рис.6.8

неустойчиво.

В координатах P1, Р2 граница области устойчивости (рис.6.8,б) является прямой линией, пересекающей оси Р1 и Р2 в точках, соответствующих критическим значениям Р1кр (Р2=0) и Р2кр (Р1=0).

142

Уравнение границы области устойчивости можно записать в таком виде:

Это уравнение получается делением уравнения (6.53) на с.

Если на систему с одной степенью свободы одновременно действуют п сил Рi, то граница области устойчивости, очевидно, описывается уравнением

Рассмотрим упругую систему с двумя степенями свободы, нагруженную одновременно силами Р1 и Р2 (рис. 6.9,а).

Условия равновесия стержней в положении, отклоненном от исходного, дают систему 2-х уравнений:

Приравняв нулю определитель этой однородной системы уравнений, получим уравнение

Рис. 6.9

143

Полагая поочередно Р2=0 и Р1=0, найдем значения критических сил Р1 и Р2, действующих раздельно:

На рис. 6.9,б в координатах Р1 и Р2 изображена гипербола, описываемая уравнением (6.57). Ближайшая к началу координат линия является границей области устойчивости в данной задаче. Все точки, лежащие слева от этой ветви, соответствуют устойчивому вертикальному положению системы, а точки, лежащие справа, – неустойчивому вертикальному положению.

Если при нагружении силы Р1 и Р2 возрастают пропорционально одному параметру, например Р1=Р, Р2=2Р, то такое нагружение описывается лучом, исходящим из начала координат (см. луч Р2=2Р на рис. 6.9,б). Точка пересечения луча с границей области устойчивости соответствует критической точке бифуркации исходного положения равновесия.

Папковичем П.Ф. доказана теорема о выпуклости области устойчивости.

Если учитывать отрицательные значения сил Р1 и Р2, то возможны случаи, когда потери устойчивости не будет, т.к. пограничная поверхность области устойчивости незамкнутая линия.

Рассмотрим пример системы с двумя степенями свободы, но состоящей из трех жестких дисков, соединенных упругими шарнирами (рис. 6.10,а).

Рис. 6.10

144

Будем полагать, что опоры А и В имеют односторонние вертикальные связи. Для составления уравнений и решения задачи воспользуемся энергетическим методом. Обозначим поперечные перемещения шарниров U1 и U2.

При отклонении системы от вертикального положения полная потенциальная энергия системы равна:

Условия стационарности Э приводят к двум однородным линейным уравнениям:

Приравняв нулю определитель этой системы, получим уравнение границы области устойчивости:

Положив в этом уравнении Р2=0, получим уравнение для определения критической силы Р1:

На рис. 6.10,б изображена граница области устойчивости.

6.6. Дифференциальное уравнение сжато-изогнутого стержня. Таблица критических нагрузок и расчетных длин стержней

Составим уравнение равновесия элементарного участка сжато-изо- гнутого стержня (рис.6.11).

145

Общее решение этого дифференциального уравнения 4-го порядка, записанное в форме метода начальных параметров, имеет вид:

С помощью уравнений (6.74) можно определить критическую нагрузку на стержень при любом закреплении его концов. Например, для шарнирного закрепления обоих концов (рис.6.12), получим:

При

Приравнивая нулю определитель однородной системы уравнений, приходим к соотношению

147

Или

kl sin kl 0;

kl n .

Или

k2l2 n2 2;

EIP l2 n2 2;

Pкр n2 2EI . l2

Наименьшая критическая сила

Pкрmin 2EI .

l2

Решения, соответствующие n 1, 2, 3, приведены на рис.6.13,а,б,в.

Рис. 6.13

Таким же образом можно получить критическую нагрузку и для других случаев закрепления концов стержня. Подчеркнем, что мы рассматриваем механическую систему в деформированном (изогнутом) состоянии и определяем минимальную нагрузку, которая может вызвать это деформированное состояние.

Введем понятие свободной длины стержня, представляющей собой полуволну синусоиды, по которой искривляется стержень. Тогда критическая сила для всех сжатых стержней может определяться по формуле

здесь – коэффициент свободной длины (табл.6.1).

148

Таблица 6 . 1 Критические нагрузки и расчетные длины стержней

6.7.Расчет рам на устойчивость

спомощью метода перемещений

Исследование на устойчивость прямолинейного сжатого и сжатоизогнутых стержней (рис.6.14,а,б,в) показывает, что во всех трех случаях

критическая сила одинакова и равна Pкр 2EI . Это позволяет вместо рас- l2

смотрения устойчивости рам со сжато-изогнутыми элементами перейти к исследованию устойчивости рам, нагруженных только узловой нагрузкой, т.е. к рамам с известными значениями продольных сил в элементах.

Рис. 6.14

Пусть в раме все силы Pi изменяются пропорционально одному пара-

метру Р. При малых значениях Р стержни рамы прямолинейны. При некотором значении Ркр возможно равновесие рамы в некотором смежном,

искривленном состоянии. Эту нагрузку Ркр и будем определять из расчета

рамы на устойчивость.

Условия равновесия рамы в смежном состоянии запишем в форме метода перемещений

149

ются функциями продольных сил, возникающих в сжатых стержнях.

Так как в смежном состоянии равновесия Zi 0 , то система однородных уравнений имеет решение в виде равенства нулю определителя:

Раскрытие определителя приводит к трансцендентному уравнению, называемому уравнением устойчивости, которое определяет весь спектр критических значений нагрузки, наименьшее из которых и является решением задачи.

6.8. Составление таблицы реакций продольно сжатого стержня

Для вычисления коэффициентов rik , входящих в определитель, необхо-

димо найти усилия (изгибающие моменты и поперечные силы) в сжатых стержнях от единичных поворотов и смещений их концов и составить таблицу метода перемещений с учетом влияния продольных сил. Для подсчетов используем формулы метода начальных параметров (6.15).

Рассмотрим вывод формулы для случая стержня, защемленного двумя концами (рис.6.16).

150