2545

Определимкоэффициентыисвободныечленысистемыуравнений(5.11).

бающих моментов строится обычным способом из исправленных эпюр:

Смешанный метод имеет преимущество в сокращении числа неизвестных, в решении задач с криволинейными стержнями и при решении нелинейных задач.

Основной недостаток смешанного метода – сложность формализации при описании различных систем.

131

6.УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ

6.1.Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии. Критическая нагрузка и методы ее определения

Пусть некоторая механическая система находится в состоянии равновесия. Устойчивость этого положения равновесия можно проверить, сообщив системе движение. Если после небольшого начального толчка система получает большие перемещения от невозмущенного состояния, то она считается неустойчивой. Если же небольшим начальным скоростям соответствуют в дальнейшем такие же малые перемещения около состояния равновесия, то система считается устойчивой.

Таким образом, устойчивость есть свойство системы мало отклоняться от невозмущенного движения (или от положения равновесия) при малых возмущающих воздействиях.

Для зданий и сооружений устойчивость равновесия, как правило, связана с уровнем нагрузки.

Переход сооружения из устойчивого состояния в неустойчивое называют потерей устойчивости. Границу этого перехода называют критическим состоянием сооружения, а соответствующие нагрузки – критическими.

Потеря устойчивости во многих случаях характеризуется так называемым раздвоением форм равновесия, или бифуркацией. Так, прямолинейный стержень (рис. 6.1,а) до достижения продольной сжимающей силой значения Ркр имеет прямолинейную форму равновесия, а при Р Ркр

может иметь еще и криволинейную форму (рис.6.1,б). То есть при Р Ркр

происходит раздвоение форм равновесия. Кривая равновесных состояний Р f показана на рис. 6.1,в. Точка K соответствует разветвлению форм

равновесия. Кривые равновесных состояний систем, имеющих начальные погиби, показаны на рис. 6.1,г.

Рис. 6.1

132

С исследования Л.Эйлером в 1744 г. устойчивости прямолинейного стержня и началось формирование теории расчета на устойчивость. Определение критической нагрузки как нагрузки, при которой наряду с невозмущенной (прямолинейной) формой равновесия становится возможной еще и возмущенная (криволинейная) форма, носит название критерия Эйлера потери устойчивости или статического критерия. На этом критерии основан статический метод расчета на устойчивость. Для упругих стержневых систем статический метод приводит к решению дифференциальных уравнений критического равновесия.

Энергетический метод основан на принципе Лагранжа – Дирихле, согласно которому в устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы Э имеет минимальное значение, а в состоянии безразличного равновесия разность двух соседних значений потенциальной энергии Э равна нулю:

где V – приращение потенциальной энергии внутренних сил;A – приращение работы внешних сил.

Для безразличного состояния равновесия приращение потенциальной энергии внутренних сил равно приращению работы внешних сил

то есть приращение работы внутренних сил больше приращения работы внешних сил.

Для неустойчивого состояния

то есть приращение работы внутренних сил меньше приращения работы внешних сил.

Используя энергетический метод, расчетчик обязан предварительно задать предполагаемую форму потери устойчивости системы, в результате чего энергетический метод дает, как правило, приближенное значение критической нагрузки.

Динамический метод является наиболее общим и универсальным методом. Он основан на анализе движения системы после толчка (возмущения). Устойчивая система должна начать колебаться около положения равновесия. В критическом состоянии амплитуда свободных колебаний становится неограниченной. Нагрузка, при которой происходит переход от колебательного к непериодическому движению, является критической нагрузкой.

133

6.2. Статический метод. Составление и решение линейных уравнений

Предположим, что одна какая-то форма равновесия известна и нужно найти нагрузку, при которой появится другая форма равновесия. Для этого достаточно найти условия существования других форм равновесия, отличных от исходной.

Пусть исходное состояние равновесия упругозакрепленного стержня – вертикальное (рис.6.2). Дадим стержню малый поворот вокруг точки А и рассмотрим условия существования нового равновесного состояния.

форма равновесия, т.е. при этой нагрузке происходит разветвление форм равновесия. Поэтому точка K на графике P , соответствующая раз-

ветвлению форм равновесия, называется точкой бифуркации.

134

Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух жестких стержней с двумя упругими шарнирами (рис. 6.4,а).

Рис.6.4

Пусть в исходном положении оси стержней вертикальные, т.е. лежат на одной линии с возрастающей от 0 до некоторого значения силой Р.

Отклоненное состояние равновесия будем задавать углами 1 и 2 , т.е.

система имеет две степени свободы. Внутренние моменты в упругих шарнирах:

Сумма моментов верхней части относительно верхнего шарнира равна:

Сумма моментов всей системы относительно нижнего шарнира равна:

135

Эта одновременная система линейных уравнений имеет тривиальное решение 1 2 0. Для существования решений, отличных от нуля, необ-

ходимо, чтобы определитель полученной системы был равен нулю, т.е.

или

При P2 2lc получим другое соотношение углов поворота стержней:

Картина форм потери устойчивости показана на рис.6.4,б, в.

Система с п независимыми параметрами (п степенями свободы) имеет в качестве критерия потери устойчивости равенство нулю определителя n порядка.

136

Условия стационарности полной потенциальной энергии имеет вид:

Исследование знака второй производной от полной потенциальной энергии позволяет установить, какие из найденных положений равновесия устойчивы.

Как известно, если в критической точке P=Pкр первая производная f ' (Ркр)=0, то при второй производной f'' (Ркр)<0 функция имеет max, а при f'' (х1)>0 функция имеет min.

Исследуем вертикальное положение равновесия и отклоненное

(т.е. Э min) и вертикальное положение равновесия устойчиво. При Р> сl имеем

(т.е. Э max), вторая производная отрицательна и вертикальное положение неустойчиво.

138

Точка В2 (рис. 6.6) соответствует минимуму полной потенциальной энергии (формула (6.34)) стержня (см. рис.6.2), и отклоненное положение равновесия устойчиво. Точка В1 соответствует максимуму полной потенциальной энергии, и положение равновесия неустойчиво.

следовательно, Э имеет минимальные значения, и отклоненное положение стержня всегда устойчиво.

Подсчитаем полную потенциальную энергию системы с двумя степенями свободы (рис.6.7).

Полная потенциальная энергия складывается из внутренней энергии деформации упругих шарниров при отклонениях системы на углы φ1 и φ2 и потенциала внешних сил.

139

При этом ограничимся квадратичными членами разложения. Тогда полная потенциальная энергия системы равна:

Условия стационарности приводят к системе двух однородных уравнений.

140