2545

Окончательные эпюры изгибающих моментов и продольных сил найдем по формулам:

Mок Мр М1 Х1. Nок N1 Х1.

4.9. Определение усилий в двухшарнирной арке от неподвижной нагрузки

Двухшарнирная арка является однократно статически неопределимой системой, для которой составляется одно каноническое уравнение метода сил, из которого находится распор или усилие в затяжке:

Так как ось арки очерчена по кривой y f (x) , то для вычисления пере-

мещений основной системы уже нельзя пользоваться правилом Верещагина и необходимо применять интегральную формулу Максвелла-Мора. На практике моменты инерции поперечных сечений арок принимаются постоянными или переменными. Наиболее удобен для интегрирования такой закон изменения моментов инерции поперечных сечений арки:

где Ic – момент инерции в среднем сечении арки;

– угол наклона касательной к оси арки по отношению к координатной оси x.

Для двухшарнирных арок по конструктивным и эстетическим соображениям более подходит другой закон:

При этом высоты поперечных сечений плавно повышаются от опор к середине пролета арки.

В последующих примерах расчета арок приняты следующие правила знаков внутренних усилий: изгибающий момент, вызывающий растяжение во внутренних волокнах, считается положительным; растягивающая нормальная сила принята положительной; поперечная сила считается положительной, если она вращает оставшуюся часть по часовой стрелке.

Пример 1. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил для параболической двухшарнирной арки постоянного поперечного сечения (b*h=0,4*1 м2), нагруженной, как показано на рис.4.19 а. Коэффициент Пуассона материала 0,17 . Ось арки очерчена по квадратной

параболе y 4l2f lx x2 , отнесеннойкначалукоординатналевойопоре.

92

Рис. 4.19

93

Выберем основную систему, отбросив в точке В горизонтальный опорный стержень и заменив его силой X1 (рис. 4.19,б).

Вначале найдем значения вертикальных составляющих опорных реакций в точках А и В. Эти составляющие определяют так же, как и в однопролетной балке того же пролета, нагруженной заданной нагрузкой:

VA 6 103 6 21 20 103 12 10 103 6 24

VВ 6 103 6 3 20 103 12 10 103 18 24

При расчете двухшарнирных арок со стрелой подъема f l / 3 и с высотой поперечного сечения h l /10 при определении 11 можно пренебрегать влиянием поперечной силы, а при определении 1p – влиянием поперечной и продольной сил, т.е. находить их по следующим формулам:

В данном примере будем вычислять перемещения с учетом всех внутренних усилий и затем произведем оценку влияния Q и N на величину распора H X1 ; тогда

нагрузки можно выразить через балочные изгибающие моменты и поперечные силы следующим образом:

94

После внесения этих зависимостей перемещения 11 и 1p примут вид:

Подставим эти данные в выражения для перемещений 11 и 1p :

Полученные интегралы невозможно вычислить точно; поэтому интегрирование заменим суммированием. Разделим пролет на четное число равных участков так, чтобы сосредоточенные силы совмещались с точками деления, а распределенная нагрузка находилась в пределах участков. Примем n 8, x 3 м и, используя формулу Симпсона

95

2 p4 4p5 лp6 прp6 4 p7 pB ).

Дальнейший расчет сведен в табл. 4.1.

Подставив числовые значения величин Zx , x , x , Z p ,..., получим следующие значения перемещений:

11 EI1 211,39 1,88 0,79 214,06 / EI;

1р E1I 10086,24 12,85 35,06 10108,45 / EI.

Горизонтальная оставляющая опорной реакции

X1 H 10108,45 / 214,06 47,22 кН.

Погрешность составляет 0,15 %.

Изгибающие моменты в двухшарнирной арке находят по формуле

Окончательнаяэпюраизгибающихмоментовваркепоказананарис. 4.19,г. Поперечные и продольные силы в арке вычисляют по формулам:

Эпюрыпоперечныхипродольныхсилваркеприведенынарис. 4.19, д,е.

96

97

4.10.Определение перемещений

встатически неопределимых системах

Определим вертикальное перемещение точки К статически неопределимой рамы, изображенной на рис.4.20а.

Рис. 4.20

Ранее было показано, что для определения перемещения точки стержневой системы нужно построить две эпюры: эпюру от заданной нагрузки, от воздействия которой, собственно, и происходит перемещение, и эпюру от единичной безразмерной силы, приложенной в направлении искомого перемещения. Поскольку рама статически неопределима, то для построения указанных эпюр надо дважды рассчитать эту раму методом сил и построить две окончательные эпюры моментов Mок и М1ок (см. рис. 4.20, б,в).

Расчет рам методом сил здесь не приводится. Перемножив эпюры по способу Верещагина, получим:

Знак «минус» указывает на то, что точка К под действием на раму нагрузки (нагрузка q) перемещается противоположно силе P 1, т.е. вверх.

Определение перемещений указанным способом довольно сложно, т.к. необходимо два раза рассчитать раму методом сил. Вычисление перемещений можно значительно упростить, используя следующий прием. Отбросим «лишние» связи системы, например опорные связи в т. А, и превратим ее в статически определимую (рис. 4.21,а). Приложим к полученной конструкции внешнюю нагрузку и реакции отброшенных связей, вычисленные методом сил.

98

Рис. 4.21

Эпюра изгибающих моментов рамы (рис. 4.21,а) ничем не отличается от окончательной эпюры изгибающих моментов исходной рамы (рис. 4.20,а). Эта эпюра изображена на рис. 4.20,б. Деформации обеих систем одинаковы. Поэтому перемещение т. К можно вычислить не в заданной статически неопределимой системе, а в статически определимой, полученной из нее путем отбрасывания лишних связей. Эпюра от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения, изображена на рис.4.21,б.

Перемножив эпюры Mок и М1 , получим:

Для определения перемещения может быть выбрана любая статически определимая система, например система, показанная на рис. 4.22.

В качестве статически определимой системы следует выбирать такую, чтобы единичная эпюра M1 строилась наиболее просто. В данном случае

это эпюра, изображенная на рис.4.21,б.

Иногда требуется найти перемещение в статически неопределимой системе от заданной нагрузки, но нет необходимости определять усилия, возникающие в этой системе. В этом случае можно не производить расчета статически неопределимой системы на внешнюю нагрузку, а ограничиться расчетом ее на внешнюю силу P 1, а эпюру от внешней нагрузки построить в статически определимой основной системе. Перемещение будет определяться перемножением эпюры M1ок , построенной в статически

99

неопределимой системе, и эпюры Мр , построенной в статически опре-

делимой системе.

Докажем это: пусть система загружена силой Р1 . Требуется определить перемещение т.К (рис.4.23,а).

Рис. 4.23

Вертикальное перемещение т.К может быть определено так:

21 M1ок М2 dx .

EJ

Эпюра М2 изображена на рис. 4.23,б.

С другой стороны, если перемножить эпюры, представленные на рис.4.23,в,г, то будет найдено увеличенное в P1 раз единичное пере-

мещение 12 . Но т.к. 21 12 , то очевидна и справедливость соотношения

12 P1 21 P1 ,

где

21 P1 21 .

Таким образом, искомое перемещение может быть найдено умножением единичной эпюры, построенной для заданной статически неопределимой системы, на грузовую эпюру, построенную в статически определимой системе.

Для нашей рамы эпюра от нагрузки в основной системе показана на рис. 4.24.

100