2528

Рассмотрим некоторые из них. На рис. 25 изображены четырехцентровые овалы с двумя осями симметрии (рис. 25,а) и с одной осью симметрии (рис. 25,б). Овал на рис. 25,а состоит из дуг двух окружностей радиуса R1, сопряженных с дугами окружностей радиуса R2. Овал на рис. 25,б представляет собой сопряжение дуг трех окружностей радиусов R1, R2, R3. Построение этих линий основано на построении касательных окружностей и ясно из рис. 25.

Рис. 25. Построение овалов

С помощью коробовых кривых строят архитектурные обломы. В настоящем курсе рассматриваются только те из них, которые встречаются чаще других. На рис. 26 показано построение архитектурного облома – каннелюры, которую образуют три дуги сопрягающихся окружностей различных радиусов. Исходными являются точки А и В на стволе колонны. Отрезок АВ делится пополам, и на каждой половинке, как на диаметре, описывается окружность. Дуги АС и ВD этих окружностей рисуют часть формы каннелюры. Построение центра окружности, содержащей дугу СD, ясно из рис. 26. Ее центр определяется пересечением двух одинаковых по величине дуг, величина которых равна трем радиусам окружностей АС и ВD. Центры этих окружностей располагаются в точках А и В.

31

O2

Приемы построения других архитектурных обломов – гуська и каблучка – представлены на рис 27, 28. В обоих случаях радиусы сопряжения R1 и R2 равны друг другу.

Построение двух скоций, образованных двумя и тремя радиусами сопряженных окружностей, показано на рис. 29 и 30. В одном случае исходными являются точки А, В, С, в другом – А, В, С, D. Порядок построения ясен из рис. 29 и 30. Он основан на теоремах школьного курса геометрии.

Рис. 27. Построение каблучка

32

Винтовая линия образована в результате одновременного поступательного и вращательного движения точки по поверхности вращения.

Если точка движется по цилиндрической поверхности, образуется цилиндрическая винтовая линия (рис. 31,а). В случае, когда точка перемещается по конической поверхности, возникает коническая винтовая линия

(рис. 31,б).

Рис. 31. Образование винтовых линий

Расстояние h, на которое точка перемещается за один оборот, называется шагом. Траектория точки, пройденная за один шаг, называется витком.

Винтовые линии могут быть как правые, так и левые. Правой линия считается тогда, когда наблюдатель, смотрящий вдоль оси, видит ее закручивающейся при подъеме против часовой стрелки. Если линия при подъеме закручивается по часовой стрелке, то она является левой винтовой линией.

Винтовая линия – кратчайшее расстояние по поверхности между двумя ее точками.

34

Контрольные вопросы

1.Каким способом образуются прямые и кривые линии?

2.Что считается порядком кривой?

3.Какие кривые линии называются плоскими?

4.Какие кривые линии считаются пространственными?

5.Дайте определение лекальным кривым.

6.Дайте характеристику эллипсу.

7.Какая линия называется параболой?

8.Что такое гипербола?

9.Воспроизведитеалгоритмпостроенияплоскихкривыхвторогопорядка.

10.Как образуется эвольвента?

11.Как образуется синусоида?

12.Дать определение циклоидальным кривым.

13.Какие линии называются коробовыми кривыми?

14.Перечислить известные вам коробовы кривые, которые используются для вычерчивания архитектурных деталей.

15.Как образуется винтовая линия?

16.Чем отличается коническая винтовая линия от цилиндрической?

1.3. Поверхности

Особую группу геометрических множеств составляют поверхности. Самым распространенным способом образования поверхностей является кинематический. Сущность его сводится к следующему. Выделяется некоторая линия, которая, перемещаясьпозаранеезаданномузакону, образуетповерхность.

Наиболее распространенной является классификация, которая представлена в виде схемы на рис. 32. Деление поверхностей на линейчатые и нелинейчатые основывается на возможности или невозможности выделения на ней прямой линии. Поверхности, на которых можно выделить прямую линию, называются линейчатыми. Если на поверхности невозможно выделить прямую линию, поверхность называется нелинейчатой.

Способы образования поверхностей являются основанием для деления их на поверхности вращения и перемещения по направляющим. На схеме видно, что линейчатые и нелинейчатые поверхности могут быть образованы как вращением, так и другими способами.

Одной из важных характеристик поверхностей является их порядок. Порядком поверхности считается максимальное количество ее точек, общих с прямой, что соответствует порядку алгебраического уравнения, описывающего эту поверхность. Из всех рассмотренных выше поверхностей второй порядок имели цилиндрическая, коническая, призматическая, пирамидальная, а также сфера, эллипсоид, параболоид и гиперболоид. Остальные поверхности имели более высокий порядок.

35

Вместо прямой вокруг оси может вращаться и другая линия, например окружность или эллипс. При вращении окружности вокруг оси, совпадающей с одним из ее диаметров, образуется сфера (рис. 35,а). Если ось вращения лежит в плоскости окружности, но не проходит через ее центр, возникает тор (рис. 35,б,в,г). В зависимости от взаимного расположения оси по отношению к центру образующей окружности возникают две разновидности тора:

1)открытый – окружность не пересекается с осью (рис. 35,б);

2)закрытый – ось касается или пересекает окружность (рис. 35,в,г).

Рис. 35. Образование сферы и тора (открытого и закрытого)

Вокруг оси i могут вращаться гипербола, парабола или эллипс (рис. 36). При условии, что ось вращения тождественно совпадает с осью этих кривых линий, образуются соответственно гиперболоид (рис. 36, а, б), параболоид (рис. 36,в) или эллипсоид (рис. 36,г). При совмещении оси i с мнимой осью гиперболы возникает однополостной гиперболоид вращения (рис. 36,а). Если ось i совпадает с действительной осью гиперболы, образуется двуполостной гиперболоид.

38